弦长公式高二版椭圆.docx
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弦长公式高二版椭圆
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弦长公式(高二版椭圆)
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圆锥曲线综合问题
1.直线方程的处理:
若直线方程未给出,应先假设。
(1)若已知直线过点,则假设方程为;
(2)若已知直线的斜率,则假设方程为;
(3)若仅仅知道是直线,则假设方程为
【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论;
(4)若已知直线恒过轴上一点,且水平线不满足条件(斜率为0),可以假设
直线为。
【反斜截式,】不含垂直于y轴的情况(水平线)
2.弦长公式:
若直线与椭圆相交于两点,求弦长的步骤:
设,联立方程组(将直线方程代入椭圆方程):
消去整理成关于的一元二次方程:
,
则是上式的两个根,;由韦达定理得:
又两点在直线上,故,则,从而
【注意:
如果联立方程组消去整理成关于的一元二次方程:
,则
】
3、其他常见问题处理
(1)等腰(使用垂直平分),平行四边形(使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合)
(2)直径(圆周角为直角,向量垂直或斜率乘积等于),其次考虑是否需要求圆的方程。
(3)锐角和钝角使用数量积正负求解;涉及到其它角的问题使用正切值,转化为斜率求解;
(4)三角形内切圆的半径与三角形面积的关系:
;
(5)圆的弦长用垂径定理;(6)涉及到焦点要联想到定义;
(7)三点共线,长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比,利用韦达定理。
例1.(2007山东卷)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线(注:
左右准线方程为)间的距离为4
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当ΔAOB面积取得最大值时,求直线l的方程.
例1.解:
(1).
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为
由,消去y得关于x的方程:
由直线与椭圆相交于A、B两点,解得
又由韦达定理得,
点到直线的距离,.
令,则,
当且仅当即时,此时.所求直线为解法二:
由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为,则直线l与x轴的交点,
由解法一知且,
解法1:
=
.下同解法一.
解法2:
=。
例2:
已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点,过的直线交椭圆于两点,且,垂足为.
(Ⅰ)设,证明:
;(Ⅱ)求四边形的面积的最小值.
例2:
解:
(Ⅰ)椭圆的半焦距,由知点在以线段为直径的圆上,故,所以(处理方法一).
(处理方法二)
(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得.
设,,则,
;因为与相交于点,且的斜率为,同理可得(这里AC和BD都过P与椭圆相交)故四边形的面积,注意
.
当时,上式取等号.
(ⅱ)当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积.
四边形的面积的最小值为.【也可以令,或者对分母用基本不等式】
例3、[2014·陕西文]已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)经过点(0,eq\r(3)),离心率为eq\f(1,2),左、右焦点分别为F1,F2.
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为-eq\f(1,2)的直线l与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足eq\f(|AB|,|CD|)=eq\f(5\r(3),4),求直线l的方程.
例3.解:
(1)椭圆的方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1.
(2)由题设,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,∴圆心(0,0)到直线l的距离d=eq\f(2|m|,\r(5)).
由d<1,得|m| 设A(x1,y1),B(x2,y2),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=-\f(1,2)x+m,,\f(x2,4)+\f(y2,3)=1))得x2-mx+m2-3=0,>0 x1+x2=m,x1x2=m2-3,∴|AB|==eq\f(\r(15),2)eq\r(4-m2). 由eq\f(|AB|,|CD|)=eq\f(5\r(3),4),得eq\r(\f(4-m2,5-4m2))=1,解得m=±eq\f(\r(3),3),满足(*).∴直线l的为y=-eq\f(1,2)xeq\f(\r(3),3) 例4、(2014全国I卷理)已知点A(0,-2),椭圆E: eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2),F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3),O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程. 例4.解: (1)eq\f(x2,4)+y2=1. (2)当l⊥x轴时不合题意,故设l: y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将y=kx-2代入eq\f(x2,4)+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>eq\f(3,4)时,从而|PQ|==eq\f(4\r(k2+1)·\r(4k2-3),4k2+1). 又点O到直线l的距离d=eq\f(2,\r(k2+1)),所以△OPQ的面积S△OPQ=eq\f(1,2)d·|PQ|=eq\f(4\r(4k2-3),4k2+1). 设eq\r(4k2-3)=t,则t>0,S△OPQ=eq\f(4t,t2+4)=eq\f(4,t+\f(4,t)).因为t+eq\f(4,t)≥4,当且仅当t=2,即k=±eq\f(\r(7),2)时等 号成立,满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,k=±eq\f(\r(7),2),l的方程为y= 例5、(2007浙江文)如图,直线y=kx+b与椭圆交于A、B两点,记△AOB的面积为S. (I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值; (Ⅱ)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程. 例5、解: (I)设点A的坐标为(,点B的坐标为,由, 得 当且仅当时,.S取到最大值1. 法二: 法三: 令, (Ⅱ)由得, ① |AB|=② 又因为O到AB的距离 所以 ③ ③代入②消去b得解得,,代入①式检验,△>0, 故直线AB是或或或. 例6、(2007陕西文)已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为. (Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值. 例6、解: (Ⅰ)椭圆方程为. (Ⅱ)设,. (1)当轴时,. (2)当与轴不垂直时,设直线的方程为. 把代入椭圆方程,整理得, ,. 由已知,得.…………① 由于,面积取最大值只需|AB|最大, |AB|(离分) 当时,【也可以令,或者用基本不等式】 当时.当且仅当, 即时等号成立.综上所述. 当最大时,面积取最大值. 例7、【2015江苏文理】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程. 例7、解析: (1). (2)处理一: 当轴时,,又,不合题意. 当与轴不垂直时,设直线的方程为,,, 将的方程代入椭圆方程,得,>0 则,AB的中点的坐标为,且. 若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意. 从而,故直线PC的方程为故 从而(用两点间距离公式)|PC|=,因为|PC|=2|AB|,所以 ,解得,所以直线AB方程为 处理二: 显然AB不可能水平,且过F(1,0),故设AB直线为,联立 ,得, 设,,则, 故, 故PC直线方程为,故,点P到直线AB的距离(用点到直线的距离公式)|PC|= 故解得,即 例8、【2015浙江理】椭圆上两个不同的点,关于直线对称. (1)求实数的取值范围; (2)求面积的最大值(为坐标原点). 例8、 (1)解法1: 由题意知,可设直线AB的方程为,即, 由,消去,得, ∵直线与椭圆有两个不同的交点, ∴,设,, 故AB中点代入直线方程解得,代入判别式中得,得或; 解法二: (点差法)设,,AB中点M, 故,,两式相减得,即 ,变形为 故…………..① 又C在直线上,故…………..②,联立①②得在椭圆内,所以解得,故或; (2),点O到AB距离, =换元法 ∴,当且仅当t=1时,. (或者,令化为二次函数处理。 ) 例9、【2015山东,文理】平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以QUOTEF1为圆心以3为半径的圆与以QUOTEF2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆,QUOTEE: x24a2+y24b2=1,P为椭圆QUOTEC上任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线QUOTEPO交椭圆于点. (i)求QUOTE|OQ||OP|的值;(ii)求面积的最大值. 例9.解析: (I)椭圆C的标准方程为. (II)由(I)知椭圆E的方程为, (i)设,,由题意知因为, 又,即,所以,即. (ii)设将代入椭圆E的方程, 可得由,(估计你算晕了吧,记住: 系数太大要提取公因数减少计算),可得………………① 则有,因为直线与轴交点的坐标为 所以的面积 令,【这换元太有难度了,最好看成关于的开口向下的二次函数,看对称轴】 将代入椭圆C的方程可得 由,可得…………………………………………② 由①②可知因此,故 当且仅当,即时取得最大值 由(i)知,面积为,所以面积的最大值为. 例10、(2011天津理)已知椭圆的离心率.连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点.已知点的坐标为. (ⅰ)若,求直线的倾斜角; (ⅱ)点在线段的垂直平分线上,且.求的值. 例10、【解】(Ⅰ)椭圆的方程. (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)得.设点的坐标为, 由题意直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为。 于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得 , 处理方法一: (直接求解点的坐标)因为是方程的一个根,则由韦达定理有 (体会这种方法),所以,从而. (两点间距离公式)。 处理方法二: >0,。 由, 得,整理得 ,, 所以.所以直线的倾斜角为或. (ⅱ)线段的中点为,则的坐标为. 下面分情况讨论: (1)当时,点的坐标为,线段的垂直平分线为轴. 于是,,由得. (2)当时,线段的垂直平分线方程为 .令得 由,, .整理得.. 所以.综上,或. 例11、(2007山东理)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证: 直线过定点,并求出该定点的坐标. 例11、解(I)由题意设椭圆的标准方程为 ,, (II)设,由得, ,得. 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点, ,, ,,解得 ,且满足. 当时,,直线过定点与已知矛盾; 当时,,直线过定点 综上可知,直线过定点,定点坐标为 例12、(2005全国卷II)已知、、、四点都在椭圆上,为椭圆在轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线,且.求四边形的面积的最小值和最大值. 例12、解: 如图,由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQ⊥MN,直线PQ、NM中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为K,又PQ过点F(0,1),故PQ的方程为=+1,将此式代入椭圆方程得(2+)+2-1=0 设P、Q两点的坐标分别为(,),(,),则 ,从而 (1)当≠0时,MN的斜率为-,(-代替k)同理可得 故四边形面积, 令=得,∵=≥2 当=±1时=2,S=且S是以为自变量的增函数,∴ ②当=0时,MN为椭圆长轴,|MN|=2,|PQ|=。 ∴S=|PQ||MN|=2 综合①②知四边形PMQN的最大值为2,最小值为。 例13、(2013年浙江理)如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点 (1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程. 例13、解: (Ⅰ); (Ⅱ),都过点,设直线,存在不为0,直线,所以圆心到直线的距离为,直线被圆所截的弦 由,所以>0 所以 当时等号成立,直线 例14、已知椭圆的焦点坐标为(-1,0),(1,0),过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点,且|PQ|=3, (1)求椭圆的方程; (2)过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则△MN的内切圆的面积是否存在最大值? 若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 例14、解: (1)椭圆方程为=1 (2)设M,N,设△MN的内切圆的径R,则△MN的周长为4a=8,(MN+M+N)R=4R,因此最大,R就最大, 法一: 利用面积公式 (水平宽与铅垂高乘积的一半,三角形被水平线或竖直线分割成同底的两个三角形) 由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1,(灵活使用反斜截式) 由得+6my-9=0, 则=,(这里使用了=) 令t=,则t≥1,则, ≤=3,即当t=1,m=0时,≤=3,=4R,∴=, 这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l: x=1,△AMN内切圆面积的最大值为π 法二、更具有一般性 由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1,(灵活使用反斜截式) 点到直线MN的距离 由得+6my-9=0, , ≤=3,即当t=1,m=0时,≤=3,=4R,∴=, 这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l: x=1,△AMN内切圆面积的最大值为π 例15、[2014·四川文]已知椭圆C: eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为eq\f(\r(6),3). (1)求椭圆C的标准方程; (2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积. 例15、解: (1)eq\f(x2,6)+eq\f(y2,2)=1. (2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=eq\f(m-0,-3-(-2))=-m. 当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=eq\f(1,m),直线PQ的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=my-2,,\f(x2,6)+\f(y2,2)=1,)) 消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0. 所以y1+y2=eq\f(4m,m2+3),y1y2=eq\f(-2,m2+3),x1+x2=m(y1+y2)-4=eq\f(-12,m2+3). 因为四边形OPTQ是平行四边形,所以eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(QT,\s\up6(→)),即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2). 所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1+x2=\f(-12,m2+3)=-3,,y1+y2=\f(4m,m2+3)=m.))解得m=±1. 方法2: 利用平行四边形对角线OT和PQ的中点重合.OT的中点,PQ的中点,故且,解得m=±1.故四边形OPTQ的面积 S四边形OPTQ=2S△OPQ=2eq\f(1,2)·|OF|·|y1-y2|=2=2eq\r(3). 例16、[2014·四川卷]已知椭圆C: eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q. ①证明: OT平分线段PQ(其中O为坐标原点); ②当eq\f(|TF|,|PQ|)最小时,求点T的坐标. 例16.解: (1)由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(a2+b2)=2b,,2c=2\r(a2-b2)=4,))解得a2=6,b2=2, 所以椭圆C的标准方程是eq\f(x2,6)+eq\f(y2,2)=1. (2)①证明: 由 (1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m), 则直线TF的斜率kTF=eq\f(m-0,-3-(-2))=-m. 当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=eq\f(1,m).直线PQ的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=my-2,,\f(x2,6)+\f(y2,2)=1.)) 消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0. 所以y1+y2=eq\f(4m,m2+3),y1y2=eq\f(-2,m2+3),x1+x2=m(y1+y2)-4=eq\f(-12,m2+3). 设M为PQ的中点,则M点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(-6,m2+3),\f(2m,m2+3))).所以直线OM的斜率kOM=-eq\f(m,3), 又直线OT的斜率kOT=-eq\f(m,3),所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ. ②由①可得,|TF|=eq\r(m2+1), |PQ|=eq\r((x1-x2)2+(y1-y2)2)=eq\r((m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]) =eq\r((m2+1)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4m,m2+3)))\s\up12 (2)-4·\f(-2,m2+3))))=eq\f(\r(24)(m2+1),m2+3). 所以eq\f(|TF|,|PQ|)=eq\r(\f(1,24)·\f((m2+3)2,m2+1))=eq\r(\f(1,24)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2+1+\f(4,m2+1)+4)))≥eq\r(\f(1,24)(4+4))=eq\f(\r(3),3). 当且仅当m2+1=eq\f(4,m2+1),即m=±1时,等号成立,此时eq\f(|TF|,|PQ|)取得最小值. 故当eq\f(|TF|,|PQ|)最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). 例17、(2011北京理)已知椭圆G: ,过点(m,0)作圆的切线l交椭圆G于A,B两点。 (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率; (2)将表示为m的函数,并求的最大值。 例17、解: (Ⅰ)由已知得所以 所以椭圆G的焦点坐标为,离心率为 (Ⅱ)由题意知,点(m,0)不在圆内,故. (注: 点(m,0)在x轴上,且水平线不满足条件,用反斜截式处理直线方程) 设切线l的方程为,因为与圆相切,故圆心到直线l的距离 ,即………..① 由,设, 则,(利用①式) (特别注意弦长公式的变形) 因为故当时,|AB|的最大值为2. 例18、(2013年湖南(文))已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,. 当最大时,求直线的方程. 例18.解、(Ⅰ)【画图】先求圆C关于直线x+y–2=0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线对称. (说明: 这里最好能列出关系式,求C点坐标) (Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0),,据题可设直线方程为: x=my+2,m∈R.这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意. 圆C: 到直线的距离. 由垂径定理得. ,,故 .令, , 例19、【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程; (=2\*ROMANII)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. 例19.⑴圆A整理为,A坐标,,则, 由,则, 所以E的轨迹为一个椭圆,方程为,(); ⑵;设,因为,设,联立 得; 则; 圆心到距离, 所以, 例20.某公园的大型中心花园的边界为椭圆,花园内种植各种花草,为增强观赏性,在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图),并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度),某园林公司承接了该中心花园的施工建设,在施工时发现,椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位: 百米),且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位: 百米). (1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系,求出该椭圆的标准方程; (2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值. 例20.解、 (1)两焦点连线为x轴,中心为坐标原点建立直角坐标系设椭圆为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0), 由已知,2a=4,a-c=1,a=2,c=1,∴b=eq\r(3),故椭圆的标准方程eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1. (2)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0,设直角三角形斜边所在直线方程为y=kx+m, 斜边与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组 得3x2+4(kx+m)2=12,即(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,(6分) 则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,即4k2-m2+3>0.(7分) , y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =k2eq\f(4m2-12,3+4k2)-eq\f(8k2m2,3+4k2)+m2=eq\f(3m2-12k2,3+4k2),要使△AOB为直角三角形,需使x1x2+y1y2=0, 即eq\f(4m2-12,3+4k2)+eq\f(3m2-12k2,3+4k2)=0,所以7m2-12k2-12=0,(9分)
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- 公式 高二版 椭圆