平面向量章节46个考点附例题变式精编精讲-例题(140个变式题)解析.docx
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专题一平面向量的实际背景及基本概念
知识点1向量的概念
1.向量:
既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量:
只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、质量等),称为数量.
注:
(1)本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
(2)看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素.
(3)向量与数量的区别:
数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.
知识点2向量的表示法
1.有向线段:
具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:
起点、方向、长度.
2.向量的表示方法:
(1)字母表示法:
如等.
(2)几何表示法:
以A为始点,B为终点作有向线段(注意始点一定要写在终点的前面).如果用一条有向线段表示向量,通常我们就说向量.
注:
(1)用字母表示向量便于向量运算;
(2)用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示,不是说向量就是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与它的始点的位置无关,即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
知识点3向量的有关概念
1.向量的模:
向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注:
(1)向量的模.
(2)向量不能比较大小,但是实数,可以比较大小.
2.零向量:
长度为零的向量叫零向量.记作,它的方向是任意的.
3.单位向量:
长度等于1个单位的向量.
注:
(1)在画单位向量时,长度1可以根据需要任意设定;
(2)将一个向量除以它模,得到向量就是一个单位向量,并且它的方向与该向量相同.
4.相等向量:
长度相等且方向相同的向量.
注:
在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.
知识点3向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称平行向量).规定:
与任一向量共线.
注:
1.零向量的方向是任意的,注意0与0的含义与书写区别.
2.平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3.共线向量与相等向量的关系:
相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.
考点1向量的基本概念
例题1给出如下命题:
①向量的长度与向量的长度相等;
②向量与平行,则与的方向相同或相反;
③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;
④两个公共终点的向量,一定是共线向量;
⑤向量与向量是共线向量,则点,,,必在同一条直线上.
其中正确的命题个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据向量的基本概念,对每一个命题进行分析与判断,找出正确的命题即可.
【解析】对于①,向量与向量,长度相等,方向相反,①正确;
对于②,向量与平行时,或为零向量时,不满足条件,②错误;
对于③,两个有共同起点且相等的向量,其终点也相同,是正确的;
对于④,两个有公共终点的向量,不一定是共线向量,④错误;
对于⑤,向量与是共线向量,点,,,不一定在同一条直线上,⑤错误.
综上,正确的命题是①③.选.
【小结】本题考查向量相等、向量平行与向量共线的有关基本概念的判断问题,是综合题目.
变式1下列说法不正确的是
①若,则;②两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;③平面直角坐标系中的轴和轴都是向量;④若,则,,,四点是平行四边形的四个顶点;⑤在中,一定有.
A.①④ B.②④⑤ C.②③⑤ D.①②③④⑤
【分析】根据向量的定义和几何意义逐项判断对错.
【解析】①不能保证,的方向相同,故①错误;
②向量与位置无关,故②错误;
③轴和轴是直线,没有长度,故③错误;
④若在同一条直线上,则,,,不能构成平行四边形,故④错误;
⑤在中,方向不同,故,故⑤错误.
选.
【小结】本题考查了平面向量的定义和几何意义,属于基础题.
变式2下列关于向量的结论:
(1)若,则或;
(2)向量与平行,则与的方向相同或相反;
(3)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;
(4)若向量与同向,且,则.
其中正确的序号为
A.
(1)
(2) B.
(2)(3) C.(4) D.(3)
【分析】根据向量的定义,平行向量和相等向量的定义判断即可.
【解析】根据向量的定义可判断
(1)(4)错误,向量都是零向量时,由向量平行得不出方向相同或相反,从而判断
(2)错误,根据相等向量的定义可判断(3)正确.
选.
【小结】考查向量的定义,平行向量和相等向量的定义.
变式3下列命题中,正确的个数是
①单位向量都相等;②模相等两个平行向量是相等向量;③若,满足且与同向,则;
④若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;⑤若,,则.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【分析】根据平面向量的基本概念,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【解析】对于①,单位向量的大小相等相等,但方向不一定相同,故①错误;
对于②,模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故②错误;
对于③,向量是有方向的量,不能比较大小,故③错误;
对于④,向量是可以平移的矢量,当两个向量相等时,
它们的起点和终点不一定相同,故④错误;
对于⑤,时,,,则与不一定平行.
综上,以上正确的命题个数是0.选.
【小结】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题,是基础题目.
考点2向量的表示与向量的模
例题2某人从点出发向西走了,到达点,然后改变方向按西偏北走了到达点,最后又向东走了10米到达点.
(1)作出向量,,(用长的线段代表长);
(2)求.
【分析】本题应用具体方位用有向线段表示向量;并且借助相反向量模相等得到
【解析】
(1)如图,
(2)因为,故四边形为平行四边形,所以
【小结】本题考查向量的平行四边形法则以及相反向量模相等.
变式4某人从点出发向东走了5米到达点,然后改变方向按东北方向走了米到达点,到达点后又改变方向向西走了10米到达点.
(1)作出向量,,.
(2)求的模.
【分析】
(1)根据题目中的方向作图;
(2)利用平面几何知识求出的长即可.
【解析】
(1)作出向量如图所示:
(2),是等腰直角三角形,,
.
【小结】本题考查了平面向量的作法和模长计算,属于基础题.
变式5海面上有4只搜救船,甲船位于点,乙船在甲船的正西方200海里的处,丙船在乙船的北偏西相距乙船100海里的处,丁船位于丙船的正东200海里的处.
(1)作出向量、、;
(2)求.
【分析】根据方位角和距离作图,得出结论.
【解析】
(1)作出向量如图所示:
(2)由题意可知,四边形是平行四边形,,
即的模长为100,方向为北偏西.
【小结】本题考查了平面向量的线性运算,属于基础题.
变式6如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成,方格纸中有两个定点、.点为小正方形的顶点,且.
(1)画出所有的向量;
(2)求的最大值与最小值.
【分析】
(1).点落在以为圆心,以为半径的圆上,又点为小正方形的顶点根据该条件不难找出满足条件的点.
(2)由
(1)所得的图象,观察分析,不难求出的最大值与最小值.
【解析】
(1)画出所有的向量如图所示;
(2)由
(1)所画的图知,
①当点在于点或时,取得最小值;
②当点在于点或时,取得最大值.
的最大值为,最小值为.
【小结】求常用的方法有:
①若已知,则;②若已知表示的有向线段的两端点、坐标,则③构造关于的方程,解方程求.向量,同向时,有最大值;向量,反向时,有最小值.
考点3相等向量与共线向量
例题3如图所示.是正六边形的中心,且,,.
(1)与的模相等的向量有多少个?
(2)与的长度相等.方向相反的向量有哪些?
(3)与共线的向量有哪些?
(4)请一一列出与相等的向量.
【分析】由正六边形的性质和向量的基本概念逐个列举可得.
【解析】
(1)由正六边形的性质可知图中所有的向量都和的模相等,
与的模相等的向量有23个;
(2)与的长度相等但方向相反的向量有:
,,,共4个;
(3)与共线向量:
,,,,,,,,,共10个;
(4)与相等向量:
,,共3个;
与相等的向量有:
,,共3个;
与相等的向量有:
,,共3个.
【小结】本题考查向量的基本概念,数形结合并列举是解决问题的关键,属基础题.
变式7如图,,,分别是的边,,的中点,在以,,,,,为起点和终点的向量中,
(1)找出与向量相等的向量;
(2)找出与向量共线的向量.
【分析】
(1)由是的中位线,且为的中点,结合向量相等的概念得到与向量相等的向量;
(2)由是的中位线,且为的中点,结合向量相等的概念得到与向量共线的向量.
【解析】
(1),分别为,的中点,
,且,
又是的中点,
,
与向量相等的向量是;
(2),分别为,的中点,
,且,
又是的中点,
,
与向量相等的向量是.
【小结】本题考查平行向量与共线向量的概念,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征,是基础题.
变式8如图,,,,分别是四边形的各边中点,分别指出图中:
(1)与向量相等的向量;
(2)与向量平行的向量;
(3)与向量模相等的向量;
(4)与向量模相等、方向相反的向量.
【分析】,,,分别是四边形的各边中点,故四边形是平行四边形,且,.
【解析】,,,分别是四边形的各边中点,
,.,,
四边形是平行四边形,
(1)与向量相等的向量是;
(2)与向量平行的向量是,,,,;
(3)与向量模相等的向量,,;
(4)与向量模相等、方向相反的向量是,.
【小结】本题考查了平面向量的几何意义,确定四边形是平行四边形是关键.
变式9如图,在梯形中,对角线和交于点,、分别是和的中点,分别写出
(1)图中与、共线的向量;
(2)与相等的向量.
【分析】
(1)利用图形根据共线向量的定义得答案;
(2)由已知及相等向量的定义得答案;
【解析】
(1)由图可知,与共线的向量有:
、;与共线的向量有:
;
(2)由为的中点可知,,即与相等的向量为;
【小结】本题考查向量共线定理、相等向量的概念等知识,属基础题.
考点4利用向量相等或共线进行证明
例题4如图,在四边形中,,、分是、上的点,且,求证:
.
【分析】利用向量相等与向量的加法即可得出.
【解析】证明:
,、分是、上的点,且,
,又,,.
【小结】本题考查了向量相等与向量的加法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
变式10在平行四边形中,,分别为边、的中点,如图.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:
.
【分析】
(1)根据条件,结合图形即可写出所有与向量共线的向量;
(2)易知四边形是平行四边形,从而得到且,从而得出.
【解析】
(1)据题意,与向量共线的向量为:
,;
(2)证明:
是平行四边形,且,分别为边,的中点,
,且,四边形是平行四边形,,且,.
【小结】本题考查了共线向量的定义,相等向量的定义,考查了推理能力,属于基础题.
变式11如图,在中,已知向量,,求证:
.
【分析】根据相等向量的概念及已知条件,便可得到为三角形的中位线,从而便得到.
【解析】证明:
根据知是边的中点;
根据便知为的中点,为中点;
为的中位线;,且;.
【小结】考查向量相等的概念,三角形中位线的性质.
变式12设在平面上给定了一个四边形,点、、、分别是边、、、的中点,求证:
.
【分析】画出图形,结合图形,利用中位线定理与向量相等的定义,即可证出.
【解析】如图所示,平面四边形中,点、、、分别是边、、、的中点,连接,则,且;,且
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