一元一次方程及其解法典型例题讲解.docx
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一元一次方程及其解法典型例题讲解
一元一次方程及其解法
第一部分:
知识点讲解
1、等式的基本性质:
等式的基本性质
①等式的两边同时加上(或减去)同一个数或者同一个整式,所得结果仍是等式;
符号语言:
如果a=b,那么a+c=b+c9a—c=b—c
②等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0),所得结果仍是等式;
符号语言:
如果a=b,那么ac=be♦—=—(c=#=0)cc
③对称性
符号语言:
如果a=b,那么b=a。
④传递性
符号语言:
如果a=b■h=c9那么a=c。
★★★注意事项:
1等式变形时,两边必须同时进行完全相同的运算,所得结果才会仍是等式;
2当两边都除以同一个数时,这个数不能为0.
2、一元一次方程
(1)一元一次方程的概念:
只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1.且等式两边都是整式的方程叫做一元
一次方程。
★★★注意点:
①只含有1个未知数;②未知数的指数是1;③等式的两边都是整式。
★★★深度剖析一元一次方程:
1等式2x+l=x+l+x中,虽然含有字母x,但这里的x表示任何值时等式都成立,因为等式整理后不再含有未知数,因此它不能叫做方程.
2若在整式方程中只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次就是一元一次方程,如2x+3=2x(x+1)中,虽x的次数出现了2次,但整理后只含有一次项,因此也叫一元一次方程.
综上所述,判断一元一次方程时应先整理为ax+b=O(其中a、b是常数,且aHO)形式,再根据方程定义确定•掌握判别一元一次方程的方法关键是熟知它的特点,注意未知数的个数、未知数的次数以及整理成一般形式的方法,要结合不同方程类型加以区别,以达到强化定义的目的.
步骤名称
具体做法
根据
注意爭项
去分母
在方程曲边都乘以各分母的最小公借数
等式基本性质2
(】)不耍漏痕不含分母的项$(2〉分子是一个轅体,去分母后应加括号
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
乘法分配律•去括号法则
(1〉不要潸乘括号内的项;
(2)注童括号前面足“一”号时,符号的变化
移项
把含有耒知数的项都移到方程的左边•其他项郁移到方程的右边
等式基本性质1
移项要变号
合并同类项
把方程两边的冋类项分别合并•使方程变成的形式
合并同类项法则
只是系数相加•字母及其指数不变
未知数系数化成】
在方程两边都除以未知数的系数s得到方程的解尸令
等式碁本性质2
不耍把分子、分母位置颠倒
(2)★★★注意事项(易错部分):
(&★★★移项:
把兰"V八、「:
丐賞-;炸厂石兰的一种变形。
1•移项变号,不移不变号,因此关注各项符号是否要变化.
2.一般都习惯把含未知数的项移到等式左边,常数项移到等式右边.
2*★★去括号:
变形中需要去括号时,注意去括号法则,括号前面是"+”号,去括号时,括号里的各项都不改变符号;括号前面是"一”号,去括号时,把括号和它前面的"一”号去掉,括号里的各项都改变符号.
[注意]用分配律去括号时,不要漏乘括号中的项,并且不要弄错符号.
3*★★去分母:
(1)方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数;
(2)去分母后如分子中含有两项,应将该分子添上括号。
第二部分:
例题讲解
例题1:
下列各式中,①3x+4;②5—2=3;③4x+y=6;④2疋一兀=0;④x(x+l)=O;@-^—=4;⑥3x+4=0;⑦2x‘-4x+5=6x,-4十;⑧or+2=0;⑨|兀-1|=2。
x-111
其中是一元一次方程的有°(填序号)
例题2:
判断下列变形是否正确:
若a=b.那么ac=be反过来若ac=be9那么a=b
若m=n,
反过来若-=则〃心畀
cc
例题3:
利用等式的性质解方程:
③3+2x=7+x・④3x-5=x.
♦♦
①-丄x=4;②3x+2=8
4
例题4:
(1)〒"+21=0是一元一次方程•则k二。
(2)』T+21=0是一元一次方程,则“。
(3)伙一1)«/1+21=0是一元一次方程,则k:
3x-l,4x—l
=1
36
(3)
2x-25x+l‘
—=1
68
(4)
(5)已知方程伙-\)x3-kx=x3+\是一元一次方程,则k的值为
例题5:
解方程:
3x+52x-l
23~
⑹卜・+2討1)"+兀
(1)2(%-2)-3(4x-1)=9(1-x)
(5)
0.2—0.lx
0.03
=1
(6)Wx_l)_4]_2=x
324
例题6:
例题7:
已知关于x的方程3^-x=-+3的解是x=4,求a2-2a的值。
2
若方程匕竺+二!
=1一与关于无的方程兀+竺H=t—3尤的解相同,
63436
求a2-2a的值。
例题8:
小华同学在解方程¥=守"分母时,方程右边的T没有乘以3,因而
求得方程的解为x=-2,请帮小华正确求出方程的解。
例题9:
已知关于x的方程匸+〃?
=竺二竺。
(1)当加为何值时,方程的解为x=4;
26
(2)当加=4时,求方程的解.
例题10:
•解答下列各题:
⑴当。
=2时,代数式3a2-2a-4的值恰好是关于;r的方程3宓一2^+1=〃,一6的解,求加的值;
(2)若整式”与冬二1的差为1,求x的值;
36
937
⑶若关升的方程列~5+严5的解是“行,求加的值.
V/I&丫一]
例题m已知关升的方程疋-丁〒求眼何值时,方程有解
例题12:
已知关于x的方程"(3/-2)+方(2兀一3)=张一7。
(1)若b=\,a^2时,求方程的解;
(2)当ab满足什么条件时,方程有无数个解
例题13:
已知3x+12=0与方程x+|3o|=—1的解相同,求a的值。
例题14:
设a.b^d为实数•现规定一种新的运算"&’[—be,则满足等式
cd
xx+\
23=1的兀的值为。
21
例题15:
若4“+3与3。
一10互为相反数,则a的值为。
例题16:
如果单项式•严b与2疋)“是同类项,那么/=
例题17:
有一叠卡片,自上而下按规律分别标有数字6,12,18,24,30,・.・。
(1)你能发现这些卡片上的数字有什么规律吗请将它用一个含有〃("为正整数)的式子表示出来;
(2)小明从中抽取相邻的3张,发现其上数字的和是342,你知道他抽出的卡片是哪3张吗
(3)你能拿出相邻的3张卡片,使得这些卡片上的数字之和是86吗为什么
第三部分:
课堂检测
1.在下列各式中:
①x—3—x;②3x—1=2;③x2=0;④
2x
2(x-x-3)=-|(1-4x-6?
);@a-2-2a-3=0o一元一次方程的个数为()
D、由m=n,得到2am=an
4、若x=2是关于兀的方程——+k=k(x+2)的解,则£的值应为()
A、9B.-C.-D.1
93
5,如图①和图②分别表示两架处于平衡状态的简易天平,对a、b,c三种物体的质量判断正
确的是()
JlELEL43E3EL、氐卜”
SZS
B、a
A、a C.c 6.若代数式5加—丄与一5(--m)的值互为相反数,则加的值是。 44 r1aor_1 7、若式子二一的值比式子二「的值大1,则*=o 35 8,若单项式一3/7/与-a2bx~y是同类项,则。 9.定义新运算“㊉”如下,a㊉b=3a—2b,若(2x-l)㊉(x+2)=0,则兀= (2)土=1 10、解方程: (1)3x—7(x—l)=3—2(x+3) (3)03+002匚吨“ 0.030.2 13. 已知$=1是方程(2-3y)a=y+a的解,求关于兀的方程 课后训练 1.下列各式: (X)2x—\=5: ②4+8=12;③5y+8;④2x+3y=0;⑤2,+%=1; ©2x2+x=1;®|x|+l=2;®—=6y-9,是一元一次方程是(). A、①②④⑤ B、①噩⑦⑧ C、®© D、① 2•如果心是方程卜+的根,那么。 的值是(). A・0B・2C.—2D.—6 3.下列变形是移项的是(). A.由3=-x,得—x=3 22 B・由6%=3+5乙得6x=5x+3 C.由2x—3=x+5,得2x—*=5+3 D.由2x=—1,得x=-— 2 4. 将方程9二! =i一辿旦去分母, 32 得( ). A.2(2%-1)=1-3(5x4-2) B.4%—1=6—15x—2 C.4x-2=6-15^+6 D. 4x—2=6—15%—6 3 5•解r方程-x-8=x时,第一步最合理的做法是(). 4 4 A.同乘以一B.同除以x 3 C.两边都加上8-xD.两边都除以一86•解方程-2(x-5)+3(x-l)=0时,去括号正确的是() A、-2*-10+3只-3二0B、~2x+10+3x_l=0C、-2*+10+3只-3二0D、-2x+5+3x-3=0 7•解方程4(y-l)-y=2(y+-)的步骤如下: 2 解: ①去括号,得4y-4-y二2y+l ②移项,得4y+y-2y=l+4 3合并同类项,得3y=5 4系数化为1,得y=? ・ 3 经检验y二»不是方程的解,则上述解题过程中是从第几步出错的()3 A.①B、②C、③D、④ *•把方程欝+甞沢的分母化成整数’结果正确的是() A、土+巴口=] 93 20x+3010x-60 C、+二10 93 D、 20x+3010x~60 1: 1 93 9•如果一2Z",+1=0是关于x的一元一次方程,那么"应满足的条件是 10.已知3与2"与_9x)严3是同类项,则0+1的值为。 11.若整式12-3(9-y)与5(y-4)的值相等,则y=. 12•解方程: (2) x-9x+2=x-\ x-2 11 261220 (4) —--(1 43 2x-5 2 )=l(2x-5)o ⑸2L=1+Q12-0.03a- 0.30.02 x-2x+4 0.125一 =3.9; (7) 3+0・2x0.2+0.03x 0.2 0.01 =0.75 (8)34%(x+l)+=60%(x-l) 13.若关于x的方程(〃『一1)/一(川+1*—8=0是关于兀的一元一次方程,求代数式 2012(in2+1)(1-m)+40m-10的值。
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- 一元一次方程 及其 解法 典型 例题 讲解