数理统计第一次实验报告.docx

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数理统计第一次实验报告

一．实验题目

实验1：

经验分布函数

（1）取

，n=100，产生n个服从

分布的随机数作为取自正态总体

的样本值

，在同一坐标下画出它的经验分布函数，并与总体分布函数进行比较。

（2）改变n，重做实验

（1），体会格列文科定理的内涵。

实验2：

直方图

假定某班60个男生身高（单位:

cm）,数据如下：

166,169,181,173,165,169,170,163,175,164,171,162,156,159,173,168,167,165,172,170,180,177,161,170,164,163,172,167,157,165,168,174,165,168,162,163,159,163,167,173,161,160,165,160,173,164,166,152,163,164,176,160,164,167,158,172,167,168,167,170

现在希望通过这些数据来确定该班身高的分布。

解：

基本步骤：

第一步：

找出数据的最大值181，最小值152，极差R=181-152=29；

第二步：

分组定组距。

分组没有通用原则，通常数据个数

时，分成10组以上，当

时，一般5组左右。

分组数m确定后，可按

来确定组距d。

第三步：

定分点，定区间：

取起点a=151.5，终点181.5，从而作图区间为[151.5,181.5]（取各组的边界值比身高多一位小数，为的是使每个身高都落在一个组的内部）。

第四步：

列出样本值落入各组的频数和频率。

第五步：

做频率直方图。

直方图是最常用的一种表现数据的方法，它通常把值域分成若干相等的区间，于是数据就按区间分成若干组，每组做成一个矩形，其高和该组中数据的多少成比例，其底为所属区间,这些矩形就是直方图，它给数据的分布一个直观的形象。

直方图以组距为底，以频率为高作矩形。

可以想象，若得到的数据很多，这时，直方图的分组增多，组距变得很小，画出的直方图顶端阶梯形近似一条曲线，于是可以用这条曲线近似描述该组数据的分布规律。

（2）改变实验

（1）中的组距，将得到的图形与

（1）得到的图形比较，你能得到什么结论？

实验3：

设样本

取自总体U（a,b）,a,b为未知参数，试求a，b的矩估计和极大似然估计。

由计算可以得出a，b的矩估计量分别为：

，

极大似然估计分别为：

，

下面进行模拟：

（1）取a=0，b=1，N=50，产生N个服从U（a,b）分布的随机数当做样本，分别代入式中计算a，b的估计值，并与理论值0,1比较；

（2）将

（1）重复10次，用10次估计值的平均值作为a，b的估计，并与

（1）的结果比较，体会其中包含的概率思想。

实验4：

设总体X服从正态分布

，取

，从总体抽取10组容量为20的样本，分别以

和

作为总体均值

的估计量，计算10组估计值并描在图上。

（将点描在坐标轴上），从中你可以得到什么结论？

图1：

以

作为估计量

图2：

以

作为估计量

实验5：

已知

来自正态总体

，其中

，取

，求置信度为0.99的

置信区间。

二．分析与解答

实验1：

经验分布函数

首先产生100个服从N（5,1）分布的随机数作为样本值

.

rnorm（100,mean=5,sd=1）

根据产生的数据画出正态分布的经验分布函数：

w<-（rnorm（100,mean=5,sd=1））

curve（pnorm（x,mean（w）,sd（w））,xlim=c（0,20）,col="blue",lwd=3）

与总体正态分布函数进行比较：

x<-seq（0,20,length.out=100）

lines（x,pnorm（x,5,1）,col="red"）

legend（"bottomright",legend=paste（"m=",c（5,5）,"sd=",c（1,1））,lwd=1,col=c（"red","blue"））

当取n的值为200：

w=（rnorm（200,mean=5,sd=1））

curve（pnorm（x,mean（w）,sd（w））,xlim=c（0,20）,col="blue",lwd=3）

x<-seq（0,20,length.out=200）

lines（x,pnorm（x,5,1）,col="green"）

legend（"bottomright",legend=paste（"m=",c（5,5）,"sd=",c（1,1））,lwd=1,col=c（"green","blue"））

当取n的值为300：

w=（rnorm（300,mean=5,sd=1））

curve（pnorm（x,mean（w）,sd（w））,xlim=c（0,20）,col="blue",lwd=3）

x<-seq（0,20,length.out=300）

lines（x,pnorm（x,5,1）,col="orange"）

legend（"bottomright",legend=paste（"m=",c（5,5）,"sd=",c（1,1））,lwd=1,col=c（"blue","orange"））

设X1,X2,…,Xn是取自总体X的随机样本，Fn（x）是总体X的经验分布函数，当n→∞时由格列汶科定理知：

该定理当样本容量n充分大时,经验分布函数Fn（x）可以作为总体分布函数F（x）的一个良好的近似。

实验二：

直方图

基本步骤：

第一步：

找出数据的最大值181，最小值152，极差R=181-152=29；

第二步：

分组定组距。

分组没有通用原则，通常数据个数

时，分成10组以上，当

时，一般5组左右。

分组数m确定后，可按

来确定组距d。

第三步：

定分点，定区间：

取起点a=151.5，终点181.5，从而作图区间为[151.5,181.5]（取各组的边界值比身高多一位小数，为的是使每个身高都落在一个组的内部）。

第四步：

列出样本值落入各组的频数和频率。

第五步：

做频率直方图。

直方图是最常用的一种表现数据的方法，它通常把值域分成若干相等的区间，于是数据就按区间分成若干组，每组做成一个矩形，其高和该组中数据的多少成比例，其底为所属区间,这些矩形就是直方图，它给数据的分布一个直观的形象。

直方图以组距为底，以频率为高作矩形。

可以想象，若得到的数据很多，这时，直方图的分组增多，组距变得很小，画出的直方图顶端阶梯形近似一条曲线，于是可以用这条曲线近似描述该组数据的分布规律。

【实验步骤】

Ø第一步自定义绘制频数直方图的函数

HIST<-function（data,m）{

res<-1:

m;lable<-1:

m;

A<-min（data）-1;

B<-max（data）+1;

dis<-（max（data）-min（data））%/%m+1;

for（jin1:

m）{

for（iin1:

length（data））{

if（data[i]>A+（j-1）*dis&&data[i]<=B-（m-j）*dis）res[j]=res[j]+1;

}

lable[j]=paste（as.character（A+（j-1）*dis）,"~",as.character（B-（m-j）*dis））;

}

barplot（res,width=1,names.arg=lable）;

}

变量data用于存放数据，变量m表示分组数

Ø第二步改变分组个数，多次试验

m=5的结果：

M=10的结果：

M=15的结果：

【实验结论】

组距越小，分组越细，对数据分布的刻画就越精确，相反的，如果采用较大的组距，更方便从整体上反应数据的大致分布情况。

实验三：

（1）首先产生50个服从U（0,1）分布的随机数

runif（50,min=0,max=1）

矩估计：

根据公式

首先计算出均值和方差：

x1<-mean（x）

x2<-var（x）

将计算的结果带入求取a的估计值：

a1<-（x1-sqrt（3*x2））

同理

根据公式

可求出b的估计量：

将运算重复10次，用10次估计值的平均值作为a，b的矩估计值

a<-vector（mode="numeric",length=0）

for（iin1:

10）

{

a[i]<-i

}

a2=0;

for（iin1:

10）

{

x<-runif（50,min=0,max=1）

x1<-mean（x）

x2<-var（x）

a[i]<-（x1-sqrt（3*x2））

a2=a2+a[i]

}

a2/10

同理将10次计算的结果求出平均值作为b的估计值

a<-vector（mode="numeric",length=0）

for（iin1:

10）

{

a[i]<-i

}

b2=0;

for（iin1:

10）

{

x<-runif（50,min=0,max=1）

x1<-mean（x）

x2<-var（x）

a[i]<-（x1+sqrt（3*x2））

b2=b2+a[i]

}

b2/10

极大似然估计：

x<-runif（50,min=0,max=1）

b1=min（x）

b2=max（x）

将运算重复10次，用10次估计值的平均值作为a，b的极大似然估计值

a<-vector（mode="numeric",length=0）

for（iin1:

10）

{

a[i]<-i

b[i]<-i

}

b1=0

b2=0

for（iin1:

10）

{

x<-runif（50,min=0,max=1）

a[i]=min（x）

b[i]=max（x）

b1=b1+a[i]

b2=b2+b[i]

}

实验结论：

矩估计法生成的结果是$0.003933=，1.004076=$

 极大似然估计法生成的结果是$0.007297，0.9797615=$ 

从而可得出，两种结果都还是比较接近理论值的，在此情况下，极大似然估计的估计效果比矩估计效果更理想 

实验4：

【实验步骤】

在R中输入以下代码：

r<-matrix（rnorm（10*20）,10,20）#抽取10组容量为20的样本

MEAN<-1:

10

MIN<-1:

10#计算每一组样本的均值和最小值

plot（0,ylim=c（-5,2）,col="white"）;

for（iin1:

10）{MEAN[i]=mean（r[i,]）;points（MEAN[i],pch=1,col="blue"）;

MIN[i]=min（r[i,]）;points（MIN[i],pch=0,col="green"）;}#在同一坐标轴上画出图像，蓝色表示均值，绿色表示最小值

【实验结论】

若取每次试验的样本容量为200，结论如下图：

若取每次试验的样本容量为2000，结论如下图：

可以看出如下几个结论：

1.可以证明，样本均值是μ的无偏估计量，图上的样本均值集中在μ的取值附近；

2.重复多次抽取样本，样本均值的离散程度（变化程度）小，而样本中最小值的离散程度比较高；

3.随着每次试验的样本容量的增加，样本均值的取值会越来越集中于0，而样本最小值则会越来越小。

实验5：

实验目的：

已知

来自正态总体

，其中

，取

，求置信度为0.99的

置信区间。

实验过程：

分析该题目，此题为在已知方差

的情况下，求出置信度为0.99的置信区间。

取定

=5

首先产生100个服从N（5,1）的随机变量

rnorm（100,5,1）

若置信度为0.95则可根据R语言函数t.test直接计算出置信区间。

当置信度为0.99时，

由正态分布的方差已知时，我们首先计算均值的置信区间

书上的公式为x¯±（σ/n√）z1−σ/2,其中Zp表示的是正态分布N（0,1）下侧的p分位数。

我们用R来实现求得这一结果的过程。

编写函数

先用mean（x）求出样本的平均值，然后用qnorm（1-alpha/2）求出Z1-a/2，

w.test<-function（x,n,s,a）

{

mean<-mean（x）

ans<-c（mean-s*qnorm（1-a/2,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE）/sqrt（n）,

mean+s*qnorm（1-a/2,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE）/sqrt（n））

ans

}

x<-rnorm（100,5,1）

w.test（x,100,1,0.01）