版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ222函数的奇偶性学案苏教版必修1.docx
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版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ222函数的奇偶性学案苏教版必修1
2.2.2 函数的奇偶性
学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?
关于原点对称的呢?
梳理 图象关于y轴对称的函数称为______函数,图象关于原点对称的函数称为______函数.
知识点二 函数奇偶性的定义
思考1 为什么不直接用图象关于y轴(或原点)对称来定义函数的偶奇性?
思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处?
梳理 设函数y=f(x)的定义域为A.
如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数;
如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.
如果函数f(x)是奇函数或偶函数,我们就说函数f(x)具有奇偶性.
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
思考 如果一个函数f(x)的定义域是(-1,1],那这个函数f(x)还具有奇偶性吗?
梳理 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于________对称.
类型一 证明函数的奇偶性
命题角度1 已知函数解析式,证明奇偶性
例1
(1)证明f(x)=既非奇函数又非偶函数;
(2)证明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函数;
(3)证明f(x)=+既是奇函数又是偶函数.
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定属于定义域.
跟踪训练1
(1)证明f(x)=(x-2)既非奇函数又非偶函数;
(2)证明
命题角度2 证明分段函数的奇偶性
例2 判断函数f(x)=的奇偶性.
反思与感悟 分段函数也是函数,证明奇偶性也是抓住两点
(1)定义域是否关于原点对称.
(2)对于定义域内的任意x,是否都有f(-x)=f(x)(或-f(x)),只不过对于不同的x,f(x)有不同的表达式,要逐段验证是否都有f(-x)=f(x)(或-f(x)).
跟踪训练2 证明f(x)=是奇函数.
命题角度3 证明抽象函数的奇偶性
例3 f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),y=f(x)g(x),y=f[g(x)]的奇偶性.
反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数,通过加减乘除、复合,可以得到新的函数,判断这些新函数的奇偶性,主要是代入-x,看总的结果.
跟踪训练3 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是______.(填序号)
①f(x)g(x)是奇函数;
②f(x)g(x)是偶函数;
③|f(x)|g(x)是偶函数;
④f(x)|g(x)|是奇函数.
类型二 奇偶性的应用
命题角度1 奇偶函数图象的对称性的应用
例4 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象;
(2)解不等式xf(x)>0.
引申探究
将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称,可以用这一特性去画图,求值,求解析式,研究单调性.
跟踪训练4 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值
例5
(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.
(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求当x<0时f(x)的解析式.
反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用
(1)定义域关于原点对称.
(2)对定义域内任意x,恒有f(-x)=f(x)(或-f(x))成立,常用这一特点得一个恒成立的等式,或对其中的x进行赋值.
跟踪训练5 已知函数f(x)=为奇函数,则a+b=________.
1.函数f(x)=0(x∈R)的奇偶性是________.
2.函数f(x)=x(-1 3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f (2)=1,则f(-2)=________. 4.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+m2-7m+12为偶函数,则m的值是________. 5.下列说法错误的是________.(填序号) ①图象关于原点对称的函数是奇函数; ②图象关于y轴对称的函数是偶函数; ③奇函数的图象一定过原点; ④偶函数的图象一定与y轴相交. 1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数. 2.两个性质: 函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称;函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 ①②关于y轴对称,③④关于原点对称. 梳理 偶 奇 知识点二 思考1 因为很多函数图象我们不知道,即使画出来,细微之处是否对称也难以精确判断. 思考2 好处有两点: (1)等价: 只要所有点均关于y轴(原点)对称,则图象关于y轴(原点)对称,反之亦然. (2)可操作: 要判断点是否关于y轴(原点)对称,只要代入解析式验证即可. 知识点三 思考 由函数奇偶性定义,对于定义域内任一元素x,其相反数-x必须也在定义域内,才能进一步判断f(-x)与f(x)的关系.而本问题中,1∈(-1,1],-1∉(-1,1],f(-1)无定义,自然也谈不上是否与f (1)相等了.所以该函数是既非奇函数,也非偶函数. 梳理 原点 题型探究 例1 证明 (1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},所以对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内,故f(x)=既非奇函数又非偶函数. (2)函数的定义域为R,因函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,又因f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数为偶函数. (3)定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x)=f(x),故函数f(x)=+为偶函数.又f(-x)=-f(x),故函数f(x)=+为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数. 跟踪训练1 证明 (1)由≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数. (2)函数的定义域为R,因f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数为奇函数. 例2 解 由题意可知f(x)的定义域为(-6,-1]∪[1,6), 关于原点对称, 当x∈(-6,-1]时,-x∈[1,6), 所以f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x); 当x∈[1,6)时,-x∈(-6,-1], 所以f(-x)=(-x+5)2-4 =(x-5)2-4=f(x). 综上可知对于任意的x∈(-6,-1]∪[1,6), 都有f(-x)=f(x), 所以f(x)= 是偶函数. 跟踪训练2 证明 定义域为{x|x≠0}. 若x<0,则-x>0, ∴f(-x)=x2,f(x)=-x2, ∴f(-x)=-f(x); 若x>0,则-x<0, ∴f(-x)=-(-x)2=-x2,f(x)=x2, ∴f(-x)=-f(x); 即对任意x≠0,都有f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. 例3 解 ∵f(x),g(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],y=f(x)+g(x)是奇函数. f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x),y=f(x)g(x)是偶函数. f[g(-x)]=f[-g(x)]=-f[g(x)],y=f[g(x)]是奇函数. 跟踪训练3 ①③④ 解析 ①令h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),∴h(x)是奇函数,故①对,②不对; ③令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),∴h(x)是偶函数,故③对; ④令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴h(x)是奇函数,故④对. 例4 解 (1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图. (2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2). 引申探究 解 (1)f(x)的图象如图所示. (2)xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2). 跟踪训练4 解 (1)如图,在[0,5]上的图象上选取5个关键点O,A,B,C,D. 分别描出它们关于原点的对称点O′,A′,B′,C′,D′, 再用光滑曲线连接即得. (2)由 (1)图可知,当且仅当 x∈(-2,0)∪(2,5)时,f(x)<0. ∴使f(x)<0的x的取值集合为 (-2,0)∪(2,5). 例5 (1) 0 解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称, ∴a-1=-2a,解得a=, f(x)=x2+bx+b+1. 又f(x)为偶函数, ∴f(-x)=(-x)2+b(-x)+b+1 =f(x)=x2+bx+b+1, 对定义域内任意x恒成立, 即2bx=0对任意x∈[-,]恒成立, ∴b=0.综上,a=,b=0. (2)解 设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x+1, ∴当x<0时,f(x)=-x-1. 跟踪训练5 0 解析 由题意知 则 解得 当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数, 故a+b=0. 当堂训练 1.既是奇函数又是偶函数 2.既不是奇函数又不是偶函数 3.5 4.2 5.③④
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