普通高等学校招生全国统一考试全国大纲卷数学试题 理科解析版.docx

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普通高等学校招生全国统一考试全国大纲卷数学试题理科解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在．试．题．卷．上．作．答．无．效．。

．

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

（1）复数z=1+i，z为z的共轭复数，则zz-z-1=（）

（A）-2i

【答案】B

（B）

-i

（C）

i（D）2i

【命题意图】本题主要考查复数的运算.

【解析】zz-z-1=|z|2-z-1=2-（1+i）-1=-i.

（2）函数y=2x（x≥0）的反函数为（）

（A）y=

x（x∈R）4

（B）y=

x（x≥0）4

（C）y=4x2（x∈R）

【答案】B

（D）y=4x2（x≥0）

【命题意图】本题主要考查反函数的求法.

y2

【解析】由原函数反解得x=,又原函数的值域为y≥0,所以函数y=2

4

x（x≥0）的反函数为

2

y=x（x≥0）.

4

（3）下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是（）

（A）a＞b+1

【答案】A

（B）

a＞b-1

（C）

a2＞b2

（D）

a3＞b3

【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.

【解析】即寻找命题P,使P⇒a>b,且a>b推不出P,逐项验证知可选A.

（4）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2-Sk=24，则k=（）

（A）8（B）7（C）6（D）5

【答案】D

【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.

【解析】解法一Sk+2-Sk=[（k+2）⨯1+

（k+2）（k+1）2

⨯2]-[k⨯1+

k（k-1）2

⨯2]=4k+4=24，解

得k=5.

解法二:

Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=[1+（k+1）⨯2]+（1+k⨯2）=4k+4=24，解得k=5.

（5）设函数f（x）=cosωx（ω>0），将y=f（x）的图像向右平移像重合，则ω的最小值等于

1

π

个单位长度后，所得的图像与原图

3

（A）

3

（B）3（C）6（D）9

【答案】C

【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换.

【解析】由题意得2π⨯k=π（k∈Z）,解得ω=6k,又ω>0,令k=1,得ω=6.

ω3min

（6）已知直二面角α-l-β,点A∈α，AC⊥l,C为垂足,B∈β，BD⊥l,D为垂足．若AB=2,AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于

（A）

3

（B）

3

（C）

3

（D）

1

【答案】C

【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法.

【解析】如图,过D作DE⊥BC,垂足为E,因为α-l-β是直二面角

AC⊥l,∴AC⊥平面β,

∴AC⊥DE,BC⊥DE,ACIBC=C,∴DE⊥平面ABC,故DE的长为点D到平面ABC的距

离.在Rt∆BCD中,由等面积法得DE=BD⨯CD==6.

BC3

（7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

（A）4种（B）10种（C）18种（D）20种

【答案】B

【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

4

【解析】分两类:

一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有C1=4种；

4

二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有C2=6种.故赠送方法共有10种.

（8）曲线y=e-2x+1在点（0,2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

1

（A）

3

1

（B）

2

2

（C）

3

（D）1

【答案】A

【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.

【解析】y'=-2e-2x,∴曲线y=e-2x+1在点（0,2）处的切线的斜率k=-2,故切线方程是

y=-2x+2,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为（0,0）、（1,0）、（2,2），

33

∴三角形的面积是S=1⨯1⨯2=1.

233

（9）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x）,则f（-

5）=

2

1

（A）-

2

【答案】A

（B）-（C）1

44

1

（D）

2

【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.

【解析】由f（x）是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:

f（-5）=f（-5+2）=f（-1）=-f

（1）=-2⨯1⨯（1-1）=-1.

2222222

（10）已知抛物线C：

y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点．则cos∠AFB=

4

（A）

5

3

（B）

5

（C）-（D）-4

55

【答案】D

【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.

⎧y2=4x

【解析】联立⎨y=2x-4消去y得x-5x+4=0,解得x=1,x=4,不妨设A点在x轴的上方,于是

⎩

2

A，B两点的坐标分别为（4,4）,（1,-2）,又F（1,0）,可求得AB=35,AF=5,BF=2.在VABF中,

AF2+BF2-AB24

由余弦定理cos∠AFB==-.

2⨯AF⨯BF5

（11）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为

（A）7π（B）9π（C）11π（D）13π

【答案】D

【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.

【解析】如图所示,由圆M的面积为4π知球心O到圆M的距离

OM=23,在Rt∆OMN中,∠OMN=30︒,∴ON=1OM=,

2

故圆N的半径r=

S=πr2=13π.

=,∴圆N的面积为

rr1

（12）设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，agb=-

2

，=60︒

，则|c|的最大值等于

（A）2（B）

【答案】A

（c）2（D）1

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思

想.

B

【解析】如图，设AB=a,AD=b,AC=c，则

∠BAD=120︒,∠BCD=60︒，∠BAD+∠BCD=180︒，∴A,B,C,D四

点共圆，当AC为圆的直径时，|c|最大，最大值为2.

A

C

D

绝密★启用前

注意事项：

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）

第Ⅱ卷

1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。

2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上（注意：

在．试．卷．上．作．答．无．效．）

（13）（1-x）20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为.

【答案】0

【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.

r

【解析】由T=Cr（-x）r=（-1）rCrx2得x的系数为C2,x9的系数为C18,而C18=C2

所以x

r+12020

的系数与x9的系数之差为0.

2020

2020

π

（14）已知α∈（,π）,sinα=,则tan2α=.

25

【答案】-4

3

【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式.

πsinα1

【解析】由α∈（,π）,sinα=得cosα=-,故tanα==-,

25

2tanα4

∴tan2α=1-tan2α=-3.

5cosα2

（15）已知F1、F2分别为双曲线C:

x2y2

-

=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM

927

为∠F1AF2的平分线．则|AF2|=.

【答案】6

【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.

【解析】QAM为∠FAF的平分线，∴|AF2|=|MF2|=4=1∴|AF|=2|AF|

|AF1||MF1|82

又点A∈C，由双曲线的第一定义得|AF1|-|AF2|=2|AF2|-|AF2|=|AF2|=2a=6.

（16）己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.

【答案】

3

【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法.

【解析】延长FE交CB的延长线于G,连结AG,则AG为面AEF与面ABC的交线,由

B1E=2EB,CF=2FC1得CF=2BE,∴B为GC中点.设正方体的棱长为1,则AG=AC=,又

GC=2,∴AC2+AG2=GC2∴∠CAG=90︒QFC⊥平面ABC,∴FA⊥AG∴∠CAF是面

2

CF

AEF与面ABC所成的二面角的平面角,在RtVACF中,tan∠CAF==3=

AC2

2

故面AEF

3

与面ABC所成的二面角的正切值等于.

3

三．解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分l0分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=90︒,,求C.

【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.

【解析】由a+c=

2b及正弦定理可得

sinA+sinC=

2sinB

…………………………………3分

又由A-C=90︒,B=180-（A+C）,故

cosC+sinC=2sin（A+C）

2cosC+

=2sin（90︒+2C）

=2cos2C…………………………………7分

2sinC=cos2C,

22

cos（45︒-C）=cos2C

因为0︒

…………………………………10分

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

（18）（本小题满分l2分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.

【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望，考查考生分析问题、解决问题的能力.

【解析】记A表示事件:

该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件:

该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件:

该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种；

D表示事件:

该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

（I）P（A）=0.5,

P（B）=0.3,C=A+B

……………………………3分

P（C）=P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8

（Ⅱ）D=C,P（D）=1-P（C）=1-0.8=0.2

……………………………6分

X:

所以期望

B（100,0.2）,即X服从二项分布,……………………………10分

EX=100⨯0.2=20.……………………………12分

【点评】概率与统计是每年的必考题，一般安排在解答题的前3题.本题属于已知概率求概率类型.考查保险背景下的概率问题，要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望.

（19）（本小题满分l2分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

如图，四棱锥S-ABCD中，

AB=BC=2,CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：

SD⊥平面SAB；

AB//CD,BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小.

【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.

解法一：

（Ⅰ）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则

SE⊥AB，SE=.

又SD=1,故ED2=SE2+SD2,所以∠DSE为直角.………………3分

由AB⊥DE,AB⊥SE,DEISE=E,得AB⊥平面

SDE,所以AB⊥SD.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直.

所以SD⊥平面SAB.………………6分

另解:

由已知易求得SD=1,AD=5,SA=2,于是

SA2+SD2=AD2.可知SD⊥SA,同理可得SD⊥SB,

又SAISB=S.所以SD⊥平面SAB.………………6分

（Ⅱ）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.

作SF⊥DE,垂足为F,则SF⊥平面ABCD,SF=SD⨯SE=3.

DE2

作FG⊥BC,垂足为G,则FG=DC=1.

连结SG.则SG⊥BC.

又BC⊥FG,SGIFG=G,故BC⊥平面SFG,平面SBC⊥平面SFG.……9分作FH⊥SG,H为垂足,则FH⊥平面SBC.

FH=SF⨯FG=,即F到平面SBC的距离为21.

SG7

由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面SBC的距

21

离d也为.

7

设AB与平面SBC所成的角为α,则

sinα=d=

EB

21,α=arcsin

7

21

.……12分

7

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解法二：

以C为原点,射线CD为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

设D（1,0,0）,则A（2,2,0）、B（0,2,0）.

又设S（x,y,z）,则x>0,y>0,z>0.

（Ⅰ）AS=（x-2,y-2,z）,BS=（x,y-2,z）,DS=（x-1,y,z）,

由|AS|=|BS|得

=,

故x=1.

由|DS|=1得y2+z2=1,

又由|BS|=2得x2+（y-2）2+z2=4,

即y2+z2-4y+1=0,故y=1,z=3.………………3分

22

1uur

33uur

33uur13

于是S（1,,）,AS=（-1,-,）,BS=（1,-,）,DS=（0,,）,

22222222

DS⋅AS=0,DS⋅BS=0.

故DS⊥AS,DS⊥BS,又ASIBS=S,

所以SD⊥平面SAB.………………6分

（Ⅱ）设平面SBC的法向量a=（m,n,p）,

则a⊥BS,a⊥CB,a⋅BS=0,a⋅CB=0.

uur

又BS=（1,-

3uur

）,CB=（0,2,0）,

22

⎧m-3n+3p=0,

故⎨22

………………9分

⎪⎩2n=0

取p=2得a=（-

uurr

3,0,2）,又AB=（-2,0,0）,

uurr

cos=

AB⋅a

uurr=.

|AB|⋅|a|7

故AB与平面SBC所成的角为arcsin

21

.………………12分

7

【点评】立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.今年的立几问题建系就存在这样的问题，很多考生由于建系问题导致立几的完成情况不是很好.

（20）（本小题满分l2分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

设数列{a}满足a=0且1-1=1.

n1

求{an}的通项公式；

1-a

n+1

1-an

（Ⅱ）设bn=

n

记Sn=∑bk,证明：

Sn<1.

k=1

【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明，考查考生分析问题、解决问题的能力.

【解析】（Ⅰ）由题设

1

1

1-an+1

-1

1-an

=1,

即｛｝是公差为1的等差数列.

1-an

又1=1,故1=n.

1-a11-an

所以an

=1-1

n

……………………………5分#（Ⅱ）由（Ⅰ）得

bn=

=

=-,

n+1

Sn=∑bk=∑（

-）=1-<1…………………………12分

k=1

k=1

k+1

n+1

【点评】2011年高考数学全国卷将数列题由去年的第18题后移,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

（21）（本小题满分l2分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

2y2

已知O为坐标原点，F为椭圆C：

x+=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的

2

直线l与C交与A、B两点，点P满足OA+OB+OP=0.

（I）证明：

点P在C上；

（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明：

A、P、B、Q四点在同一圆上.

【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。

2y2

【解析】（I）F（0,1）,l的方程为y=-

2x+1,代入x+=1并化简得

2

4x2-22x-1=02

分

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,P（x3,y3）,

2-62+6

则x1=

4,x2=4,

x+x=2,y+y=-

2（x+x）+2=1,

122

1212

由题意得x3=-（x1+x2）=-

2,y3=-（y1+y2）=-1,

所以点P的坐标为（-

-1）.

2

2

2y2

经验证点P的坐标（-