利用对角线法则计算下列三阶行列式.docx
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利用对角线法则计算下列三阶行列式
第一章行列式
1利用对角线法则计算下列三阶行列式
201
(1)1-4-1;
-183
201解1-4-1
-183
=2(-4)30(T)(-1)118
-013-2(T)8T(_4)(_1)
=-24816-4=-4
a
b
c
⑵
b
c
a
■
c
a
b
a
b
c
解
b
c
a
c
a
b
二acbbaccba-bbb-aaa-ccc=3abc_a3_b3_c3
111
⑶abc;abc
111
解abc
2.22
abc
=bc2ca2ab2-ac2-ba2-cb2=(a_b)(b_c)(c_a)
=x(xy)yyx(xy)(xy)yx-y3-(xy)3-x3
=3xy(xy)-y3-3x2y-x3-y3-x3
一2(x3y3)・
2・按自然数从小到大为标准次序•求下列各排列的逆序
(1)1234
解逆序数为0
(2)4132
41-43-42-32
32-31-42-41,21
21-41-43
解逆序数为4
(3)3421
解逆序数为5
(4)2413
解逆序数为3
(5)13-(2n-1)24-(2n)
解逆序数为凹©:
2
32(1个)
52-54(2个)
72-74-76(3个)
(2n-1)2.(2n-1)4.(2n-1)6•….(2n-1)(2n-2)(n-1个)
(6)13(2n-1)(2n)(2n-2)2
解逆序数为n(n-1):
32(1个)
52-54(2个)
(2n-1)2-(2n-1)4.(2n-1)6,(2n-1)(2n-2)(n-1个)
42(1个)
62-64(2个)
(2n)2.(2n)4・(2n)6・,(2n)(2n-2)(n-1个)
3■写出四阶行列式中含有因子ana23的项
解含因子ana23的项的一般形式为
(T)a11a23a3「a4s
其中rs是2和4构成的排列.这种排列共有两个•即24和42所以含因子ana23的项分别是
t1
(T)a11a23a32a44=(T)ana23a32a44二-ana23a32a44
(T)tana23a34a42=(T)2a11a23a34a42=ana23a34a42
4■计算下列各行列式:
4124
1202;
10520
0117
4
1
2
4
C2-Q
4
-1
2
-10
1
2
0
2
1
2
0
2
10
5
2
0
C4-7C3
10
3
2
-14
0
1
1
7
0
0
1
0
4-1—10
122X—1)443
103—14
4
1
10
-1
2
3
10
-2
14
9
0
17
10-2
14
=0
3
-1
2
1
■
1
2
3
2
5
0
6
2
2
1
4
1
C4-c2
2
1
4
0
「4-D
2
1
4
0
3
-1
2
1
3
-1
2
2
3
-1
2
2
1
2
3
2
1
2
3
0
1
2
3
0
5
0
6
2
5
0
6
2
2
1
4
0
2
1
1
4
一abacae
(3)bd-cdde
bfcf-ef
-ab
ac
ae
-bce
bd
-cd
de
=adf
b-ce
bf
cf
—ef
bc-e
-1
1
1
=adfbce
1
-1
1
=4abcdef
1
1
-1
a
-1
0
0
1
b
-1
0
0010c1-1d
a
1
0
0
A+ar2
解
-1
b
1
0
0
-1
c
1
0
0
-1
d
2-H
1+ab<
=(—1)(
-1)
-1(
0-
=(-1)(
-1)
342
1+ab
-11
0
1+aba0
-1
b1
0
0
-1c1
0
0-
1d
0
c3+dc2
1+abaad
1
-1
c1+c
1d
0
-10
ad+cd
=abcd+ab+cd+ad+1
5.证明:
证明
2a
ab
b2
c2-c1
2a
.2.22
ab-ab-a
2a
a+b
2b
2a
b-a2b-2a
1
1
1
C3_c1
1
00
证明
axbyaybzazbx
aybzazbxaxby
azbxaxbyaybz
xay+bz=ayaz+bxzax+by
az+bxy
ax+by+bz
ay+bzx
aybzazbxaxby
azbxaxby
aybz
xay+bzz
yzaz+bx
yaz+bxx
+b2
zxax+by
zax+byy
xyay+bz
二a
x
y
z
y
z
x
3
=a
y
z
x
+b3
z
x
y
z
x
y
x
y
z
x
y
z
x
y
z
3
3
=a
y
z
x
+b
y
z
x
z
x
y
z
x
y
-(a3b3)
2ab2
2
C
d2
证明
2
(a1)(b1)2(c1)2(d1)2
2
(a2)(b2)2(c2)2(d2)2
3)2
3)2
3)2(d3)2
(a
(b
(C
=0
2
a
b2
2
C
d2
(a1)2
(b1)2
(c1)2
(a3)2(b3)2(c3)2
2
(d1)
2ab2
2C
d2
(a2)2
(b2)2
(c2)2
2
(d2)(d3)
(Q-C3C3_C2C2~Ci得)
2ab2
2Cd2
2a
+1
2a
+3
2a
+5
2b
+1
2b
4
3
2b
+5
2c
+1
2c
+3
2c
+5
2d
+1
2d
+3
2d
+5
2a
+1
2
2
2b
+1
2
2
0•
2c
+1
2
2
2d
+1
2
2
2
(C4_C3C3-Q得)
a
2a
4a
1
b
b2
b4
c
2c
4c
1
d
d2
d4
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(abcd);
证明
1
a
2
a
4
a
1
b
b2
b4
1
c
2
c
4
c
1
d
d2
d4
1
0
0
0
1
b-a
b(b-a)
222、
b(b-a)
1
c-a
c(c_a)
222、
(c-a)
1d-ad(d-a)d2(d2
-a2)
=(b
-a)(c-a)(d-a)
=(b
-a)(c-a)(d-a)
1
b
b2(ba)c2(ca)
1
d
d2(da)
11
0c-b
0c(c一b)(c+b+a)d(d—b)(d+b+a)
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)
11
c(cba)d(dba)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(abed)
X
-1
0
…0
0
0
X
-1
…0
0
***
***
***
***
0
0
0
X
-1
an
an4
an^2
•“2
X+6
⑸
二X门乜灵一1.....an—Xan■
证明
用数学归纳法证明
当n=2时.d2
X-1
a2xa1
^x2a1^a2-命题成立
假设对于(n-1)阶行列式命题成立•即
n_1n-2
Dn/二XaiXan/Xan_1
则Dn按第列展开•有
-10
00
Dn=XDn」+an(-1)“
x-1
00
11
■■■x—1
f丄n丄nV」
=xDnj+an=x+a1x+
'+an_1x+an,
因此•对于n阶行列式命题成立
6设n阶行列式D二det(aj),把D上下翻转、或逆时针旋转
90、或依副对角线翻转•依次得
an1
'''ann
a1n
'"ann
ann
'''a1n
D1=
a11
…a1n
-D2=
a11
'''an1
-D3=
an1
…a11
n(n」)
证明D广D2=(-1)^DD^D-
证明因为D=det(aij).所以
an1
TTfO
6n
=(-1)2
a11
an1
TTTO
a1n
TTTO
ann
a11
TTfO
a1n
a21
a--r-rO
a2n
Di
a11
a1n
a21
'''a2n
an1
''ann
a31
'''a3n
n-2
=(-1)2(-1)
n(n-1)
同理可证
7
■计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):
都是0-
a
0
0
0
1
0
a
0
0
0
Dn=
0
0
a
0
0
(按第
n行展开)
0
0
0
a
0
1
0
0
0
a
0
0
0
…0
1
a
0
0
0
0
a
/八nF
=(T)
0
a
0
0
0
+(-1)2na
*
a
0
0
0
a
0
(n4)々n—)
(n-J)(n-1)
a
(n,)(n/)
x
a
…a
a
x
…a
a
a
x
⑵Dn=
解将第一行乘(-1)分别加到其余各行•得
再将各列都加到第一列上
x(n-1)a
=(T)2
[丨[J一j)]
Dn二
=[x(nT)a](x-af
nz八n
a(a—1)
■■(a_n)n
n」/八
a(a—1)
n-1
‘‘(a-n)n」
(3)Dn十
*
J
aa-1
*
a_n
11
*
1
解根据第6题结果-
有
1
1
…1
n(n比)
a
a-1
…a—n
Dn寺
=(-1)2
n-1a
(a-1)2
(a-n)n'
na
(a-1)n
…(a-n)n
此行列式为范德蒙德行列式
-
n(n出)
D卄
=(T)2
n
[(a—i+1)—
(a—j+1)]
0
0
0
0
x—a
n(n1)
n1」.・j_1
n1」rj_1
n・(n二)亠“1
=(T)2(T)
an
2n
I丨(i-j)■
n1」.j_1
bn
ai
bi
Ci
di
2n
ai
bi
Cn-J
0
(—i)
Ci
ai0
Cidi
2ni
bn
0anJ
(按第1行展开)
bn_i0
dn/0
0dn
bn—
aibi
Cidi
Cn-4
Cn
再按最后一行展开得递推公式
D2n_andnD2n-2_bnCnD2n-2即ID2n-(andn_bnCn)D2in-2
于是
而
所以
D2n"「(aidi
-bid
D2=
a1
C1
bi
d1
二a〔d〔_b[C〔
D2n^Jll
佝dj-b&)'
(5)D-det(aj)其中aj=|i-j|;
C2C1
C3C1
-2
0
0
…0
-2
-2
0
…0
-2
-2
-2
0
2n—32n—4
2n—5
n一
0
0
0
0
n-1
1
-1
-1
-1
-1
解aj=|ij
0
1
2
3
…n-1
1
0
1
2
n_2
2
1
0
1
n_3
3
2
1
0
n_4
***
***
***
***
n-1
n-2
n—3
n-4
…0
Dn=det(aj)二
=(T)n"(门-1)2心
a1
⑹Dn
1
a2
其中a1a^an=0
an
1+a11
11a2
c1
a1
0
0
…0
0
1
—a;
2
a2
0
…0
0
1
0
-a3
a3
…0
0
1
0
0
0
…-an
」an-
二1
0
0
0
…0
-a
n1+
1
0
0
…0
0
_1
a1
-1
1
0
…0
0
-A
a2
'an
0
-1
1
…0
0
-A
a3
0
0
0
■■一1
1
-AanJ
0
0
0
…0
-1
1
1
0
0
0
0
-J
a1
0
1
0
0
0
-J
a2
'an
0
0
1
0
0
-J
a3
0
0
0
0
1
an二
n
0
0
0
…0
0
V
■Za
im
n
A
•an
)(1
+z
im
-)
ai
■■■1a
n
C2一C3
=品2
二a〔a2
二a^?
an
8■用克莱姆法则解下列方程组
乂+x2+x3+X4=5
⑴』X1+2X2-X3+4x4=-2;
2x-3x2-x3-5x4=_2
3x1x22x311x4=0
解因为
•mH
寸8CXI—H
9
0
0
0
tqi
•999"
OH
•OH
OH
9
0
0
0
9
0
0
0
:
xg十『XX9+X9+XX9+exg+X
X9+xg+><
“Zx9;g」
9CXI寸—H
CXI寸l—h
•CXI寸l—h
Hox
0
CXI—
01
二 - 5 6 1 0 0 1 5 0 0 0 D3= 0 1 0 6 0 =703 0 0 0 5 6 0 0 1 1 5 6 0 0 1 5 5 6 0 1 0 1 5 6 0 0 0 1 5 0 0 =-395. 0 0 1 0 6 0 0 0 1 5 x1 1507 1145 665 665 X3= 703 665 X4= -395 665 X4 212 665 所以 片x2x3=09■问—丄取何值时-齐次线性方程组%%X3=0有非 %+2卩x2+x3=0 零解? 解系数行列式为 人11 D=1卩1=4-円… 12卩1 令D=0・得 1=0或,1 于是•当」=0或■=1时该齐次线性方程组有非零解 [(1-九)Xr_2x2+4x3=0 10•问,取何值时•齐次线性方程组2x「(3-■)X2•X3=0H+乂2十(1")X3=0有非零解? 解系数行列式为 1-人—24 1—九一3+人4 D= 23-九1 = 21-几1 111-九 101-丸 )3(-3)-4(1-)-2(仁)(-3-)叩-)32(仁)2•-3 令0=0得 '扎=0: f;=2或冬=3 于是•当,=2或,=3时•该齐次线性方程组有非零解
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