版高中数学 第二章 统计章末复习课学案 苏教版必修3.docx
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版高中数学第二章统计章末复习课学案苏教版必修3
第二章统计
学习目标
1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据;2.能利用图、表对样本数据进行整理分析,用样本和样本的数字特征估计总体的数字特征;3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断,能用线性回归方程进行预测.
知识点一 抽样方法
1.当总体容量较小,样本容量也较小时,可采用__________________________.
2.当总体容量较大,样本容量较小时,可用______________________________.
3.当总体容量较大,样本容量也较大时,可用____________________________.
4.当总体由差异明显的几部分组成时,可用______________________________.
知识点二 用样本估计总体
用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定的一组数据作频率____________与频率______________.当样本只有两组数据且样本容量比较小时,用________刻画数据比较方便.
知识点三 样本的数字特征
样本的数字特征可分为两大类:
一类是反映样本数据集中趋势的,包括________、__________和____________;另一类是反映样本波动大小的,包括极差、__________及__________.
知识点四 变量间的相关关系
1.两个变量之间的相关关系的研究,通常先作变量的____________,根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系).
2.求回归方程的步骤:
(1)先把数据制成表,从表中计算出
,
,
x
,
xiyi.
(2)计算a,b.公式为
(3)写出回归方程
=bx+a.
类型一 抽样方法的应用
例1 某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,干事20人,上级机关为了了解机关人员对政府机构的改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,如何抽取?
反思与感悟 三种抽样方法并非截然分开,有时你中有我,我中有你,它们都能保证个体被抽到的机会相等.
跟踪训练1 某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为________.
类型二 用样本的频率分布估计总体分布
例2 有1个容量为100的样本,数据(均为整数)的分组及各组的频数如下:
[12.5,15.5),6;[15.5,18.5),16;[18.5,21.5),18;
[21.5,24.5),22;[24.5,27.5),20;[27.5,30.5),10;
[30.5,33.5],8.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计小于30的数据约占多大百分比.
反思与感悟 借助图表,可以把抽样获得的庞杂数据变得直观,凸显其中的规律,便于信息的提取和交流.
跟踪训练2 为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为________.
类型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3 甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为
甲:
99 100 98 100 100 103
乙:
99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
反思与感悟 样本的数字特征就像盲人摸到的象的某一局部特征,只有把它们结合起来才能看到全貌.
跟踪训练3 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问:
甲、乙谁的平均成绩好?
谁的各门功课发展较平衡?
类型四 线性回归方程的应用
例4 某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(2)求出y关于x的线性回归方程
=bx+a,并在坐标系中画出回归直线;
(3)试预测加工10个零件需要多少小时?
(注:
b=
,a=
-b
)
反思与感悟 散点图经最小平方法量化为线性回归方程后,更便于操作(估计、预测),但得到的值仍是估计值.
跟踪训练4 2017年元旦前夕,某市统计局统计了该市2016年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:
年收入
x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支出
y(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)如果已知y与x成线性相关关系,求线性回归方程;
(2)若某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.
(参考数据:
xiyi=117.7,
x
=406)
1.某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查,在A,B,C,D四个单位回收的问卷数依次成等差数列,且共回收了1000份,因报道需要,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本,若在B单位抽取30份,则在D单位抽取的问卷是________份.
2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为________________.
3.随机抽取某学校甲、乙两班各10名同学的一模数学成绩,获得数学成绩的茎叶图如图,则根据茎叶图可估计一模数学平均成绩较高的班级是________.
4.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是________.
1.应用抽样方法抽取样本时,应注意以下几点:
(1)用随机数表法抽样时,对个体所编的号码位数要相等.当问题所给位数不相等时,以位数较多的为准,在位数较少的数前面添“0”,凑齐位数.
(2)用系统抽样法抽样时,如果总体容量N能被样本容量n整除,抽样间隔为k=
,如果总体容量N不能被样本容量n整除,先用简单随机抽样法剔除多余个体,抽样间隔为k=[
]([
]表示取
的整数部分).
2.用样本的频率分布估计总体分布
利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计,有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体情况作出估计.直方图能够很容易地表示大量数据,非常直观地表明分布的形状,使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式,这样根据样本的频率分布,我们可以大致估计出总体的分布.但是,当总体的个体数较多时,所需抽样的样本容量也不能太小,随着样本容量的增加,频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条曲线为总体密度曲线,它能给我们提供更加精细的信息.在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留原始信息,而且可以随时记录,这给数据的记录和表示都带来方便.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律,我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计.平均数就是所有样本数据的平均值,用
表示;标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,有时也用标准差的平方s2—方差来代替标准差,实质一样.
4.线性回归方程的应用
分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系,还可利用最小二乘法求出线性回归方程,并利用线性回归方程进行估计和预测.
答案精析
知识梳理
知识点一
1.抽签法 2.随机数表法 3.系统抽样法
4.分层抽样法
知识点二
分布表 分布直方图 茎叶图
知识点三
众数 中位数 平均数 方差 标准差
知识点四
1.散点图
题型探究
例1 解 用分层抽样抽取.
∵20∶100=1∶5,
∴
=2,
=14,
=4,
即从副处级以上干部中抽取2人,一般干部中抽取14人,干事中抽取4人.
∵副处级以上干部与干事人数都较少,他们分别按1~10编号和1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人,对一般干部采用00,01,…,69编号,然后用随机数表法抽取14人.
跟踪训练1 8
解析 分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本,设从高二年级抽取的学生数为n,则
=
,得n=8.
例2 解
(1)样本的频率分布表如下:
分组
频数
频率
[12.5,15.5)
6
0.06
[15.5,18.5)
16
0.16
[18.5,21.5)
18
0.18
[21.5,24.5)
22
0.22
[24.5,27.5)
20
0.20
[27.5,30.5)
10
0.10
[30.5,33.5]
8
0.08
合 计
100
1.00
(2)频率分布直方图如图:
(3)小于30的数据占0.06+0.16+0.18+0.22+0.20+0.10=0.92=92%.
跟踪训练2 54
解析 [4.7,4.8)之间频率为0.32,[4.6,4.7)之间频率为1-0.62-0.05-0.11=1-0.78=0.22.
∴a=(0.22+0.32)×100=54.
例3 解
(1)
甲=
(99+100+98+100+100+103)=100,
乙=
(99+100+102+99+100+100)=100.
s
=
[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=
,
s
=
[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又s
>s
,
所以乙机床加工零件的质量更稳定.
跟踪训练3 解 甲的平均成绩为
甲=74,乙的平均成绩为
乙=73.所以甲的平均成绩好.
甲的方差是s
=
[(-14)2+62+(-4)2+162+(-4)2]=104,乙的方差是s
=
×[72+(-13)2+(-3)2+72+22]=56.
因为s
>s
,所以乙的各门功课发展较平衡.
例4 解
(1)散点图如图.
(2)由表中数据得:
iyi=52.5,
=3.5,
=3.5,
=54,
∴b=0.7,∴a=1.05,
∴
=0.7x+1.05,回归直线如图所示.
(3)将x=10代入线性回归方程,得
=0.7×10+1.05=8.05,
故预测加工10个零件约需要8.05小时.
跟踪训练4 解
(1)依题意可计算得:
=6,
=1.83,
2=36,
=10.98,又∵
xiyi=117.7,
x
=406,
∴b=
≈0.17,
a=
-b
≈0.81,∴
=0.17x+0.81.
∴所求的线性回归方程为
=0.17x+0.81.
(2)当x=9时,
=0.17×9+0.81
=2.34(万元).
可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元.
当堂训练
1.60
解析 由题意依次设在A,B,C,D四个单位回收的问卷数分别为a1,a2,a3,a4,则
=
,∴a2=200,又a1+a2+a3+a4=1000,即3a2+a4=1000,
∴a4=400,设在D单位抽取的问卷数为n,则
=
,解得n=60.
2.
=
x+88
解析 由已知得
=176,
=176,利用公式可得a,b.
3.甲班
解析 根据茎叶图可看出所有的数据,茎上是百位数和十位数,再利用求平均数的公式,求出成绩的平均数,由茎叶图可计算甲班10名同学的平均成绩是(129+112+115+101+104+108+95+97+82+77)÷10=1020÷10=102,乙班10名同学的平均成绩是(121+124+117+103+103+105+91+88+89+76)÷10=1017÷10=101.7.所以由此估计甲班的数学平均成绩大于乙班的数学平均成绩.
4.50
解析 由频率分布直方图,得低于60分的频率为(0.01+0.005)×20=0.3.
∴该班学生人数n=
=50.
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