考点梳理全等三角形章节涉及的16个必考点全梳理精编Word.docx
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考点梳理全等三角形章节涉及的16个必考点全梳理精编Word
考点梳理:
全等三角形章节涉及的16个必考点全梳理(精编Word)
选题来源:
2019、2020年各地期中期末试题
考点1全等形的概念
解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.
例题1下图所示的图形分割成两个全等的图形,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案.
【解析】如图所示:
图形分割成两个全等的图形,选B
【小结】此题主要考查了全等图形,正确把握全等图形的性质是解题关键.
变式1下列四个图形中,属于全等图形的是( )
A.③和④B.②和③C.①和③D.①②
【分析】根据全等形的概念:
能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案.
【解析】①、②可以完全重合,因此全等的图形是①、②.选D.
【小结】此题主要考查了全等图形,关键是掌握全等图形的概念.
变式2下列四个图形中,有两个全等的图形,它们是( )
A.①和②B.①和③C.②和④D.③和④
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案.
【解析】全等的两个图形是①和③,选B.
【小结】此题主要考查了全等图形,关键是掌握全等图形的概念.
变式3如图所示,请你在图中画两条直线,把这个“+”图案分成四个全等的图形(要求至少要画出两种方法).
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可.
【解析】如图所示:
.
【小结】此题主要考查了全等图形,关键是掌握全等图形的概念.
考点2全等形的应用(网格图中求角度)
解决此类问题要善于找出网格图中的全等形,利用角度之间的等量代换即可求解。
例题2如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中∠1+∠2等于( )
A.150°B.180°C.210°D.225°
【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC,可得出∠BAC=∠DEC,继而可得出答案.
【解析】由题意得:
AB=ED,BC=DC,∠D=∠B=90°,
∴△ABC≌△EDC(SAS),∴∠BAC=∠1,∠1+∠2=180°.选B.
【小结】本题考查全等图形的知识,比较简单,解答本题的关键是判断出△ABC≌△EDC.
变式4如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1﹣∠2+∠3= .
【分析】观察图形可知∠1与∠3互余,∠2是直角的一半,利用这些关系可解此题.
【解析】观察图形可知:
△ABC≌△BDE,∴∠1=∠DBE,又∵∠DBE+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°.
∵∠2=45°,∴∠1﹣∠2+∠3=90°﹣45°=45°.故答案为:
45°.
【小结】综合考查角平分线以及全等图形,要注意∠1与∠3互余,∠2是直角一半,特别是观察图形能力
变式5如图,是一个3×3的正方形网格,则∠1+∠2+∠3+∠4= .
【分析】仔细分析图中角度,可得出,∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,进而得出答案.
【解析】∵∠1和∠4所在的三角形全等,∴∠1+∠4=90°,
∵∠2和∠3所在的三角形全等,∴∠2+∠3=90°,∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°
【小结】此题主要考查了全等图形,解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形
的应用.
变式6如图,在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= .
【分析】利用“SAS”判断△AEF≌△LBA得到∠7=∠EAF,则∠1+∠7=90°,同样方法得到∠2+∠6=90°,∠3+∠5=90°,而∠4=45°,从而得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
【解析】在△AEF和△LBA中,
,∴△AEF≌△LBA(SAS),∴∠7=∠EAF,
∴∠1+∠7=90°,
同理可得∠2+∠6=90°,∠3+∠5=90°,而∠4=45°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=90°+90°+90°+45°=315°
【小结】本题考查了全等图形:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
考点3全等三角形的性质(线段的和差)
解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等,利用线段相等进行等量代换即可求解.
例题3如图,△ABC≌△DEC,A和D,B和E是对应点,B、C、D在同一直线上,且CE=5,AC=7,则BD的长为( )
A.12B.7C.2D.14
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论.
【解析】△ABC≌△DEC,A和D,B和E是对应点,B、C、D在同一直线上,且CE=5,AC=7,
∴BC=EC=5,CD=AC=7,∴BD=BC+CD=12.选A.
【小结】本题主要考查的是全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.
变式7如图,若△ABC≌△DEF,四个点B、E、C、F在同一直线上,BC=7,EC=5,则CF的长是( )
A.2B.3C.5D.7
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=7,计算即可.
【解析】∵△ABC≌△DEF,∴BC=EF,
又BC=7,∴EF=7,
∵EC=5,∴CF=EF﹣EC=7﹣5=2.选A.
【小结】本题考查的是全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题
的关键.
变式8如图,点B、E、A、D在同一条直线上,△ABC≌△DEF,AB=7,AE=2,则AD的长是( )
A.4B.5C.6D.7
【分析】根据全等三角形的性质可得AB=ED,再根据等式的性质可得EB=AD,进而可得答案.
【解析】∵△ABC≌△DEF,∴AB=ED,∴AB﹣AE=DE﹣AE,∴EB=AD,
∵AB=7,AE=2,∴EB=5,∴AD=5.选B.
【小结】此题主要考查了全等三角形的性质,关键是掌握全等三角形的对应边相等.
变式9若△ABC≌△DEF,AB=2,AC=4,且△DEF的周长为奇数,则EF的值为( )
A.3B.4C.1或3D.3或5
【分析】根据全等求出DE=AB=2,DF=AC=4,根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数,再根据EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可.
【解析】∵△ABC≌△DEF,AB=2,AC=4,
∴DE=AB=2,DF=AC=4,
∵△DEF的周长为奇数,∴EF的长为奇数,
D、当EF=3或5时,符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理,故本选项正确;
A、当EF=3时,由选项D知,此选项错误;
B、当EF=4时,不符合EF为奇数,故本选项错误;
C、当EF=1或3时,其中1无法构成三角形,故本选项错误;选D.
【小结】本题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用,能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键,注意:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
考点4全等三角形的性质(角的计算)
解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等,利用角度之间的关系进行等量代换即可求解.
例题4如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=50°,若△EDC≌△ABC,且A,C,D在同一条直线上,则∠BCE=( )
A.20°B.30°C.40°D.50°
【分析】根据在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=50°,可以得到∠DCB的度数,再根据△EDC≌△ABC,可以得到∠ECA的度数,从而可以求得∠BCE的度数.
【解析】∵在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=50°,∴∠BCD=80°,
∵△EDC≌△ABC,∴∠DCE=∠BCA,
∵∠DCE=∠DCB+∠BCE,∠BCA=∠BCE+∠ECA,∴∠DCB=∠ECA,∴∠ECA=80°,
∴∠BCE=180°﹣∠DCB﹣∠ECA=180°﹣80°﹣80°=20°,选A.
【小结】考查全等三角形性质,解答本题关键是明确题意,利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答.
变式10如图,△ABC≌△ADE,且AE∥BD,∠BAD=130°,则∠BAC度数的值为 .
【分析】根据全等三角形的性质,可以得到AB=AD,∠BAC=∠DAE,从而可以得到∠ABD=∠ADB,再根据AE∥BD,∠BAD=130°,即可得到∠DAE的度数,从而可以得到∠BAC的度数.
【解析】∵△ABC≌△ADE,∴AB=AD,∠BAC=∠DAE,∴∠ABD=∠ADB,
∵∠BAD=130°,∴∠ABD=∠ADB=25°,
∵AE∥BD,∴∠DAE=∠ADB,∴∠DAE=25°,∴∠BAC=25°,故答案为:
25°.
【小结】本题考查全等三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
变式11如图所示,已知△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于F,∠B=∠D=25°,∠ACB=∠AED=105°,∠DAC=10°,则∠DFB为( )
A.40°B.50°C.55°D.60°
【分析】设AD与BF交于点M,要求∠DFB的大小,可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解,转化为求∠AMC的大小,再转化为在△ACM中求∠ACM就可以.
【解析】设AD与BF交于点M,∵∠ACB=105,
∴∠ACM=180°﹣105°=75°,∠AMC=180°﹣∠ACM﹣∠DAC=180°﹣75°﹣10°=95°,
∴∠FMD=∠AMC=95°,∴∠DFB=180°﹣∠D﹣∠FMD=180°﹣95°﹣25°=60°.选D.
【小结】本题考查了全等三角形的性质,由已知条件,联想到所学的定理,充分挖掘题目中的结论是解题的关键.
变式12如图,△ABC≌△AED,连接BE.若∠ABC=15°,∠D=135°,∠EAC=24°,则∠BEA的度数为( )
A.54°B.63°C.64°D.68°
【分析】直接利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠BAE=54°,进而得出答案.
【解析】∵△ABC≌△AED,∠D=135°,∴∠C=∠D=135°,AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,
∵∠ABC=15°,∠D=∠C=135°,∴∠BAC=30°,
∵∠EAC=24°,∴∠BAE=54°,则∠BEA的度数为:
(180°﹣54°)=63°.选B.
【小结】此题主要考查了全等三角形的性质,正确得出∠BAE=54°是解题关键.
考点5判断全等三角形的对数
认真观察图形,确定已知条件在图形上的位置,结合全等三角形的判定方法,由易到难,仔细寻找.
例题5如图,AC、BD相交于点E,AB=DC,AC=DB,则图中有全等三角形( )
A.1对B.2对C.3对D.4对
【分析】利用“SSS”可判断△ABC≌△DCB,△ABD≌△DCA,则∠BAC=∠CDB,然后可根据“AAS”判断△ABE≌△DCE.
【解析】∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SSS),△ABD≌△DCA(SSS),∴∠BAC=∠CDB,
∵AB=CD,∠AEB=∠DEC,∴△ABE≌△DCE(AAS).选C.
【小结】本题考查了全等三角形的判定:
全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.
变式13如图,在AB、AC上各取一点E、D,使AE=AD,连接BD、CE相交于点O,再连接AO、BC,若∠1=∠2,则图中全等三角形共有( )
A.5对B.6对C.7对D.8对
【分析】认真观察图形,确定已知条件在图形上位置,结合全等三角形的判定方法,由易到难,仔细寻找.
【解析】①在△AEO与△ADO中,
,∴△AEO≌△ADO(SAS);
②∵△AEO≌△ADO,∴OE=OD,∠AEO=∠ADO,∴∠BEO=∠CDO.
在△BEO与△CDO中,
,∴△BEO≌△CDO(ASA);
③∵△BEO≌△CDO,∴BE=CD,BO=CO,OE=OD,∴CE=BD.
在△BEC与△CDB中,
,∴△BEC≌△CDB(SAS);
④在△AEC与△ADB中,
,则△AEC≌△ADB(SAS);
⑤∵△AEC≌△ADB,∴AB=AC.
在△AOB与△AOC中,
,∴△AOB≌△AOC.
综上所述,图中全等三角形共5对.选A.
【小结】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
变式14如图,已知A、B、C、D四点共线,AE∥DF,BE∥CF,AC=BD,则图中全等三角形有( )
A.4对B.6对C.8对D.10对
【分析】由AC=BD可得AB=AC,由AE∥DF可得∠EAB=∠FDC,由BE∥CF可得∠EBC=∠FCB,根据等角的补角相等得出∠EBA=∠FCD,利用ASA得△ABE≌△DCF,进一步得其它三角形全等.
【解析】∵AC=BD,∴AB=AC.
∵AE∥DF,∴∠EAB=∠FDC.
∵BE∥CF,∴∠EBC=∠FCB,∴∠EBA=∠FCD.
在△ABE与△DCF中,
,∴△ABE≌△DCF(ASA).
进而得△EBC≌△FCB,△ECD≌△FBA,△AEC≌△DFB,△EBD≌△FCA,△AED≌△FDA,共6对.
选B.
【小结】本题考查了全等三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找.
变式15如图,AB∥CD,AD∥BC,AC与BD相交于点O,AE⊥BD,CF⊥AC,垂足分别是E,F.则图中共有( )对全等三角形.
A.5B.6C.7D.8
【分析】根据全等三角形的判定即可求出答案.
【解析】∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,∠BAC=∠DCA,
在△ABD和△CDB中,
,∴△ABD≌△CDB(ASA),
同理:
△ABC≌△CDA(ASA);∴AB=CD,BC=DA,
在△AOB和△COD中,
,∴△AOB≌△COD(AAS),同理:
△AOD≌△COB(AAS);
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠AEO=∠CFD=∠CFO=90°,
在△ABE和△CDF中,
,∴△ABE≌△CDF(AAS),
同理:
△AOE≌△COF(AAS),△ADE≌△CBF(AAS);图中共有7对全等三角形;选C.
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质;熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
考点6网格中全等三角形个数问题
认真观察图形,利用SSS判断即可.
例题6如图,在4×4方形网格中,与△ABC有一条公共边且全等(不与△ABC重合)的格点三角形(顶点在格点上的三角形)共有( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出4个,AC不可以,故可求出结果.
【解析】如图所示,△ABD,△BEC,△BFC,△BGC,共4个,选B.
【小结】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理,以及格点的概念等知识点,能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键,注意:
全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.全等三角形的三条对应边分别相等.
变式16如图,△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,这样的三角形叫做格点三角形,选取图中三个格点组成三角形,能与△DEF全等(重合的除外)的三角形个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等.认真观察图形可得答案.
【解析】如图所示可作3个全等的三角形.选C.
【小结】本题考查的是SSS判定三角形全等,注意观察图形,数形结合是解决本题的又一关键.
变式17如图,方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上,像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形,则图中与△DEF全等的格点三角形有( )个.
A.9B.10C.11D.12
【分析】用SSS判定两三角形全等.认真观察图形可得答案.
【解析】如图示2×3排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形,所以共有12个全等三角形,除去△DEF外有11个与△DEF全等的三角形:
△DAF,△BGQ,△CGQ,△NFH,△AFH,△WBI,△QBI,△CKR,△KRW,△CGR,△KIW.选C
【小结】本题主要考查了全等三角形的判定,应用SSS判定三角形全等,注意观察图形,数形结合是解决本题的关键.
变式18如图为正方形网格,顶点在格点上的三角形称为格点三角形,每个小正方形均为边长为1的正方形,图中与△ABC全等的格点三角形(不含△ABC)共有( )个.
A.4B.16C.23D.24
【分析】用SSS判定两三角形全等.认真观察图形可得答案.
【解析】如图所示:
选C.
【小结】本题考查的是SSS判定三角形全等,注意观察图形,数形结合是解决本题的又一关键.
考点7全等三角形的判定(选择条件)
判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
例题7如图,点C、D分别在BO、AO上,AC、BD相交于点E,若CO=DO,则再添加一个条件,仍不能证明△AOC≌△BOD的是( )
A.∠A=∠BB.AC=BDC.∠ADE=∠BCED.AD=BC
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别【分析】即可.
【解析】A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD,故此选项不合题意;
B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD,故此选项符合题意;
C、根据三角形外角的性质可得∠A=∠B,再利用AAS证明△AOC≌△BOD,故此选项不合题意;
D、根据线段的和差关系可得OA=OB,再利用SAS证明△AOC≌△BOD,故此选项不合题意.
选B.
【小结】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
变式19如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.BC=EC,∠B=∠EB.BC=EC,AC=DC
C.∠B=∠E,∠A=∠DD.BC=DC,∠A=∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.
【解析】A、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
B、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
C、已知AB=DE,再加上条件∠B=∠E,∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
D、已知AB=DE,再加上条件BC=DC,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC,故此选项符合题意;
选D.
【小结】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
变式20如图,AB=DC,BF=CE,需要补充一个条件,就能使△ABE≌△DCF,小明给出了四个答案:
①AE=DF;②AE∥DF;③AB∥DC;④∠A=∠D,其中正确的是( )
A.①③B.①②C.①②③D.①②③④
【分析】先求出BE=CF,根据平行线的性质得出∠AEF=∠DFC,再根据全等三角形的判定定理推出即可.
【解析】∵BF=CE,∴BE=CF.
①AE=DF时,在△ABE和△DCF中,
,∴△ABE≌△DCF(SSS);故①正确;
②∵AE∥DF,∴∠AEF=∠DFC.
在△ABE和△DCF中,AB=DC,BE=CF,∠AEF=∠DFC.不能判定△ABE与△DCF全等,故②不正确;
③∵AB∥DC,∴∠B=∠C,在△ABE和△DCF中,
,∴△ABE≌△DCF(SAS);故③正确;
④在△ABE和△DCF中,AB=DC,BE=CF,∠A=∠D.不能判定△ABE与△DCF全等,故④不正确;
选A.
【小结】本题考查了平行线的性质,全等三角形的判定的应用,能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键.
变式21如图,已知:
在△AFD和△CEB,点A、E、F、C在同一直线上,在给出的下列条件中,①AE=CF,②∠D=∠B,③AD=CB,④DF∥BE,选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有( )组.
A.4B.3C.2D.1
【分析】根据题目中的条件,先把AE=CF和DF∥BE能够得到的条件写出来,然后再根据题意,写出其中的三个为条件,是否可以证明△AFD≌△CEB,本题得以解决.
【解析】∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,
∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC,
∴若①②③为条件,不能证明△AFD≌△CEB,
若①②④为条件,能证明△AFD≌△CEB(AAS),
若①③④为条件,不能证明△AFD≌△CEB,
若②③④为条件,能证明△AFD≌△CEB(AAS),选C.
【小结】本题考查全等三角形的判定,解答本题的关键是明确题意,利用全等三角形的判定方法解答.
考点8全等三角形的判定(判定依据)
判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
例题8如图,在∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M、N作OA、OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB的依据是( )
A.SSSB.SASC.AASD.HL
【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等,进而得出答案.
【解析】在Rt△OMP和Rt△ONP中,
,∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL),
∴∠MOP=∠NOP,∴OP是∠AOB的平分线.选D.
【小结】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图,熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键.
变式22工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC,其依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
【分析】由作图过程可得MO=NO,NC=MC,再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC.
【解析】∵在△ONC和△OMC中
,∴△MOC≌△NOC(SSS),∴
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