高等数学导数练习题.docx
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高等数学导数练习题
一.选择题
f ( x + 2 ⋅ ∆x) - f ( x )
0000
∆x→0∆x∆x
1
2
2.若 f(x)=sinα-cosx,则等于 ()
等于( )
A.sinα
C.sinα +cosα
B.cosα
D.2sinα
3.f(x)=ax3+3x2+2,若,则 a 的值等于()
19
3
16
3
C.
13
3
D.
10
3
4.函数 y= x sinx 的导数为()
A.y′=2 x sinx+ x cosxB.y′= sin x
2 x
+ x cosx
C.y′= sin x
5.函数 y=x2cosx 的导数为()
A.y′=2xcosx-x2sinx
C.y′=x2cosx-2xsinx
sin x
x
B.y′=2xcosx+x2sinx
D.y′=xcosx-x2sinx
x 2 + a 2
x
A.a
C.-a
sin x
x
B.±a
D.a2
A.y′=
C.y′=
x cos x + sin x
x 2
x sin x - cos x
x 2
B.y′=
D.y′=
x cos x - sin x
x 2
x sin x + cos x
x 2
8.函数 y=
1
(3x - 1)
2
的导数是( )
A.6
(3x - 1) 3
6 6 6
(3x - 1) 2 (3x - 1) 3 (3x - 1) 2
9.已知 y= 1 sin2x+sinx,那么 y′是()
2
A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值,又有最小值的偶函数
C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数
10.函数 y=sin3(3x+
π
4
)的导数为( )
ππππ
4444
πππ
444
11.函数 y=cos(sinx)的导数为()
A.-[sin(sinx)]cosx
C.[sin(sinx)]cosx
12.函数 y=cos2x+sin x 的导数为()
B.-sin(sinx)
D.sin(cosx)
A.-2sin2x+ cos x
cos x
2 x
C.-2sin2x+
sin x
cos x
2 x
13.过曲线 y=
()
1 1
x + 1 2
A.2y-8x+7=0
C.2y+8x-9=0
B.2y+8x+7=0
D.2y-8x+9=0
14.函数 y=ln(3-2x-x2)的导数为()
2
x + 3
1
3 - 2 x - x 2
C.
2 x + 2
x 2 + 2 x - 3
D.
2 x - 2
x 2 + 2 x - 3
15.函数 y=lncos2x 的导数为()
A.-tan2x
C.2tanx
B.-2tan2x
D.2tan2x
16. 已知 y =
1
3
x 3 + bx 2 + (b + 2) x + 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是
()
A. b < -1,或b > 2B. b ≤ -1,或b ≥ 2C. - 1 < b < 2D. - 1 ≤ b ≤ 2
17.函数 f ( x) = ( x - 3)e x 的单调递增区间是()
A. (-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D. (2,+∞)
18.函数 y= a x2 -2 x (a>0 且 a≠1),那么 为()
A. a x2 -2 x lnaB.2(lna) a x2 -2 x
C.2(x-1) a x2 -2 x ·lnaD.(x-1) a x2 -2 x lna
19.函数 y=sin32x 的导数为()
A.2(cos32x)·32x·ln3B.(ln3)·32x·cos32x
C.cos32xD.32x·cos32x
20.已知曲线 y = x2
1
)
A.1B.2C.3D.4
21.曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点(1,-1)处的切线方程为()
A. y = 3x - 4B. y = -3x + 2 C . y = -4 x + 3 D . y = 4 x - 5
22.函数 y = ( x + 1) 2 ( x - 1) 在 x = 1 处的导数等于()
A.1B.2C.3D.4
23.已知函数 f ( x)在x = 1处的导数为3, 则f ( x) 的解析式可能为()
A. f ( x) = ( x - 1) 2 + 3( x - 1)B. f ( x) = 2( x - 1)
C. f ( x) = 2( x - 1) 2D . f ( x) = x - 1
24.函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + 3x - 9 ,已知 f ( x) 在 x = -3 时取得极值,则 a =(
A.2B.3C.4D.5
25.函数 f ( x) = x3 - 3x2 + 1是减函数的区间为()
A. (2, +∞ )B. (-∞, 2)C. (-∞,0)D. (0, 2)
26.函数 y = x3 - 3x2 - 9 x (- 2 < x < 2)有()
A.极大值 5,极小值-27B.极大值 5,极小值-11
C.极大值 5,无极小值D.极小值-27,无极大
27.三次函数 f (x) = ax 3 + x 在 x ∈ (- ∞,+∞ )内是增函数,则()
A. a > 0B. a < 0
C. a = 1D. a = 1
3
)
28.在函数 y = x 3 - 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 π 的点中,坐标为整数的
4
点的个数是()
A.3B.2C.1D.0
29.函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f '( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,
则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点()
A.1 个B.2 个
C.3 个D.4 个
30.下列求导运算正确的是()
y y = f '( x)
b
O
A、 ( x + 1
x 2
1
x 3
C、D、
31.已知函数 f(x)=ax2+c,且 f '
(1)=2,则 a 的值为()
A.0B.2C.-1D.1
32.函数 y = x3 + x 的递增区间是()
A. (0,+∞)B. (-∞,1)C. (-∞,+∞)D. (1,+∞)
33. 函数 y= ln x 的导数为()
A.2x ln xB.x
2 ln x
C.1
1
2 x ln x
34.设 AB 为过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为()
A. pB. pC. 2 p
2
D.无法确定
35.函数 y = x 3 - 3x 的极大值为 m ,极小值为 n ,则 m + n 为()
A.0B.1C.2
D.4
1
x
1
2
37.函数 f ( x) = 2x - sin x 在 (-∞,+∞) 上()
A.是增函数B.是减函数C.有最大值D.有最小值
38.函数 y = ln x 的最大值为()
x
A. e -1B. eC. e 2D.
10
3
二.填空题
1
3
2. 已知函数 y = f ( x) 的图象在点 M (1,f
(1)) 处的切线方程是y = 1 x + 2 ,则
2
f
(1)+ f '
(1) 。
-
3.曲线 y = x3 - 2 x2 - 4 x + 2 在点 (1, 3) 处的切线方程是
。
4.若 y=(2x2-3)(x2-4),则 y’=。
5.若 y=3cosx-4sinx ,则 y’=。
6.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 y=x3+3x2-1 相切的直线方程是。
π
2
8.求曲线 y=x3+x2-1 在点 P(-1,-1)处的切线方程。
9.若 y = 1 + x , 则 y’=。
2 - x 2
10.若 y =
-3x4 + 3x2 - 5
x3
则 y’= 。
11.若 y = 1 + cos x , 则 y’=。
1 - cos x
3
3
13.已知 f(x)=1
1
14.已知 f(x)=sin 2 x,则 f′(x)=___________。
1 + cos 2 x
15.若 y=(sinx-cosx ) 3,则 y’=。
16.若 y= 1 + cos x 2 ,则 y’=。
17.若 y=sin3(4x+3),则 y’=。
18.函数 y=(1+sin3x)3 是由___________两个函数复合而成。
19.曲线 y=sin3x 在点 P(
π
3
,0)处切线的斜率为___________。
20.函数 y=xsin(2x-
π π
2 2
π
3
1
22.函数 y=cos3 x 的导数是___________。
23.在曲线 y= x + 9 的切线中,经过原点的切线为________________。
x + 5
24.函数 y=log cosx 的导数为___________。
3
25.函数 y=x2lnx 的导数为。
26.函数 y=ln(lnx)的导数为。
27.函数 y=lg(1+cosx)的导数为。
(2e x + 1) 2
e x
29.函数 y= 2 2x 的导数为 y′=___________。
30.曲线 y=ex-elnx 在点(e,1)处的切线方程为___________。
1
3
(
32.曲线 y = x 3 在点 1,1)处的切线与 x 轴、直线 x = 2 所围成的三角形的面积为
__________。
14
33
______________。
34.已知 f (n) ( x) 是对函数 f ( x) 连续进行 n 次求导,若 f ( x) = x6 + x5 ,对于任意
x ∈ R ,都有 f (n) ( x) =0,则 n 的最少值为。
35.函数 y= sin x 的导数为_________________。
x
π
2
37. 若 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a > 0) 在 R 增 函 数 , 则 a, b, c 的 关 系 式 为
是。
38.曲线 y = ln x 在点 M(e,1)处的切线的方程为_______________。
三.计算题
1 + 3x2
2 - x2
2.求函数 y=ln
1 + x
1 - x
的导数。
3.求函数 y=ln( 1 + x 2 -x)的导数。
4.求函数 y=e2xlnx 的导数。
5.求函数 y=xx(x>0)的导数。
6.设函数 f ( x) 在点 x 处可导,试求下列各极限的值.
0
(1) lim
∆x→0
f ( x - ∆x) - f ( x )
0 0
∆x
;
(2) lim
h→ 0
f(x + h) - f(x - h)
0 0
2h
;
k→ 0
(3)若 f '( x ) = 2 ,则 lim
0
f(x - k ) - f(x )
0 0
2k
。
7.求函数 y =x 在 x = 1 处的导数。
8.求函数 y = x 2 + ax + b (a、b 为常数)的导数。
9.利用洛必达法则求下列极限:
ex - e- x
x→0x
(2) lim
x→1
ln x
x - 1
;
(3)lim
x→1
x3 - 3x2 + 2
x3 - x2 - x + 1
;
(4) lim
x→
2
π
2 ;
tan x
xn
(5) lim
x→+∞ eax
(a > 0, n为正整数)
(6) lim xm ln x(m > 0) ;
x→0+
11
(7)lim(-
x→0 xe x - 1
) ;
1
x
x→0
(9) lim xsin x ;
x→0+
10.求下列函数的单调增减区间:
(1)y = 3x2 + 6 x + 5 ;
;
x2
1 + x
11.求下列函数的极值:
(1)y = x3 - 3x2 + 7 ;
(2) y =2 x;
1 + x2
(3) y = x2e- x ;
(4) y = 3 - 3 ( x - 2)2 ;
(5) y = ( x -1)3 x2 ;
x3
( x - 1)2
四.解答题
1.求曲线 y=x3+x2-1 在点 P(-1,-1)处的切线方程。
2.求过点(2,0)且与曲线 y = 1 相切的直线的方程。
x
3
t
4.求曲线 y =
1 1
( x2 - 3x)2 4
5.求曲线 y = sin 2 x在M (π ,0) 处的切线方程。
6.已知曲线 C:
y = x 3 - 3x 2 + 2 x ,直线 l :
y = kx ,且直线 l 与曲线 C 相切于点
(x
0
y
0
) x
0
≠ 0 ,求直线 l 的方程及切点坐标。
7.已知 f (x) = ax 3 + 3x 2 - x + 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。
8.设函数 f ( x) = 2 x3 + 3ax2 + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值。
(1)求 a、b 的值;
3]
(2)若对于任意的 x ∈[0, ,都有 f ( x) < c2 成立,求 c 的取值范围。
( )
9.已知 a 为实数, f (x ) = x 2 - 4 (x - a )。
求导数 f ' (x );
(2)若 f ' (- 1) = 0 ,求 f (x)
在区间 [- 2,2]上的最大值和最小值。
10.设函数 f ( x) = ax3 + bx + c (a ≠ 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f
(1))处的切线与直
线 x - 6 y - 7 = 0 垂直,导函数 f '(x) 的最小值为 -12 。
(1)求 a , b , c 的值;
(2)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [-1,3] 上的最大值和最小值。
11.已知曲线 y = x +
1 5
x 2
(1)点 A 的切线的斜率
(2)点 A 处的切线方程
⎧ 1
12.已知函数 f ( x) = ⎨,判断 f ( x) 在 x = 1 处是否可导?
⎪ 1 ( x + 1)( x > 1)
⎪⎩ 2
13.已知函数 f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c ,当 x = -1 时,取得极大值 7;当 x = 3 时,
取得极小值.求这个极小值及 a, b, c 的值。
14.已知函数 f(x ) = -x 3 + 3x 2 + 9x + a 。
(1)求 f ( x) 的单调减区间;
(2)若 f ( x) 在区间[-2,2].上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值。
15.设 t ≠ 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) = x 3 + ax与g ( x) = bx 2 + c 的图象的一个公
共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线。
(1)用 t 表示 a, b, c ;
(2)若函数 y = f ( x) - g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。
16.设函数 f (x ) = x3 + bx2 + cx( x ∈ R) ,已知 g ( x) = f ( x) - f '( x) 是奇函数。
(1)求 b 、 c 的值。
(2)求 g ( x) 的单调区间与极值。
17.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比
为 2:
1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?
最大体积是多少?
11
3]
32
(1)求的最大值;
(2)当时,设函数在点处的切线为 ,若 在点 处
穿过函数的图象(即动点在点 附近沿曲线运动,经过点 时,
从 的一侧进入另一侧),求函数的表达式。
的值。
⎧ ln(1+ kx)
⎪
⎪⎩-1
x ≠ 0
x = 0
,若 f ( x) 在点 x = 0 处可导,求 k 与 f '(0)
⎧ 1 - cos x
⎪
⎪
⎪ 1
⎩ xe x - 1x < 0
21.设 y = ln(1+ x2 ) ,求函数的极值,曲线的拐点。
22.利用二阶导数,判断下列函数的极值:
(1)y = ( x - 3)2 (x - 2) ;
(2) y = 2e x + e- x
23.曲线 y = ax3 + bx2 + cx + d 过原点,在点 (1,1)处有水平切线,且点 (1,1)是该曲
线的拐点,求 a, b, c, d 。
24.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:
(1)y = x4 - 2 x2 + 5[-2,2] ;
(2) y = ln( x2 + 1)[-1,2] ;
(3) y =
x2
1 + x
1
2
(4) y = x +x
[0, 4] 。
25.已知函数 f ( x) = ax3 - 6ax2 + b(a > 0) ,在区间 [-1,2] 上的最大值为 3 ,最小
值为 -29 ,求 a, b 的值。
26.欲做一个底为正方形,容积为 108m3 的长方体开口容器,怎样做所用材料最
省?
27.确定下列曲线的凹向与拐点:
(1)y = x2 - x3 ;
(2) y = ln(1+ x2 ) ;
1
(3) y = x 3 ;
(4) y =2 x;
1 + x2
(5) y = xe x ;
(6) y = e- x
28.某厂生产某种商品,其年销量为 100 万件,每批生产需增加准备费 1000 元,
而每件的库存费为 0.05元,如果年销售率是均匀的,且上批销售完成后,立即再
生产下一批(此时商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备
费及库存费之和最小?
29.某化工厂日产能力最高为1000吨,每天的生产总成本 C (单位:
元)是日产
量 x (单位:
吨)的函数:
C = C ( x) = 1000 + 7 x + 50 x
(1)求当日产量为100吨时的边际成本;
(2)求当日产量为100吨时的平均单位成本。
x ∈ [0,1000]
30.生产 x 单位某产品的总成本 C 为 x 的函数:
C = C ( x) = 1100 +
(1)生产 900 单位时的总成本和平均单位成本;
(2)生产 900 单位到1000单位时的总成本的平均变化率;
(3)生产 900 单位和1000单位时的边际成本。
1
1200
x2,求:
31.设生产 x 单位某产品,总收益 R 为 x 的函数:
R = R( x) = 200 x - 0.01x2 ,求:
生产 50 单位产品时的总收益、平均收益和边际收益。
32.生产 x 单位某种商品的利润是 x 的函数:
L( x) = 5000 + x - 0.00001x2 ,问生产
多少单位时获得的利润最大?
33. 某厂每批生产某种商品x 单位的费用为 C( x) = 5x+ 200,得到的收益是
2
R( x) = 10x- 0.01x ,问每批生产多少单位时才能使利润最大?
34.某商品的价格 P 与需求量 Q 的关系为 P = 10 - Q ,求
(1)求需求量为 20 及 30
5
时的总收益 R 、平均收益 R 及边际收益 R' ;
(2) Q 为多少时总收益最大?
35.某工厂生产某产品,日总成本为 C 元,其中固定成本为 200 元,每多生产一
单位产品,成本增加 10 元。
该商品的需求函数为 Q = 50 - 2P ,求 Q 为多少时,
工厂日总利润 L 最大?
36.已知函数 f ( x) = x 3 - ax 2 - bx 的图象与 x 轴切于点(1,0),求 f ( x) 的极大
值与极小值。
37.已知 f ( x) = ax 4 + bx 2 + c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x = 1 处的切线方程是
y = x - 2 。
(1)求 y = f ( x) 的解析式;
(2)求 y = f ( x) 的单调递增区间。
38.已知函数 f ( x) = x 3 + 3ax 2 + 3bx + c 在 x = 2 处有极值,其图象在 x = 1处的切线
与直线 6 x + 2 y + 5 = 0 平行.
(1)求函数的单调区间;
(2)当 x ∈ [1,3] 时, f ( x) > 1 - 4c 2 恒成立,求实数 c 的取值范围。
39.已知 x = 2 是函数 f ( x) = ( x2 + ax - 2a - 3)e x 的一个极值点( e = 2.718 ⋅ ⋅ ⋅ )。
(1)求实数 a 的值;
3
2
40.已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + (c - 3a - 2b) x + d 的图象如图所示.
(1)求 c, d 的值;
(2)若函数 f (x) 在 x = 2 处的切线方程为 3x + y - 11 = 0 ,求函数 f (x)
的解析式;
(3)在
(2)的条件下,函数 y = f ( x) 与 y =
三个不同的交点,求 m 的取值范围。
1
3
f '( x) + 5x + m 的图象有
41.已知函数 f ( x) = a ln x - ax - 3(a ∈ R) .
(1)求函数 f ( x) 的单调区间;
31m
232
在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围。
42.已知常数 a > 0 , e
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