陈磊10203多项式插值的震荡现象.docx
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陈磊10203多项式插值的震荡现象
数值试验题目1:
多项式插值的振荡现象
陈磊
(材料科学与工程学院)
一、问题的背景与实验的目的
1考虑定义在
上的函数
.
在区间
上插入如下等距节点:
.
二、实验内容
(1)取
,对
进行多项式插值,观察比较
的图形与插值多项式
图形.
(2)取
,对
进行三次样条插值(取自然边界条件),观察比较
的图形与样条插值函数
图形.
(3)对函数
重复上述第
(1)项.
三、实验结果的分析
图1:
当n=2时函数
的拉格朗日多项式插值图
图2:
当n=5时函数
的拉格朗日多项式插值图
图3:
当n=10时函数
的拉格朗日多项式插值图
图4:
当n=20时函数
的拉格朗日多项式插值图
结果分析:
多项式插值逼近结果如图所示,图1为插值结点为2,图2为插值结点为5,图3为插值结点为10,图4为插值结点为20。
当输入插值多项式的次数由2个结点增加为5个结点时,函数图形越接近,当插值结点增加到10个结点时,曲线在中间段比较光滑,但是在图3两端时会出现与原函数
偏差会很大。
当插值次数增加到20个结点时,可以看出,适当提高插值多项式次数,可以提高逼近的精度,同时也出现偏差的地方偏差也会很大。
图1:
当n=2时函数
的拉格朗日多项式插值图
图2:
当n=5时函数
的拉格朗日多项式插值图
图3:
当n=10时函数
的拉格朗日多项式插值图
图4:
当n=20时函数
的拉格朗日多项式插值图
结果分析:
多项式插值逼近结果如图所示,图1为插值结点为2,图2为插值结点为5,图3为插值结点为10,图4为插值结点为20。
当输入插值多项式的次数由2个结点时原函数图与插值图的偏差还是很大的,随着插值结点由5个到10个图像变得越光滑,只会在两端出现偏差较大现象。
当插值次数增加到20时,可以看出,适当提高插值多项式次数,可以提高逼近的精度,但同时也出现偏差的地方偏差也会增大。
第二问程序图:
图1:
当n=10时,观察比较
的图形与样条插值函数
图形.
图2:
当n=10时,观察比较
的图形与样条插值函数
图形.
结果分析:
从上图可以看出图像拟合程度比较好,当n=10时,图像上在两端结点分布较多,在中间结点数较少;当n=5时,图像可以看出结点分布较均匀,每段曲线间长度大致相等。
4、实验程序
第一问和第三问程序:
functiont_charpt2
result=inputdlg({'选择试验题目,若选2.1,2.3,请输入1:
'},'charpt_2',1,{'1'});
Nb=str2num(char(result));
if(Nb~=1)&&(Nb~=2),errordlg('选择试验题目错误!
');
return;
end
promps={'请选择试验函数,若选f(x),请输入f,若选H(x),请输入H'};
result=inputdlg(promps,'charpt2',1,{'f'});
Nb_f=char(result);
if(Nb_f~='f'&&Nb_f~='H')
errordlg('试验函数选择错误!
');
return;
end
result=inputdlg({'请输入插值多项式的次数N:
'},'charpt_2',1,{'10'});
Nd=str2num(char(result));
if(Nd<1)
errordlg('插值多项式的次数输入错误!
');
return;
end
switchNb_f
case'f'
f=inline('1./(1+x.^2)');a=-5;b=5;
case'H'
f=inline('x./(1+x.^4)');a=-5;b=5;
end
if(Nb==1)
x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0);
x=a:
0.1:
b;y=Lagrange(x0,y0,x);
clf;
fplot(f,[ab],'co');
holdon;
plot(x,y,'b--');
xlabel('x');ylabel('y=f(x)oandy=Ln(x)--');
end
%--------------------------------------------------
functiony=Lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);
m=length(x);
fori=1:
m
z=x(i);
s=0.0;
fork=1:
n
p=1.0;
forj=1:
n
if(j~=k)
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=s+p*y0(k);
end
y(i)=s;
end
第二问程序:
当n=10时;
x=-5:
0.01:
5;
y=1./(1+x.^2);
x1=-5:
1:
5;
y1=interp1(x,y,x1,'spline');
plot(x1,y1,'o',x,y)
holdon
xlabel('x')
ylabel('y')
y1;
第二问程序:
当n=5时;
x=-5:
0.01:
5;
y=1./(1+x.^2);
x1=-5:
1:
5;
y1=interp1(x,y,x1,'spline');
plot(x1,y1,'o',x,y)
holdon
xlabel('x')
ylabel('y')
y1;
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