北京中考数学复习专题突破9图形变换.docx
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北京中考数学复习专题突破9图形变换
专题突破(九) 图形变换
名师说中考:
本专题通常与“平移、轴对称、旋转”这三种全等变换相结合,这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化,具有更紧凑的位置关系或组合成新的便于论证的基本图形.用运动、变化的观点看待几何图形,通过几何变换移动线段(角)的位置是解决这些问题的有效手段.常见问题类型及解题思路如下:
一、证明线段之间的数量关系:
当问题中有45°角出现时,线段之间的关系往往同“
”相关,当问题中有30°或60°角出现时,线段之间的关系往往同“
”相关.尤其是要猜想的结论或者要证明的结论与
或
相关时,就要想方设法构造含45°,30°或60°的直角三角形,然后再通过适当的代换来实现目标.
二、证明角与角之间的数量关系:
一般情况下证明角等(或不等)往往转化为证明在一个三角形中的边相等(或不等),即等边对等角,大边对大角,小边对小角,或者利用三角形的外角与内角间的关系,三角形的内角和定理等.
A组·真题体验
1.[2017·北京]如图Z9-1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.
(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.
图Z9-1
2.[2016·北京]在等边△ABC中,
(1)如图Z9-2①,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.
①依题意将图②补全;
②小茹通过观察、实验提出猜想:
在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:
要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形.
想法2:
在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证△ANP≌△PCM.
想法3:
将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK.
……
请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM.(一种方法即可)
图Z9-2
B组·专题训练
类型1 证明线段之间的数量关系
1.[2017·东城一模]在等腰△ABC中,
(1)如图Z9-3①,若△ABC为等边三角形,D为线段BC的中点,线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE,连接DE,则∠BDE的度数为________;
(2)若△ABC为等边三角形,点D为线段BC上一动点(不与B,C重合),连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE,连接BE.
①根据题意在图②中补全图形;
②猜测:
在点D的运动过程中,CD与BE之间的数量关系,并证明;
(3)如图③,若AB=AC=kBC,AD=kDE,且∠ADE=∠C,此时BE,BD,AC三者之间满足一定的数量关系,这个数量关系是________.(直接给出结论无需证明)
图Z9-3
2.[2017·石景山一模]改编在正方形ABCD中,点E是对角线AC上的动点(与点A,C不重合),连接BE.
(1)将射线BE绕点B顺时针旋转45°,交直线AC于点F.
①依题意补全图Z9-4①;
②猜想线段AE,FC,EF之间存在什么样的数量关系,并证明该猜想.
(2)如图②,若将直线BE绕点B顺时针旋转135°,交直线AC于点F.直线AC上存在三条线段(不添加辅助线)满足:
其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方,请直接用等式表示这三条线段的数量关系.
图Z9-4
3.[2017·平谷一模]在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是BC边的中点,作射线DE,与边AB交于点E,将射线DE绕点D顺时针旋转120°,与直线AC交于点F.
(1)依题意将图Z9-5补全;
(2)小华通过观察、实验提出猜想:
在点E运动的过程中,始终有DE=DF.小华把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:
由点D是BC边的中点,通过构造一边的平行线,利用全等三角形,可证DE=DF;
想法2:
利用等边三角形的对称性,作点E关于线段AD的对称点P,由∠BAC与∠EDF互补,可得∠AED与∠AFD互补,由等角对等边,可证DE=DF;
想法3:
由等腰三角形三线合一,可得AD是∠BAC的平分线,由角平分线定理,构造点D到AB,AC的高,利用全等三角形,可证DE=DF,
…….
请你参考上面的想法,帮助小华证明DE=DF(选一种方法即可);
(3)在点E运动的过程中,直接写出BE,CF,AB之间的数量关系.
图Z9-5
4.[2017·丰台二模]已知正方形ABCD,点E,F分别在射线AB,射线BC上,AE=BF,DE与AF交于点O.
(1)如图Z9-6①,当点E,F分别在线段AB,BC上时,线段DE与AF的数量关系是________,位置关系是________.
(2)如图Z9-6②,当点E在线段AB的延长线上时,将线段AE沿AF进行平移至FG,连接DG.
①依题意将图②补全;
②小亮通过观察、实验提出猜想:
在点E运动的过程中,始终有DG2=2AD2+2AE2.
小亮把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:
连接EG,要证明DG2=2AD2+2AE2,只需证明四边形FAEG是平行四边形及△DGE是等腰直角三角形.
想法2:
延长AD,GF交于点H,要证明DG2=2AD2+2AE2,只需证明△DGH是直角三角形.
请你参考上面的想法,帮助小亮证明DG2=2AD2+2AE2.(一种方法即可)
图Z9-6
类型2 证明角与角之间的数量关系
5.[2017·西城一模]在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D.
(1)如图Z9-7①,当∠ABC=90°时,若CE平分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.
①求证:
△BEF是等腰三角形;
②求证:
BD=
(BC+BF);
(2)点E在AB边上,连接CE.若BD=
(BC+BE),在图②中补全图形,判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系,写出你的结论,并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路.
图Z9-7
6.[2017·海淀二模]在锐角△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AC中点.
(1)如图Z9-8①,过点C作CF⊥AB于点F,连接EF.若∠BAD=20°,求∠AFE的度数;
(2)若M为线段BD上的动点(点M与点D不重合),过点C作CN⊥AM于点N,射线EN与射线AB交于点P.
①依题意将图②补全;
②小宇通过观察、实验,提出猜想:
在点M运动的过程中,始终有∠APE=2∠MAD.
小宇把这个猜想与同学们进行讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:
连接DE,要证∠APE=2∠MAD,只需证∠PED=2∠MAD.
想法2:
设∠MAD=α,∠DAC=β,只需用α,β表示出∠PEC,通过角度计算得∠APE=2α.
想法3:
在NE上取点Q,使∠NAQ=2∠MAD,要证∠APE=2∠MAD,只需证△NAQ∽△APQ.
……
请你参考上面的想法,帮助小宇证明∠APE=2∠MAD.(一种方法即可)
图Z9-8
7.[2017·房山二模]在△ABC中,AB=BC,∠B=90°,点D为直线BC上一个动点(不与B、C重合),连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连接EC.
(1)如果点D在线段BC上运动,如图Z9-9①.
①依题意补全图①;
②求证:
∠BAD=∠EDC.
③通过观察、实验,小明得出结论:
在点D运动的过程中,总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后,形成了证明这个结论的几种想法:
想法1:
在AB上取一点F,使得BF=BD,要证∠DCE=135°,只需证△ADF≌△DEC.
想法2:
以点D为圆心,DC为半径画弧交AC于点F.要证∠DCE=135°,只需证△AFD≌△ECD.
想法3:
过点E作BC所在直线的垂线段EF,要证∠DCE=135°,只需证EF=CF.
……
请你参考上面的想法,证明∠DCE=135°.
(2)如果点D在线段CB的延长线上运动,利用图②画图分析,∠DCE的度数还是确定的值吗?
如果是,直接写出∠DCE的度数;如果不是,说明你的理由.
图Z9-9
8.[2017·怀柔二模]在△ABN中,∠B=90°,点M是AB上的动点(不与A,B两点重合),点C是BN延长线上的动点(不与点N重合),且AM=BC,CN=BM,连接CM与AN交于点P.
(1)在图Z9-10中依题意补全图形;
(2)小伟通过观察、实验,提出猜想:
在点M,C运动的过程中,始终有∠APM=45°.小伟把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的一种思路:
要想解决这个问题,首先应想办法移动部分等线段构造全等三角形,证明线段相等,再构造平行四边形,证明线段相等,进而证明等腰直角三角形,出现45°的角,再通过平行四边形对边平行的性质,证明∠APM=45°.
他们的一种做法是:
过点M在AB下方作MD⊥AB于点M,并且使MD=CN.通过证明△AMD≌△CBM,得到AD=CM,再连接DN,证明四边形CMDN是平行四边形,得到DN=CM,进而证明△ADN是等腰直角三角形,得到∠DNA=45°.又由四边形CMDN是平行四边形,推得∠APM=45°.使问题得以解决.
请你参考上面同学的思路,用另一种方法证明∠APM=45°.
图Z9-10
参考答案
|真题体验|
1.解:
(1)∠AMQ=45°+α,理由如下:
∵∠PAC=α,△ACB是等腰直角三角形,
∴∠PAB=45°-α,
∵QH⊥AP,
∴∠AHM=90°,
∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAM=45°+α.
(2)线段MB与PQ之间的数量关系:
PQ=
MB.理由如下:
连接AQ,过点M作ME⊥QB于E,如图所示:
∵AC⊥QP,CQ=CP,
∴∠QAC=∠PAC=α,
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ,
∴AP=AQ=QM,
∵∠PAQ=2α,AP=AQ,∴∠APQ=
(180°-2α)=90°-α,
∴∠PQH=90°-∠APQ=α.
在△APC和△QME中,∵
∴△APC≌△QME,
∴PC=ME,
∵△MEB是等腰直角三角形,∴ME=
MB,
∴
PQ=
MB,
∴PQ=
MB.
2.解:
(1)∵AP=AQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴∠APB=∠AQC.
又∵∠B=∠C=60°,
∴∠BAP=∠CAQ=20°,
∴∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=60°-20°-20°=20°,
∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°.
又∵∠B=60°,
∴∠AQB=180°-∠B-∠BAQ=80°.
(2)①如图;
②利用想法1.证明:
连接AQ,首先应该证明△APB≌△AQC,
得到∠BAP=∠CAQ,然后由∠CAQ=∠CAM得到∠CAM=∠BAP,进而得到∠PAM=60°;
接着利用∠MCA=∠QCA=∠PBA=60°,
AB=AC,∠CAM=∠BAP,
得到△APB≌△AMC,
从而得到AP=AM,进而得到PA=PM.(利用其他想法证明也可以)
|专题训练|
类型1 证明线段之间的数量关系
1.解:
(1)30°
(2)①如图:
②猜测CD=BE.证明:
思路1:
连接AE,∵DE是由AD绕点D逆时针旋转60°所得,
∴DE=AD,∠ADE=60°,
∴△ADE为等边三角形.
∴AD=AE,∠EAD=60°,
∵∠BAC=60°,
∴∠EAB=∠DAC,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC.
在△ADC和△AEB中,
∴△ADC≌△AEB(SAS),
∴CD=BE.
思路2:
过点D作DF∥AB,交AC于点F,
∴四边形DFAB为梯形.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∴梯形DFAB为等腰梯形,
∴BD=AF.
∵∠BAC=60°,
∴∠BAD+∠CAD=60°.
∵∠ABC=60°,∴∠BAD+∠BDA=120°.
∵DE是由AD绕点D逆时针旋转60°所得,
∴DE=AD,∠ADE=60°,
∴∠BAD+∠BDE=60°,
∴∠BDE=∠CAD=∠FAD.
在△ADF和△DEB中,
∴△ADF≌△DEB(SAS),∴DF=EB,
∵DF∥AB,∴∠FDC=∠DFC=∠C=60°,
∴△DFC为等边三角形,
∴DF=CD,
∴EB=CD.
思路3:
证明:
延长CB至G,使BG=CD,连接EG,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°,BC=AC,
∴∠BAD+∠DAC=60°,∠BAD+∠BDA=120°.
∵DE是由AD绕点D逆时针旋转60°所得,
∴AD=DE,∠ADE=60°,
∴∠BAD+∠BDE=60°,
∴∠BDE=∠DAC,
∵BG=CD,
∴GD=BC=AC,
在△ADC和△DEG中,
∴△ADC≌△DEG(SAS),
∴GE=CD=BG且∠G=∠C=60°,
∴△GBE为等边三角形,
∴BE=GE=GB=CD.
(3)数量关系是:
k(BD+BE)=AC.
思路提示:
连接AE,易证△ADE∽△ACB,∴
=
=k,∵∠ADE=∠C,AE=AD,AB=AC,∴∠EAD=∠BAC,
∴∠EAB=∠DAC,∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD,∴BE+BD=BC,
∴k(BD+BE)=AC.
2.解:
(1)①依题意补全图形,如图①.
②线段AE,FC,EF之间的数量关系为:
AE2+FC2=EF2.
证法一:
过点B作MB⊥BF于点B且BM=BF,
连接ME,MA,如图②.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠1=∠2=45°,AB=BC.
∵∠3=45°,
∴∠MBE=∠3=45°.
又∵BE=BE,
∴△MBE≌△FBE.
∴EM=EF.
∵∠4=90°-∠ABF,∠5=90°-∠ABF,
∴∠4=∠5.
又∵BM=BF,AB=CB,
∴△AMB≌△CFB.
∴AM=CF,∠6=∠2=45°.
∴∠MAE=∠6+∠1=90°.
在Rt△MAE中,AE2+MA2=EM2.
∴AE2+FC2=EF2.
证法二:
作∠2=∠1,且BN=BA,连接EN,FN,如图③.
又∵BE=BE,
∴△BNE≌△BAE.
∴NE=AE,∠6=∠5.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠5=∠8=45°,AB=BC.
∴BN=BC.
∵∠3=∠EBF-∠2=45°-∠2,∠4=∠ABC-∠EBF-∠1=90°-45°-∠1=45°-∠1,
∴∠3=∠4.
又∵BF=BF,
∴△BNF≌△BCF.
∴FN=FC,∠7=∠8=45°.
∴∠ENF=∠6+∠7=45°+45°=90°.
∴在Rt△ENF中,NE2+FN2=EF2.
∴AE2+FC2=EF2.
(2)用等式表示这三条线段的数量关系:
AF2+EC2=EF2.
3.解:
(1)如图①.
(2)想法1:
证明:
如图②,过D作DG∥AB,交AC于G,
∵点D是BC边的中点,
∴DG=
AB.
∴△CDG是等边三角形.
∴∠EDB+∠EDG=120°.
∵∠FDG+∠EDG=120°,
∴∠EDB=∠FDG.
∵BD=DG,∠B=∠FGD=60°,
∴△BDE≌△GDF.
∴DE=DF.
想法2:
证明:
如图③,连接AD,
∵点D是BC边的中点,
∴AD是△ABC的对称轴.
作点E关于线段AD的对称点P,点P在边AC上,
∴△ADE≌△ADP,
∴DE=DP,∠AED=∠APD.
∵∠BAC+∠EDF=180°,
∴∠AED+∠AFD=180°.
∵∠APD+∠DPF=180°,
∴∠AFD=∠DPF.
∴DP=DF.
∴DE=DF.
想法3:
证明:
如图④,连接AD,过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∵点D是BC边的中点,
∴AD平分∠BAC.
∵DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∴DM=DN.
∵∠BAC=60°,
∴∠MDE+∠EDN=120°.
∵∠FDN+∠EDN=120°,
∴∠MDE=∠FDN.
∴Rt△MDE≌Rt△NDF.∴DE=DF.
(3)当点F在AC边上时,BE+CF=
AB;
当点F在AC延长线上时,BE-CF=
AB.
4.解:
(1)相等 垂直
(2)①依题意补全图形如图.
②想法1:
证明:
连接GE.
由平移可得AE=FG,AE∥FG,
∴四边形AEGF是平行四边形.
∴AF=EG,AF∥EG,
∴∠1=∠2.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAE=∠ABC=90°.
∵AE=BF,
∴△AED≌△BFA.
∴∠3=∠4,AF=DE.
∴EG=DE.
∵∠2+∠4=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠DEG=90°,
∴DG2=DE2+EG2=2DE2.
又∵DE2=AD2+AE2,
∴DG2=2AD2+2AE2.
想法2:
证明:
延长AD,GF交于点H,
由平移可得AE=FG,AE∥FG,
∴∠H+∠DAB=180°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,AD=DC.
∴∠H=90°.
∴DG2=GH2+DH2.
∵∠HDC=∠DCF=90°,
∴四边形HDCF是矩形.
∴HF=DC.
∴HF=AD.
∵HG=FG+HF,
∴HG=AE+HF=AE+AD.
易证BF=AH,又BF=AE,
∴HD=AE-AD.
∴DG2=(AE+AD)2+(AE-AD)2=2AD2+2AE2.
类型2 证明角与角之间的数量关系
5.解:
在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D.
∴∠ABD=∠CBD,AD=CD.
(1)证明:
①∵∠ABC=90°,
∴∠ACB=45°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ECB=∠ACE=22.5°.
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.
∴BE=BF.
∴△BEF是等腰三角形.
②延长AB至M,使得BM=AB,连接CM.
∴BD∥CM,BD=
CM,
∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°,∠BFE=∠MCE.
由①可得,∠BEF=∠BFE,BE=BF.
∴∠BFE=∠MCE=∠BEF.
∴EM=MC,∵BC=AB=BM,
∴BD=
(BC+BF).
(2)补图如下(实线部分).∠ACE=
∠ABC.
a.延长AB至P,使AB=BP,连接PC,与
(1)②同理可证BD∥PC,BD=
PC,BP=BC;
b.由BD=
(BC+BE)可知△PEC和△BEF均是等腰三角形;
c.由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°,∠FCD+∠DFC=90°,
可知∠ACE=
∠ABC.
6.解:
(1)∵AB=AC,AD为BC边上的高,∠BAD=20°,∴∠BAC=2∠BAD=40°.
∵∠AFC=90°,E为AC中点,
∴EF=EA=
AC.
∴∠AFE=∠BAC=40°.
(2)①补图如下:
画出一种即可.
②证明:
想法1:
连接DE.
∵AB=AC,AD为BC边上的高,
∴D为BC中点.
∵E为AC中点,∴ED∥AB,
∴∠1=∠APE.
∵∠ADC=90°,E为AC中点,
∴AE=DE=CE=
AC.
同理可证AE=NE=CE=
AC.
∴AE=NE=CE=DE.
∴A,N,D,C在以点E为圆心,AC为直径的圆上.
∴∠1=2∠MAD.
∴∠APE=2∠MAD.
想法2:
设∠MAD=α,∠DAC=β,
∵CN⊥AM,
∴∠ANC=90°.
∵E为AC中点,
∴AE=NE=
AC.
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.
∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAC=2∠DAC=2β.
∴∠APE=∠PEC-∠BAC=2α.
∴∠APE=2∠MAD.
想法3:
在NE上取点Q,使∠NAQ=2∠MAD,连接AQ,
∴∠1=∠2.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD.
∴∠BAD-∠1=∠CAD-∠2,
即∠3=∠4.
∴∠3+∠NAQ=∠4+∠NAQ,
即∠PAQ=∠EAN.
∵CN⊥AM,∴∠ANC=90°.
∵E为AC中点,
∴AE=NE=
AC.
∴∠ANE=∠EAN.
∴∠PAQ=∠ANE.
∵∠AQP=∠AQP,
∴△PAQ∽△ANQ.
∴∠APE=∠NAQ=2∠MAD.
7.解:
(1)①补全图形如图:
②证明:
∵∠B=90°,
∴∠BAD+∠BDA=90°,
∵∠ADE=90°,点D在线段BC上,
∴∠BDA+∠EDC=90°,
∴∠BAD=∠EDC.
③想法1:
在AB上取点F,使得BF=BD,连接DF,∵BF=BD,∠B=90°,
∴∠BFD=45°,
∴∠AFD=135°,
∵BA=BC,∴AF=CD,
在△ADF和△DEC中,
∴△ADF≌△DEC,
∴∠DCE=∠AFD=135°.
想法2:
以D为圆心,DC为半径作弧交AC于点F,连接DF,
∴DC=DF,∠DFC=∠DCF,
∵AB=BC,∠B=90°,
∴∠ACB=45°,∠DFC=45°,
∴∠FDC=90°,∠AFD=135°,
∵∠ADE=∠FDC=90°,
∴∠ADF=∠EDC,
又∵AD=DE,DF=DC,
∴△ADF≌△EDC,
∴∠DCE=∠AFD=135°.
想法3:
过点E作EF⊥BC交BC延长线于点F,
∴∠EFD=90°,
∵∠B=90°,
∴∠EFD=∠B,
∵∠BAD=∠CDE,AD=DE,
∴△ABD≌△DFE,
∴AB=DF,BD=EF,
∵AB=BC,
∴BC=DF,BC-DC=DF-DC,即BD=CF,
∴EF=CF,
∵∠EFC=90°,
∴∠ECF=45°,
∴∠DCE=135°.
(2)∠DCE=45°.
8.解:
(1)依题意补全图形,如图①所示:
(2)证明:
如图②,
过点A作AD⊥AB于点A,并且使AD=CN.连接DM,DC.
∵AM=BC,∠DAM=∠MBC=90°,CN=BM=AD,∴△DAM≌△MBC,
∴DM=CM,∠AMD=∠BCM.
∵∠DAM=90°,
∴∠AMD+∠BMC=90°,
∴∠DMC=90°.
∴∠MCD=45°.
∵AD∥CN,AD=CN,
∴四边形ADCN是平行四边形.
∴AN∥DC.
∵∠MCD=45°.∴∠APM=45°.
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