天津市南开区高三二模数学理试题含答案.docx
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天津市南开区高三二模数学理试题含答案
南开区2015~2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测
(二)
数学试卷(理工类)2016.05
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上;
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.本卷共8小题,每小题5分,共40分.
参考公式:
·如果事件A,B互斥,那么·如果事件A,B相互独立,那么
P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A)•P(B).
·球的表面积公式S球=4πR2,
其中R表示球的半径.
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R,集合A={x∈Z|–1<x≤3},集合B={1,2},则集合A∩∁RB=().
(A){0,3}(B)(–1,1)∪(2,3]
(C)(0,1)∪(1,2)∪(2,3](D){–1,0}
(2)设x,y满足约束条件则z=x–2y–3的最小值为().
(A)–6(B)–3
(C)–1(D)1
(3)下列结论错误的是().
(A)命题“若p,则¬q”与命题“若q,则¬p”互为逆否命题
(B)命题p:
x∈[0,1],ex≥1,命题q:
x∈R,x2+x+1<0,则p∧q为真
(C)“若am2<bm2,则a<b”为真命题
(D)“a>0,b>0”是“≥”的充分不必要条件
(4)如图所示的程序框图的运行结果为().
(A)–1(B)
(C)1(D)2
(5)=().
(A)–(B)–1
(C)(D)1
(6)已知l1,l2分别为双曲线–=1(a>0,b>0)的两条渐近线,且右焦点关于l1的对称点在l2上,则双曲线的离心率为().
(A)(B)
(C)2(D)
(7)若函数f(x)=|x|+–(a>0)没有零点,则a的取值范围是().
(A)(,+∞)(B)(2,+∞)
(C)(0,1)∪(,+∞)(D)(0,1)∪(2,+∞)
(8)已知函数f(x)=xsinx+cosx+x2,则不等式f(lnx)+f(ln)<2f
(1)的解集为().
(A)(e,+∞)(B)(0,e)
(C)(0,)∪(1,e)(D)(,e)
南开区2015~2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测
(二)
答题纸(理工类)
题号
二
三
总分
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
得分
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题;
2.本卷共12小题,共110分.
得分
评卷人
二、填空题:
本大题共6个小题,每小题5分,共30分.请将答案填在题中横线上。
(9)若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为.
(10)的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则它的展开式中常数项是______.
(11)一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧视图都是半径为1的圆,且这个几何体是球体的一部分,则这个几何体的表面积为.
(12)已知在平面直角坐标系xOy中,过定点P倾斜角为α的直线l的参数方程为:
(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆心的极坐标为(3,),半径为3的圆C与直线l交于A,B两点,则|PA|·|PB|=.
(13)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O与边BC,AC分别交于点D,E,且DF⊥AC于F.若CD=3,EA=,则EF的长为.
(14)已知△ABC内一点P满足=+,过点P的直线分别交边AB、AC于M、N两点.若=λ,=μ,则λ+μ的最小值为.
三、解答题:
(本大题共6个小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
得分
评卷人
(15)(本小题满分13分)
已知函数f(x)=2sin(cos–sin)(ω>0)的最小正周期为3π.
(Ⅰ)求ω的值和函数f(x)在区间上的最大值和最小值;
(Ⅱ)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,c=4,且f(A)=1,求b和△ABC的面积.
得分
评卷人
(16)(本小题满分13分)
如图所示的三个游戏盘中(图
(1)是正方形,图
(2)是半径之比为1:
2的两个同心圆,图(3)是正六边形)各有一个玻璃小球,依次摇动三个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏.
(Ⅰ)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少?
(Ⅱ)用随机变量ξ表示一局游戏后小球停在阴影部分的个数与小球没有停在阴影部分的个数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
得分
评卷人
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PB,E为PC上的点,且BE⊥平面PAC.
(Ⅰ)求证:
PA⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角PACB的正弦值;
(Ⅲ)求点D到平面PAC的距离.
得分
评卷人
(18)(本小题满分13分)
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足=2Sn+n+4,a2–1,a3,a7恰为等比数列{bn}的前3项.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=(–1)nanbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
得分
评卷人
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,过椭圆的左焦点F且倾斜角为60的直线与圆x2+y2=(其中a,b分别为椭圆C的长半轴、短半轴长)相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:
y=kx+m与椭圆C相交于M,N两点(M,N不是左、右顶点),若以MN为直径的圆恰好过椭圆C的右顶点A.判断直线l是否过定点,若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
得分
评卷人
(20)(本小题满分14分)
设函数f(x)=(x–k)ex(k∈R).
(Ⅰ)若f(x)在区间(–1,1)上是增函数,求k的取值范围;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值;
(Ⅲ)若k=0,是否存在实数a,使得对任意的x1,x2∈(a,+∞),当x1<x2时,恒有x1(f(x2)–f(a))–x2(f(x1)–f(a))>a(f(x2)–f(x1))成立?
若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
南开区2015~2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测
(二)
数学试卷(理工类)参考答案2016.05
一、选择题:
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
B
B
A
D
C
D
D
二、填空题:
(9)2;(10)1120;(11)4π;
(12)16;(13);(14)
三、解答题:
(其他正确解法请比照给分)
(15)解:
(Ⅰ)∵f(x)=2sincos–2sin2
=sinωx+cosωx–1
=2sin(ωx+)–1,…………3分
∴=3π,∴ω=.
∴f(x)=2sin(x+)–1,…………5分
∵x∈,
∴f(x)在区间[–π,]单调递增,在区间[,]单调递减,
f(–π)=2sin(–)–1=–3,f()=2sin–1=1,f()=2sin–1=–1,
因此f(x)在区间上的最大值为1,最小值为–3.…………8分
(Ⅱ)∵f(A)=2sin(A+)–1=1,
∴sin(A+)=1,又∵0≤A≤π,∴A=,…………10分
∵a=2,c=4,
∴由余弦定理:
a2=b2+c2–2bccosA得12=b2+16–4b,
即b2–4b+4=0,∴b=2,…………12分
从而△ABC的面积S=bcsinA=2.…………13分
(16)解:
(Ⅰ)一局游戏后,三个盘中小球停在阴影部分分别记为事件A1,A2,A3,
由题意知A1,A2,A3相互独立,且P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=××=.…………5分
(Ⅱ)一局游戏后,小球停在阴影部分的个数可能取值为0,1,2,3,相应的小球没有停
在阴影部分的个数可能取值为3,2,1,0,所以ξ可能的取值为1,3,则
P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P()
=P(A1)P(A2)P(A3)+P()P()P()
=××+××=,
P(ξ=1)=1–=,
ξ
1
3
P
所以分布列为:
…………11分
则…………13分
(17)解:
(Ⅰ)∵BE⊥平面PAC,∴BE⊥PA.
∵侧面PAB⊥底面ABCD,且CB⊥AB,
∴CB⊥平面PAB,
∴CB⊥PA,∴PA⊥平面PBC.…………4分
(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OP所在直线为z轴,AB所在直线为x轴,过O点平行于AD的直线为y轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
∵PA⊥平面PBC,PB面PBC,
∴PA⊥PB,
在Rt△APB中,AB=2,O为AB的中点,∴OP=1.
∴A(–1,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1),C(1,2,0),D(–1,2,0),
∴=(1,0,1),=(2,2,0),
显然,平面BAC的一个法向量为m=(0,0,1),
设平面APC的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·=n·=0,
即取x=1,则y=–1,z=–1,从而n=(1,–1,–1),
设二面角PACB的平面角为θ,
则|cosθ|=|cos
即二面角PACB的正弦值为.…………10分
(Ⅲ)∵=(0,2,0),
∴点D到平面PAC的距离d=.…………13分
(18)解:
(Ⅰ)∵=2Sn+n+4,
∴=2Sn–1+n–1+4(n≥2),
两式相减得–=2an+1,…………2分
∴=+2an+1=(an+1)2,又an>0,
∴an+1=an+1(n≥2),…………3分
∵a32=(a2–1)a7,
∴(a2+1)2=(a2–1)(a2+5),
解得a2=3,…………5分
又=2a1+1+4,得a1=2.…………6分
∴{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,所以an=n+1.…………7分
由题意知b1=2,b2=4,∴bn=2n.…………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得cn=(n+1)•(–2)n,…………9分
Tn=2•(–2)1+3•(–2)2+4•(–2)3+…+n•(–2)n–1+(n+1)•(–2)n……①
–2Tn=2•(–2)2+3•(–2)3+4•(–2)4+……+n•(–2)n+(n+1)•(–2)n+1……②
①–②得:
3Tn=2•(–2)1+(–2)2+(–2)3+(–2)4+……+(–2)n–(n+1)•(–2)n+1
=––(n+)•(–2)n+1
∴Tn=––•(–2)n+1.…………13分
(19)解:
(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为
则得
…………4分
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