人教版九年级数学同步提高讲义.docx
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人教版九年级数学同步提高讲义
第一章/二次函数的图象及性质…1
第二章/函数与方程不等式的联系7
第三章/二次函数系数与图象的关系13
第四章/二次函数应用一17
第五章/二次函数应用二…23
第六章/圆的有关性质29
第七章/与圆有关的位置关系35
第八章/圆有关的计算与证明41
第九章/概率初步47
第十章/反比例函数图象及其性质53
第十一章/反比例函数的应用57
第十二章/相似三角形63
第十三章/相似三角形的运用67
第十四章/相似三角形的综合73
第一章
二次函数的图象及性质
本章进步目标
★★★★☆☆
Level4
通过对本节课的学习,你能够:
1.对二次函数相关概念达到【初级理解】级别;
2.对二次函数的几种图像及性质达到【高级理解】级别。
3.对二次函数的图象及性质的运用达到【初级运用】级别。
第一部分
补救练习
1.已知下列函数:
(1)y=3-2x2
(2)y=
3
x2+1
;(3)y=3x(2x-1)
5x2
(4)y=-2(5)y=x2-(3+x)2(6)y=mx2+nx+p(其中m、n、
p为常数).其中一定是二次函数的有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.若函数
是二次函数,那么m的值是()
2
A.2B.-1或3C.3D.-1±
3.下列函数关系中,可以看做二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是()
A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B.我国人口年自然增长率1%,这样我国人口总数随年份的关系
C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系
(不计空气阻力)
D.圆的周长与圆的半径之间的关系
4.二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8,那么对应的x的值是()
A.3B.5C.-3和5D.3和-5
2
5.如果函数y=(k-3)xk-3k+2+kx+1是二次函数,那么k的值一定是.
6.已知方程ax2+bx+cy=0(a≠0、b、c为常数),请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式.则函数表达式为,成立的条件
是,是函数.
7.若y=(m-3)xm2-3m+2是二次函数,
(1)求m的值.
(2)求出该图象上纵坐标为﹣6的点的坐标.
第二关
1.二次函数y=(x+2)2﹣1的图象大致为()
A.
B.
C.
D.
2.将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a(x﹣h)2+k的形式,结果为()
Ay=2(x-2)2-1B.y=2(x-4)2+32
C.y=2(x-2)2-9D.y=2(x-4)2-33
3.已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()
A.6B.5C.4D.3
4.已知二次函数y=2(x-1)2+k的图像上有A(
y),B(2,y)、
2
12
5
C(-,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是.
5.抛物线y=x2+bx+c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为y=x2-2x-3,则b、c的值为()
A.b=2,c=2B.b=2,c=0C.b=-2,c=-1D.b=-3,c=2
6.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y部分对应值如下表:
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
y
-27
-13
-3
3
5
3
则当x=1时,y的值为()
A.5B.-3C.-13D.-27
3
7.如图,已知二次函数y=a(x-h)2+的图象过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,试判断点A′是否为该函数图象的顶点?
第三关
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,记m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|,
n=|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|.则下列选项正确的是()
A.m<nB.m>n
C.m=nD.m、n的大小关系不能确定
2.已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)有最大值,且ac=4,则二次函数的顶点在
()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图,已知点F的坐标为(3,0),点A,B分别是以y轴为对称轴的某二次函数部分图象与x轴、y轴的交点,点P是此图象上的一动点.设点P的横坐标
3
为x,PF的长为d,且d与x之间满足关系:
d=5-
5
数的解析式为.
x(0≤x≤5),则此二次函
4.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交
b2-4ac
于点C,且OA=OC.则下列结论:
①abc<0;②
4a
c
b+1=0;④OA•OB=-.
a
其中正确结论的个数是个。
>0;③ac﹣
超级挑战
1.若二次函数y=ax2+bx,存在不同实数x1,x2且x1﹣x2≠2使得f(x1﹣1)=f(x2
﹣1),则f(x1+x2)=.
2.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为B(﹣1,m)(m≠0),并且经过点A(﹣
3,0).
(1)求此抛物线的解析式(系数和常数项用含m的代数式表示);
(2)若点A、原点O与抛物线上的一点P所构成的三角形是等腰直角三角形,求m的值.
3.阅读以下材料:
对于三个数a、b、c,用M(a,b,c)表示这三个数的平均数,用min(a,b,
-1+2+34
c)表示这三个数中最小的数.例如:
M{﹣1,2,3}=
=;min{﹣
33
1,2,3}=﹣1;min{﹣1,2,a}=a(a≤﹣1);﹣1(a>﹣1)解决下列问题:
(1)填空:
min{sin30°,cos45°,tan30°}=,如果min{2,2x+2,4
﹣2x}=2,则x的取值范围为≤x≤;
(2)①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x.
②根据①,你发现了结论“如果M{a,b,c}=min{a,b,c},那么
(填a,b,c的大小关系)”,证明你发现的结论.
③运用②的结论,填空:
若M{2x+y+2,x+2y,2x﹣y}=min{2x+y+2,x+2y,2x
﹣y},则x+y=;
(3)在同一直角坐标系中作出函数y=x+1,y=(x﹣1)2,y=2﹣x的图象(不需列表描点),通过观察图象,填空:
min{x+1,(x﹣1)2,2﹣x}的最大值
为.
第二章
函数与方程(不等式)联系
本章进步目标
★★★★☆☆
Level4
通过对本节课的学习,你能够:
1.对解答y=ax2+bx+c与ax2+bx+c=0之间的关系达到【高级理解】级别;
2.对利用函数图像解方程(不等式)达到【初级运用】级别;
3.对二次函数与一元二次方程综合达到【初级运用】级别。
第一部分
补救练习
1.已知二次函数y=x2+2x﹣10,小明利用计算器列出了下表:
x
﹣4.1
﹣4.2
﹣4.3
﹣4.4
x2+2x﹣10
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
那么方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是()
A.﹣4.1B.﹣4.2C.﹣4.3D.﹣4.42.如图,以(1,﹣4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点,则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是()
A.2<x<3B.3<x<4C.4<x<5D.5<x<63.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是()
A.无实数根B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,根据图象可以得到方程ax2+bx+c=0的一个根在与之间,另一个根在与之间.
5.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示,你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解?
第二关
1.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如图所示,则关于x的一元二次方程
x2+2x+m=0的根为;不等式﹣x2+2x+m>0的解集是;当x时,y随x的增大而减小.
2
2
2.已知二次函数y1=ax+bx+c(a≠0)与一次函数y=kx+m(k≠0)
的图像交于点A(-2,4),B(8,2),如图所示,则能使y1>y2成立的x的取值范围是()
A.x<-2
B.
x>8
C.-2 D.x<-2或x>8 3.阅读材料,解答问题.例: 用图象法解一元二次不等式: x2﹣2x﹣3>0 解: 设y=x2﹣2x﹣3,则y是x的二次函数.∵a=1>0,∴抛物线开口向上. 又∵当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3. ∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示.观察函数图象可知: 当x<﹣1或x>3时,y>0. ∴x2﹣2x﹣3>0的解集是: x<﹣1或x>3. (1)观察图象,直接写出一元二次不等式: x2﹣2x﹣3 >0的解集是; (2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式: x2﹣1>0.4.二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(为实数)在﹣1<x<4的范围内有解,则t的取值范围是. 5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c是常数)中,自变量x与函数 y的对应值如下表: x ﹣1 -1 2 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 y ﹣2 -1 4 1 7 4 2 7 4 1 -1 4 ﹣2 (1)二次函数图象的顶点坐标为. (2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的两个根x1,x2的取值范围是下列选项中的哪一个. -1 <0,3 <2;②-1 <-1,2 <5; ①2122 1222 -1 <0,2 <5;④-1 <-1,3 ③2122 1222 -1 <-1,3 ⑤ 1222 6.如果抛物线y=x2+2x+m与x轴的两个交点在原点的两侧,则m的取值范围是. 第三关 1.二次函数y=x2-4x+3 (1)求其顶点坐标,及与两坐标轴的交点坐标. 2 (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x-4x+3图象上的两点,且 x1 (3)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来. 2.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(-3m, 0)(m≠0). (1)证明4c=3b2; (2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值. 3.已知抛物线y=ax2-4ax+4a-2,其中a是常数. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)若a>2,且抛物线与x轴交于整数点(坐标为整数的点),求此抛物线的解 5 析式. 4.已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0. (1)求证: 无论m取任何实数时,方程总有实数根; (2)若关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称. ①求这个二次函数的解析式; ②已知一次函数y2=2x-2,证明: 在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立; (3)在 (2)的条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立.求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式. 超级挑战 1.已知y=x2+mx﹣6,当1≤m≤3时,y<0恒成立,那么实数x的取值范围是. 2.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面 直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=1x2+k与扇形OAB的边界 2 总有两个公共点,则实数k的取值范围是. 3.已知: 关于x的一元二次方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0① (1)求证: 方程①有两个实数根. (2)若m-n-1=0,求证方程①有一个实数根为1; (3)在 (2)的条件下,设方程①的另一个根为a。 当x=2时,关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a(n-2m)x+m2-mn的图像交与点A、B(点A在点B的左侧),平行于y轴的直线L与y1、y2的图像分别交与点C、D.当L沿AB由点A平移到点B时,求线段CD的最大值. 第三章 二次函数系数与图象的关系 本章进步目标 ★★★★☆☆ Level4 通过对本节课的学习,你能够: 1.对二次函数系数判别达到【初级运用】级别; 2.对双图象问题达到【初级运用】级别; 第一部分 补救练习 1.二次函数y=x2-4x+3 (1)求其顶点坐标,及与两坐标轴的交点坐标. 2 (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x-4x+3图象上的两点,且 x1 (3)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来. 2.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(-3m, 0)(m≠0). (1)证明4c=3b2; (2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值. 3.已知抛物线y=ax2-4ax+4a-2,其中a是常数. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)若a>2,且抛物线与x轴交于整数点(坐标为整数的点),求此抛物线的解 5 析式. 4.已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0. (1)求证: 无论m取任何实数时,方程总有实数根; (2)若关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称. ①求这个二次函数的解析式; ②已知一次函数y2=2x-2,证明: 在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立; (3)在 (2)的条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立.求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式. 第二关 1.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法: ①a>0②2a+b=0③a+b+c>0④当﹣1<x<3时,y>0其中正确的个数为() A.1B.2C.3D.4 2.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论: ①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1,其中正确的是() A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为x=0.5,且经过点 (2,0),有下列说法: ①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y1=y2.上述说法正确的是() A.①②④B.③④C.①③④D.①② 超级挑战 1.已知y=x2+mx﹣6,当1≤m≤3时,y<0恒成立,那么实数x的取值范围是. 2.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面 直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=1x2+k与扇形OAB的边界 2 总有两个公共点,则实数k的取值范围是. 3.已知: 关于x的一元二次方程x2+(n-2m)x+m2-mn=0① (1)求证: 方程①有两个实数根. (2)若m-n-1=0,求证方程①有一个实数根为1; (3)在 (2)的条件下,设方程①的另一个根为a。 当x=2时,关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a(n-2m)x+m2-mn的图像交与点A、B(点A在点B的左侧),平行于y轴的直线L与y1、y2的图像分别交与点C、D.当L沿AB由点A平移到点B时,求线段CD的最大值. 第四章 二次函数的应用一 本章进步目标 ★★★★☆☆ Level4 通过对本节课的学习,你能够: 1.对二次函数解析式的求法达到【初级运用】级别; 2.对二次函数的实际应用达到【初级运用】级别。 第一部分 补救练习 1.如图,已知抛物线l1: y=1(x-2)2-2与x轴分别交于O、A两点,将 2 抛物线l1向上平移得到l2,过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B,如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为() A.y=1(x-2)2+4 2 C.y=1(x-2)2+2 2 B.y=1(x-2)2+3 2 D.y=1(x-2)2+1 2 2.已知二次函数y=x2+bx+c经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的解析式是. 3.如图已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,﹣1)和C(4,5)三点. (1)求二次函数的解析式; (2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标; (3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值. 第二关 1.用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场,则养鸡场的最大面 积为() A.450m2 B.300m2 C.225m2 D.60m2 6 2.如图是抛物线形拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3 3 米,就达到警戒线CD,这时水面CD宽4 米.若洪水到来时水位以每小时 0.25米的速度上升,那么水过警戒线后()小时淹到拱桥顶. A.6B.12C.18D.24 3.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位: 米)的一部分,则水喷出的最大高度是() A.4米B.3米C.2米D.1米 4.若实数a,b满足a+b2=1,则2a2+7b2的最小值是. 5.如图,P是抛物线y=-x2+x+2在第一象限上的点,过点P分别向x轴和y 轴引垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为. 6.如果对于任意两个实数a、b,“*”为一种运算,定义为a*b=a+2b,则函数 y=x2*(2x)+2*4(﹣3≤x≤3)的最大值与最小值的和为. 7.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x (米)的函数解析式 ,那么铅球运动过程中最高点离地面的距 离为米. 8.某种产品的年产量不超过1000吨,该产品的年产量(单位: 吨)与费用(单 位: 万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图所示);该产品的年销售量(单位: 吨)与销售单价(单位: 万元/吨)之间的函数图象是线段 (如图所示),若生产出的产品都能在当年销售完,则年产量是吨 时,所获毛利润最大(毛利润=销售额﹣费用). 超级挑战 1.定义符号min{a,b}的含义为: 当a≥b时min{a,b}=b;当a<b时min{a,b}=a.如: min{1,﹣3}=﹣3,min{﹣4,﹣2}=﹣4.则min{﹣x2+1,﹣x}的最大值是() 5-1 5+1 A.B. 22 C.1D.0 2.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28
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