高考数学一轮复习专题34利用导数研究函数的极值最值讲.docx
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高考数学一轮复习专题34利用导数研究函数的极值最值讲
第04节利用导数研究函数的极值,最值
【考纲解读】
考点
考纲内容
5年统计
分析预测
导数在研究函数中的应用
了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件,会用导数求函数的极大值、极
小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值,会用导数解决某些实际问题.
2014•浙江文科21,理科22;
2017•浙江卷20;
2018•浙江卷22.
1.以研究函数的单调性、单调区间、极值(最值)等问题为主,与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合,且有综合化更强的趋势.
2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现,综合研究函数的性质以大题呈现;
3.适度关注生活中的优化问题.
4.备考重点:
(1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础;
(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值(最值)的基本方法,灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等,分析问题解决问题.
【知识清单】
1.函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
【重点难点突破】
考点1应用导数研究函数的极(最)值问题
【1-1】【2018年理新课标I卷】已知函数
,则
的最小值是_____________.
【答案】
详解:
,所以当
时函数单调减,当
时函数单调增,从而得到函数的减区间为
,函数的增区间为
,所以当
时,函数
取得最小值,此时
,所以
,故答案是
.
【1-2】【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知a>0且a≠1,则函数f(x)=(x-a)2lnx()
A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值
C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,又无极小值
【答案】C
【解析】分析:
对函数求导,令
,得
或
,根据函数的图象可得方程
有解,由此根据函数的单调性和极值的关系得到函数既有极大值,又有极小值.
详解:
由题意,
,由
,得
或
,由方程
,结合函数图象,作出
和
的图象,
结合图象得
和
的图象有交点,∴方程
有解,由此根据函数的单调性和极值的关系得到:
函数
既有极大值,又有极小值具有极大值,也有极小值,故选C.
【1-3】【2018届华大新高考联盟4月检测】若函数
有两个极值点,则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】分析:
令
由于函数函数
有两个极值点点
在区间
上有两个实数根.求出
的导数,当
时,直接验证;当
时,利用导数研究函数
的单调性可得,要使
有两个不同解,只需要
解得即可.
当
时,令
,解得
,
令
,解得
,此时函数
单调递增;
令
,解得
,此时函数
单调递减.
∴当
时,函数
取得极大值.要使
在区间
上有两个实数根,
则
,解得
.
∴实数
的取值范围是(
.
【1-4】【2018年文北京卷】设函数
.
(Ⅰ)若曲线
在点
处的切线斜率为0,求a;
(Ⅱ)若
在
处取得极小值,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
(1)当a=0时,令
得x=1.
随x的变化情况如下表:
x
1
+
0
−
↗
极大值
↘
∴
在x=1处取得极大值,不合题意.
(2)当a>0时,令
得
.①当
,即a=1时,
,
∴
在
上单调递增,∴
无极值,不合题意.
②当
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