解三角形的必备知识和典型例题及习题.docx
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解三角形的必备知识和典型例题及习题
解三角形的必备知识和典型例题及习题
亠、知识必备:
1•直角三角形中各元素间的关系:
在^ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。
(1)三边之间的关系:
a2+b2=c2。
(勾股定理)
(2)锐角之间的关系:
A+B=90°;
(3)边角之间的关系:
(锐角三角函数定义)
sinA=cosB=I,cosA=sinB=,tanA=f。
2•斜三角形中各元素间的关系:
在厶ABC中,A、BC为其内角,a、b、c分别表示AB、C的对边。
(1)三角形内角和:
A+B+C=n。
(2)
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
(3)余弦定理:
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a2=b2+c2—2bccosA;b2=c2+a2—2cacosB;
c2=a2+b2—2abcosCo
3•三角形的面积公式:
(1)s=丄aha=-bhb=Achc(ha、hb、hc分别表示a、
222
b、c上的高);
(2)s=1absinC=*bcsinA=facsinB;
4.解三角形:
由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型:
(1)两类正弦定理解三角形的问题:
第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.
(2)两类余弦定理解三角形的问题:
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.
5.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
(1)角的变换
因为在△ABC中,A+B+Cn,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=—cosC;tan(A+B)=—tanC。
sin^-B=cosC,cos^-B=sinC;
2222?
(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式•
6•求解三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:
分析题意,弄清已知和所求;
(2)建模:
将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图;
(3)求解:
正确运用正、余弦定理求解;
(4)检验:
检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析
题型1:
正、余弦定理
题型2:
三角形面积
例2.在匚ABC中,sinAcosA=—,AC=2,AB=3,求tanA的值
和ABC的面积。
点评:
本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力,是一道三角的基础试题。
两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢?
题型3:
三角形中的三角恒等变换问题
例3.在△ABC中,a、b、c分别是/A、/B^ZC的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2—c2=ac—bc,求ZA的大小及诞的值。
c
分析:
因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求
/A,需找/A与三边的关系,故可用余弦定理。
由b2=ac可变形为^=a,再用正弦定理可求叱的值。
C7c
解法一:
ta、b、c成等比数列,•••b2=ac。
又a2—c2=ac—bc,・•・b2+c2—a2=bc。
.•ZA=60°。
在厶ABC中,由正弦定理得sinB=^,:
b2=ac,
a
ZA=60°,
解法二:
在△ABC中,
由面积公式得丄bcsinA=丄acsinB。
22
tb2=ac,ZA=60°,「・bcsinA=b2sinB。
评述:
解三角形时,找三边一角之间的关系常用余
弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理题型4:
正、余弦定理判断三角形形状
例4•在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
答案:
C
解析:
2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A一B)=0,「.A=B
另解:
角化边
点评:
本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向,通畅解题途径
题型5:
三角形中求值问题
例5.'ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,
cosA2cos普取得最大值,并求出这个最大值。
B+Cab+c
解析:
由A+B+Cn,得万=;—2,所以有cosy
A
=sin2。
B+CA2AA
cosA+2cos^^=cosA+2sin二=1—2sin-+2sin~=
2222
A123
—2(sin2—2)+2;
A1nB+C
当sin2=2,即A=y时,cosA+2cos牙取得最大值为3。
点评:
运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关
于一个角的三角函数的形式,通过三角函数的性质求得结果。
题型6:
正余弦定理的实际应用
三、思维总结
1解斜三角形的常规思维方法是:
(1)已知两角和一边(如A、B、C),由A+B+C=n求C,由正弦定理求a、b;
(2)已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=n,求另一角;
(3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C=n求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况;
(4)已知三边a、b、c,应余弦定理求AB,再由A+B+C=n,求角
2.三角学中的射影定理:
在厶ABC中,
b=acosCccosA,…
3.两内角与其正弦值:
在厶ABC中,
AB=sinArinB,…
4.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
正余弦定理应用
一、正弦
已知△ABC中,a=>/2,b=Q3,B=60°那么角A等于
已知△ABC中,a=x,b=2,B=45°若该三角形有两个解,则x的取值范围是
在aabc中,a=15,b=10,A=60。
,贝Mcosb=
△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.
若a=25b,A=2B,则cosB=
在厶ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若
(也b—c)cosA=acoSC,贝VcosA=
在锐角△ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对边,且B=2A,则b的取值范围是_
a
二、余弦
已知ABC中,AB=4,AC=3,BAC=60,则BC二
在.ABC中,a、b、c所对的边分别是a、b、c,已知a2b2=c^2ab,则C=
若AABC的三个内角满足sinA:
sinB:
sinC=5:
11:
13,则AABC是
若厶ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a+b)2—c2=4,且C=60°,贝Uab的值为
在厶ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2
+c2—b2)tanB=73ac,则角B的值为
222
在厶ABC中,sina 在厶ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 2asinA=(2ac)sinB(2cb)sinC. (I)求A的大小;(U)若sinB+sinC=1,试判断mbc的形状.(3)求sinBsinC的最大值. 三、综合 3 在-ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,B=300,ABC的面积为,则b二 2 在厶ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若 a2—b2=V3bc,sinC=^/3sinB,贝UA= 在ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且a-1,-3,则Sabc= 在厶ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、 c.已知c=2,C=3. ⑴若厶ABC的面积等于: 3,求a、b的值; (2)若sinC +sin(B—A)=2sin2A,求△ABC的面积. 在.ABC中,内角AB、C的对边长分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b 判断三角形形状 在厶ABC中,已知sinC=2sinAcosB,那么△ABC—定是 在△ABC中,若a=9,b=10,C95,则厶abc的形状是 若AABC的三个内角满足sinA: sinB: sinC=5: 11: 13,则也ABC是 已知△ABC的内角A、B及其对边a’b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C 四、实际应用 在厶ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6求AB的长.
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