高考文科数学人教版一轮复习讲义第26讲+三角函数的图象和性质二及答案.docx
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高考文科数学人教版一轮复习讲义第26讲+三角函数的图象和性质二及答案
第26讲三角函数的图象与性质
(二)
1.进一步熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值.
2.会判断简单函数的奇偶性,会求简单函数的单调区间及其周期.
知识梳理
基本初等三角函数的图象与性质(以下k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称轴
x=kπ+2π
x=kπ
对称中心
(kπ,0)
π
(kπ+2,0)
kπ
(2,0)
递增区间
π
[2kπ-2,
π
2kπ+2]
[2kπ-π,2kπ]
π
(kπ-2,
π
kπ+2)
递减区间
π
[2kπ+2,
3π
2kπ+2]
[2kπ,2kπ+π]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期;相邻的
1对称中心与对称轴之间的距离是1个周期.
4
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
π
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=2+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
热身练习
π
1.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin(2x+3)的最小正周期为(C)A.4πB.2π
π
C.πD.2
函数f(x)=sin(2x+3π)的最小正周期T
2π
2=π.
2.若函数
A.πB.
C.
因为f(x)=sin(2x+φ)是偶函数,
f(x)=sin(2x+φ)是偶函数,则φ的一个值为(B)
所以f(x)=sin(2x+φ)=±cos2x,
π
所以φ=kπ+2,k∈Z.
k=-1时,φ=-2.
π
3.已知函数f(x)=sin(x-2)(x∈R),下面结论错.误.的是(D)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
π
B.函数f(x)在区间[0,2]上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
π
由于f(x)=sin(x-2)=-cosx,所以函
π
数f(x)的最小正周期为2π,函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,函数f(x)的图象关于直线x=0对称,函数f(x)是偶函数.
4.同时具有:
①最小正周期为π;②图象关于点(6π,0)对称的一个函数是(D)
A.y=cos(2x-6)B.y=sin(2x+6)
D.y=tan(x+3)
由T=π,排除C;把x=6π代入A,B,
函数值均不为零,排除
A,
B;再验证D符合题意.
5.
下列函数中,周期为
π,且在[4π,2π]上为减函数的是(A)
π
π
A.
y=sin(2x+2)
B.
y=cos(2x+2)
π
π
C.
y=sin(x+2)
D.
y=cos(x+2)
因为函数的周期为π,所以排除C,D.
ππ因为函数在[4,2]上是减函数,所以排除B,故选A.
三角函数的周期性
(2017·山东卷)函数y=3sin2x+cos2x的
最小正周期为()
π2π
A.2B.3
C.πD.2π
y=3sin2x+
π2π
cos2x=2sin(2x+6),T=2
=π.
(1)涉及三角函数的性质问题,首先应考
虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式.
(2)
掌握一些简单函数的周期:
如:
③y=|sinx|的周期为π;
④y=|tanx|的周期为π.
1.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(B)
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为C.f(x)的最小正周期为D.f(x)的最小正周期为
π,最大值为4
2π,最大值为3
2π,最大值为4
因为f(x)=2cos2x-sin2x+2
1-cos2x
=1+cos2x-
+2
35
=2cos2x+2,
所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.
三角函数的单调性
象如图所示,则f(x)的单调递减区间为
13
A.(kπ-4,kπ+4),k∈Z
13
B.(2kπ-4,2kπ+4),k∈Z
13
C.(k-4,k+4),k∈Z
13
D.(2k-4,2k+4),k∈Z
(经典真题)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图
(方法一)由五点法作图知,
1π
4ω+φ=2,
53π
4ω+φ=2,
ω=π,解得π
φ=4.
π
所以f(x)=cos(πx+4),
π
令2kπ 13 解得2k-4 13 故f(x)的单调递减区间为(2k-14,2k+43),k∈Z. 51 (方法二)由图象可知T=2(4-4)=2, 15 + f(x)取得最小值, 443当x=2=4时, 31 因为T=2,所以3-1=-1取到最大值. 44 13 于是得到f(x)的一个单调递减区间为(-4,4), 13 所以f(x)的单调递减区间为(2k-4,2k+4),k∈Z. (1)方法一是求单调区间的通法;方法二充分利用了单调性的图象特征. (2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但若ω<0,则应利用诱导公式将x的系数化为正数再处理. (3)求函数的单调区间应遵循先化简的原则,并注意运用复合函数的单调性规律“同增异 减”. 2.(2018新·课程卷Ⅱ)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(A) ππ A.4B.2 3π C.D.π 4 (方法一: 利用复合函数的单调性) f(x)=cosx-sinx 22 =-2(sinx·2-cosx·2) π =-2sin(x-4), 当x∈[-4π,34π],即x-4π∈[-2π,2π]时, y=sin(x-4)单调递增,y=-2sin(x-4)单调递减. 因为函数f(x)在[-a,a]是减函数, π3 所以[-a,a][-4,4π], ππ 所以0 (方法二: 利用复合函数的单调性) f(x)=2cos(x+4), π3ππ 当x∈[-4,4],即x+4∈[0,π时], y=2cos(x+4π)单调递减, π3 所以[-a,a][-4,4π], ππ
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