专题训练 旋转图形所行路程含答案.docx
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专题训练旋转图形所行路程含答案
旋转图形所行路程
1.如图,已知正△ABC的中心为O,半径为R将其直线L向右滚动,当正三角形翻滚一周时,其中心O经过的路径是多少?
答案:
2.如图,将半径为R的正方形沿其直线L向右滚动,当正方形翻滚一周时,其中心O经过的路径是多少?
答案:
3.如图,将任意多边形沿其直线L向右滚动,当这个多边形翻滚一周时,其中心O经过的路径是多少?
答案:
4.如图,已知正△ABC的边长为2,将其沿直线L向右滚动,当正三角形翻滚一周时,其点B所行路径是多少?
解:
(1)当正三角形ABC向右翻滚一周时,其中心O经过的路线是三条等弧,
所以其中心O经过的路程为:
=2πR.
5.如图,已知正方形ABCD的边长为2,将其沿直线L向右滚动,当正方形翻滚一周时,其点B所行路径是多少?
解:
根据勾股定理,得AC=
.
则当正方形滚动一周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是:
(cm).
6.正△ABC的边长为3cm,边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合,点P,Q分别在AC,AB上,将△APQ沿着边AB,BC,CA顺时针连续翻滚(如图所示),直至点P第一次回到原来的位置,则点P运动路径的长为多少?
解:
从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角,半径是1,所以弧长=
,第二次是以点P为圆心,所以没有路程,在BC边上,
第一次
第二次同样没有路程,AC边上也是如此,
点P运动路径的长为
×3=2π.
故答案为:
2π.
7.矩形ABCD的边AB=8,AD=6,现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚,当它翻滚至类似开始的位置AlBlClDl时(如图所示),则顶点A所经过的路线长是_________.
解:
=12
8.如图,水平地面上有一面积为30
cm2的扇形AOB,半径OA=6cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则O点移动的距离为()A、20
cmB、24
cmC、10
cmD、30
cm
解:
根据扇形面积公式,得
S=
lR=
×6×10π=30π(cm2).
9.(2008•泰安)如图,将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次,点P依次落在点P1,P2,P3…P2008的位置,则点P2008的横坐标为。
2008
解:
观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1,P3的横坐标是2.5,P4、P5的横坐标是4,P6的横坐标是5.5…依次类推下去,P2005、P2006的横坐标是2005,P2007的横坐标是2006.5,P2008、P2009的横坐标就是2008.
故答案为2008
10.如图,在直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①,②,③,④…,则三角形⑩的直角顶点的坐标为。
.
解:
由原图到图③,相当于向右平移了12个单位长度,象这样平移三次直角顶点是(36,0),再旋转一次到三角形⑩,直角顶点仍然是(36,0),则三角形⑩的直角顶点的坐标为(36,0).
11.(2006•锦州)如图,将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚,当正方形翻滚一周时,正方形的中心O所经过的路径长为。
.解:
∵边长为a的正方形ABCD,其对角线的一半即OC=
a,
∴第一次旋转的弧长=
,
而经过这样的四次旋转后就翻滚了一周,
∴当正方形翻滚一周时,正方形的中心O所经过的路径长为
×4=
πa.
故填空答案:
πa
12.如图,小明为节省搬运力气,把一个边长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚,翻滚一周后,原来与地面接触的面ABCD又落回到地面,则点A1所走路径的长度为。
解:
第一次是以B为旋转中心,BA1长
m为半径旋转90°,
此次点A走过的路径是
•
=
πm.
第二次是以B1为旋转中心,B1A1长1m为半径旋转90°,
此次走过的路径是
π=
πm.
第三次是以A为旋转中心,AA1长1m为半径旋转90°,
此次走过的路径是
π=
πm.
∴点A1从起始位置翻滚一周后所经过的长度=
π+
π+
π=(
+1)πm.
13.如图1,是用边长为2cm的正方形和边长为2cm正三角形硬纸片拼成的五边形ABCDE.在桌面上由图1起始位置将图片沿直线l不滑行地翻滚,翻滚一周后到图2的位置.则由点A到点A4所走路径的长度为。
解:
第一次旋转是以点C为圆心,AC为半径,旋转角度是90度,所以弧长是
cm
第二次旋转是以点D1,为圆心,A1D1为半径,角度是60度所以弧长=
cm
第三次是以E1为圆心,E1A1为半径,角度是120度,所以
cm
第四次是以点A1为圆心所以A没有路程
第五次是以点B为圆心,AB为半径,角度是90度所以弧长是
cm
四段弧长的和就是由点A到点A4所走路径的长度=
cm.
14.(2006•厦门)如图为某物体的三视图,友情提醒:
在三视图中,AB=BC=CD=DA=EI=IG=NZ=MZ=KY=YL,θ=60°,FE=GH=KN=LM=YZ.现搬运工人小明要搬运此物块边长为acm物块ABCD在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚,翻滚一周后,原来与地面接触的面ABCD又落回到地面,则此时点B起始位置翻滚一周后所经过的长度是。
解:
本题实际求的是两段弧长,第一段,以C为圆心,BC为半径,转动了60°角,因此这段弧长为60×a×π÷180=
,第二段弧长是,以D为圆心,BD长为半径,转动了120°角,因此这段弧长的距离应该是120×
a×π÷180=
,因此B点经过的距离应该是
aπ.
15.如图,边长为
的正△ABC,点A与原点O重合,若将该正三角形沿数轴正方向翻滚一周,点A恰好与数轴上的点A′重合,则点A′对应的实数是。
解:
×3=
.
16.如图,把一长方形在直线m上翻滚,请在图中作出A点所经过的路径.
解:
如图所示.
17.如图,王虎使一长为4cm,宽为3cm的长方形木板,在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)木板上点A位置变化为A→A1→A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板与桌面成30°角,则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少?
解:
第一次是以B为旋转中心,BA长5cm为半径旋转90°,(2分)
此次点A走过的路径是
.(4分)
第二次是以C为旋转中心,3cm为半径旋转60°,(2分)
此次走过的路径是
,(2分)
∴点A两次共走过的路径是
.(2分)
18.如图,张三同学把一个直角边长分别为3cm,4cm的直角三角形硬纸板,在桌面上翻滚(顺时针方向),顶点A的位置变化为A1⇒A2⇒A3,其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住,使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC,则A翻滚到A2位置时共走过的路程为( )
解:
根据题意得:
=4πcm,
19.将正方体骰子放置于水平桌面上,如图
(1).在图
(2)中,将骰子向右翻滚90°,然后在桌面上按逆时针方向旋转90°.则骰子中各相对面上的点数分别为1对6,2对5,3对4.
1对6,2对5,3对4.
.
解:
观察图形可知与1相邻的面是2、3、4、5,则与1相对的面是6;
那么与3相邻的面是1、2、5、6,则与3相对的面是4;则与2相对的面是5.
故骰子中各相对面上的点数分别为:
1对6,2对5,3对4.
故答案为:
1对6,2对5,3对4.
20.(2011•无锡)如图,等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60°.正方形ABCD的边长为1,它的一边AD在MN上,且顶点A与M重合.现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚,翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动.
(1)请在所给的图中,用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图;
(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S.
解:
(1)作图如图;
(2)∵点A绕点D翻滚,然后绕点C翻滚,然后绕点B翻滚,半径分别为1、
、1,翻转角分别为90°、90°、150°,
∴S=
+2×
+2×
+4×
×12
=
+π+
π+2
=
π+2.
21.已知△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,CB=1,将△ABC沿水平线(AB所在的直线)作翻转运动.下图是△ABC二次翻转形成的图形.
(1)第一次翻转后的图形△BC′A′是由△ABC按顺时针方向旋转所得的,那么哪一点是旋转中心?
旋转了多少度?
(2)在下图中,画出△ABC第三次翻转后的图形,请你仔细观察图中的△ABC与由它第三次翻转后的图形,想一想他们之间还可以是怎样的变换,请将它完整地表达出来.
解:
(1)旋转中心是点B,旋转了120°;
(2)图形
AC=
.
∴BB″=1+
+2=3+
.
∴△A″B″C″是由△ABC沿着AB所指的方向(即沿着水平线)向右平移了(3+
)得到.
22.如图,将边长为1的等边三角形△ABC放在水平直线l上向右连续翻滚n次,第一次以点C为旋转中心,第二次以点A为旋转中心,第三次以点B为旋转中心,…,到第2010次后停止翻滚,请在图中标出“第②次”时三角形顶点坐标为A(2,0)(2,0)、B(3,0)(3,0)、C(2.5,0.5
)(2.5,0.5
)与“第2010次”时三角形顶点坐标为A(2010.5,0.5
)(2010.5,0.5
)、B(2010,0)(2010,0)、C(2011,0)(2011,0)的位置.
解:
如图:
以原始状态时点B为坐标原点,水平直线l为x轴,过B点垂直于l的直线为y轴建立平面直角坐标系.
根据等边三角形和旋转的性质可知“第②次”时三角形顶点坐标为A(2,0)、B(3,0)、C点横坐标为(2+3)÷2=2.5,纵坐标为1×
=0.5
,即C(2.5,0.5
).
∵每连续翻滚三次是一个循环,2010÷3=670.故图形的三角形顶点与原始状态时相同,“第2010次”时三角形顶点坐标为A(2010.5,0.5
)、B(2010,0)、C(2011,0).
23.如图,将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB,在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A'O'B'处,则顶点O经过的路线总长为
π
.
解:
顶点O经过的路线可以分为三段,当弧AB切直线l于点B时,有OB⊥直线l,此时O点绕不动点B转过了90°;
第二段:
OB⊥直线l到OA⊥直线l,O点绕动点转动,而这一过程中弧AB始终是切于直线l的,所以O与转动点P的连线始终⊥直线l,所以O点在水平运动,此时O点经过的路线长=BA’=AB的弧长
第三段:
OA⊥直线l到O点落在直线l上,O点绕不动点A转过了90°
所以,O点经过的路线总长S=
π+
π+
π=
π.
故答案为
π.
24.(2006•黄冈)将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动(不滑动),当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是8
π+16πcm.
解:
第一次旋转是以点C为圆心,AC为半径,旋转角度是90度,
所以弧长=
=4
π;
第二次旋转是以点D为圆心,AD为半径,角度是90度,
所以弧长=
;
第三次旋转是以点A为圆心,所以没有路程;
第四次是以点B为圆心,AB为半径,角度是90度,
所以弧长=
;
所以旋转一周的弧长共=4
+8π.
所以正方形滚动两周正方形的顶点A所经过的路线的长是8
+16π.
25.如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点由原点到达点A,下列说法正确的是( )
A、点A所表示的是π
B、数轴上只有一个无理数π
C、数轴上只有无理数没有有理数
D、数轴上的有理数比无理数要多一些
解:
A、∵圆的周长为π,∴滚动一圈的路程即π,∴点A所表示的是π,故选项正确;
B、数轴上不止有一个无理数π,故选项错误;
C、数轴上既有无理数,也有有理数,故选项错误;
D、数轴上的有理数与无理数多少无法比较,故选项错误;
故选A.
26.(2011•桂林)如图,将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动,当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径的长为( )
A、
B、
C、
D、
解:
连A1A5,A1A4,A1A3,作A6C⊥A1A5,如图,
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形,
∴A1A4=2a,∠A1A6A5=120°,
∴∠CA1A6=30°,
∴A6C=
a,A1C=
a,
∴A1A5=A1A3=
a,
当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径分别是以A6,A5,A4,A3,A2为圆心,以a,
a,2a,
a,a为半径,圆心角都为60°的五条弧,
∴顶点A1所经过的路径的长=
+
+
+
+
=
πa.
故选A.
27.如图,扇形OAB的圆心角为30°,半径为1,将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的位置时,则点O到点O′所经过的路径长为
.解:
∵扇形OAB的圆心角为30°,半径为1,
∴AB弧长=
=
,
∴点O到点O′所经过的路径长=
×2+
=
π.
故答案为
28.已知一个半圆形工件,未搬动前如图所示,直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移50米,半圆的直径为4米,则圆心O所经过的路线长是____.
O
O
O
O
l
解:
由图形可知,圆心先向前走O1O2的长度即
圆的周长,然后沿着弧O2O3旋转
圆的周长,
最后向右平移50米,
所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50,
由已知得圆的半径为2,
设半圆形的弧长为L,
则半圆形的弧长L=
,
∴圆心O所经过的路线长=(2π+50)米.
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