高考数学归纳与类比.docx
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高考数学归纳与类比
高考数学归纳与类比
第6章第5课时
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)
一、选择题
1.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )
A.三角形 B.梯形
C.平行四边形D.矩形
解析:
因为平行六面体相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相对的两条边互相平行,故选C.
答案:
C
2.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A.① B.②
C.③ D.①和②
解析:
由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.
答案:
B
3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;
②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b
=c+d
⇒a=c,b=d”;
③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析:
①②正确,③错误.因为两个复数如果不全是实数,不能比较大小.故选C.
答案:
C
4.下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆
+
=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析:
从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理,故应选B.
答案:
B
5.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三
(1)班有55人,
(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数超过50人
C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=
(an-1+
)(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
解析:
两条直线平行,同旁内角互补(大前提)
∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提)
∠A+∠B=180°(结论)
答案:
A
6.定义一种运算“*”:
对于自然数n满足以下运算性质:
(ⅰ)1]( )
A.nB.n+1
C.n-1D.n2
解析:
由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1]答案:
A
二、填空题
7.(2011·长春模拟)有如下真命题:
“若数列{an}是一个公差为d的等差数列,则数列{an+an+1+an+2}是公差为3d的等差数列.”把上述命题类比到等比数列中,可得真命题是“________________.”(注:
填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)
答案:
若数列{bn}是公比为q的等比数列,则数列{bn·bn+1·bn+2}是公比为q3的等比数列(或填:
若数列{bn}是公比为q的等比数列,则数列{bn+bn+1+bn+2}是公比为q的等比数列)
8.若例1可以改为直线分平面成几部分问题.若三条直线两两相交且不过同一点时,可将平面分成________部分;若四条直线两两相交且任何三条不过同一点可将平面分成________部分,以此类推n条直线的情况下,将平面分成________部分.
解析:
n=2时,分成4部分;
n=3时,分成7部分;
n=4时,分成11部分.
以此类推知an=an-1+n,故用累加法可得an=
.
答案:
7 11
9.已知等差数列{an}中,有
=
,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论:
________.
解析:
由等比数列的性质可知,
b1b30=b2b29=…=b11b20,
∴
=
.
答案:
=
三、解答题
10.用三段论的形式写出下列演绎推理.
(1)若两角是对顶角,则该两角相等,所以若两角不相等,则该两角不是对顶角;
(2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以,正方形的对角线相等.
解析:
(1)两个角是对顶角,则两角相等,大前提
∠1和∠2不相等,小前提
∠1和∠2不是对顶角.结论
(2)每一个矩形的对角线相等,大前提
正方形是矩形,小前提
正方形的对角线相等.结论
11.已知等式:
sin25°+cos235°+sin5°cos35°=
;
sin215°+cos245°+sin15°cos45°=
;
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=
;….
由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式,并予以证明.
解析:
归纳已知可得:
sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°)=
.
证明:
sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°)
=sin2θ+
2+sinθ
=sin2θ+
cos2θ+
sin2θ-
sin2θ
=
.
12.已知数列
,
,
,…,
,…,Sn为其前n项和.
(1)计算S1、S2、S3的值,并推测Sn的公式.
(2)设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,计算a1、a2、a3的值,并推测计算数列{an}的通项公式.【解析方法代码108001079】
解析:
(1)计算得S1=
,S2=
,S3=
,
由此推测Sn=
(n∈N+).
(2)由题意,得
=
,
当n=1时,a1=S1,
解得a1=2,a2=6,a3=10,
由此推测an=4n-2(n∈N+).
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