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数学填空
数学填空题如何解
高考数学填空题失分原因探析
填空题是每年高考失分率较高的题型。
其原因不仅仅是简单的运算准确性的问题。
因此,探索填空题失分的原因、寻求对策,对改进我们的复习就显得十分重要。
1.填空题的解题策略
1.1填空题的主要类型
填空题的设计主要来源于常规解答题,从填写内容来看,主要有三种类型:
定量型——填写数值或数量关系;例如:
2.多项式
的展开式中
的系数为。
3.设a,b∈
,且2a+b=1,则S=
的最小值为-------------
4.经过点
,且被圆
截得的弦长为
的直线的方程为。
定性型——即填写具有某种性质的数学对象,或数学对象的某种性质;
例如:
6.老师给出一个函数
,四个学生甲,乙,丙,丁各指出这个函数的一个性质:
甲:
对于
,都有
;乙:
在
上函数递减;丙:
在
上函数递增;丁:
不是函数的最小值,如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数。
混合型——以上两种兼而有之。
例如:
7.已知下列曲线:
(A)(B)(C)(D)
以及编号为①②③④的四个方程:
①
;②
;③
;④
,
请按曲线(A)(B)(C)(D)的顺序,依次写出与之对应的曲线方程的编号:
。
8.已知函数
,且正数C为常数.对于任意的
,存在一个
,使
,则称函数
在D上的均值为C.试依据上述定义,写出一个均值为9的函数的例子:
________________.
1.2解填空题的基本要求
解填空题的基本要求是“正确、合理、迅速”。
“合理是前提”,“迅速是基础”,“正确是根本”。
迅速的基础是:
概念清楚,推理明白,运算熟练,合理跳步,方法灵活。
因此,要在“准”、“巧”、“快”上下工夫。
1.3解填空题的基本策略
填空题多为定量型,而且常常用来考查基本概念、基本运算,大多是一些能从课本上找到原型或背景的题目。
因此,解填空题的基本策略是“化归”与“构造”。
化归需要观察、联想和转化等能力;
例如:
9.已知
,
,则
的值是。
构造则需要观察、联想和直觉能力。
由此派生的基本解题方法是“直接法”和“构造法”。
例如:
14.定义一种运算“
”,对于正整数
满足以下运算性质:
①
;②
,则
用含
的代数式表示为。
此外,解题过程中还要运用到“整体思维”的策略、“数形结合”的策略、“合情推理”的策略、“目标意识”的策略、“特殊赋值”的策略等解题策略。
1.4解填空题的能力要求
解答填空题所需要的最根本的能力是运算能力。
由于运算过程是一个十分复杂的过程。
需要三基熟练;需要掌握常用的解题策略;需要建构知识组块来提高思维起点;需要较强的数学知识建构能力;需要较快的数学知识解构能力;还需要较好的智力品质。
2.数学填空题的失分原因
数学填空题是每次考试中失分率较高的题型。
影响填空题失分的原因主要有下列几个方面。
2.1特点所致
特点之一:
填空题无须解答过程,不设中间分,解答过程的每一步都必须百分之百的准确,一步失误,全题零分。
因此,填空题比选择题和解答题失分更容易。
特点之二:
填空题设问灵活。
近年来,高考数学填空题出现了一些创新题型,如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等。
这些题型的出现,使填空题在考查学生思维能力和分析问题、解决问题的能力等方面提出了更高的要求,增强了数学填空题的综合性,增加了解题难度。
2.2尴尬的位置
尴尬的物理位置——填空题位于选择题的后面、解答题的前面,好不容易做完了12道选择题以后,心理牵挂的是后面各具特色、令人担忧的6道解答题。
因此,速战速决无疑是首选策略。
尴尬的心理位置——填空题的结果一般都是一些特殊值。
因此,学生在解答填空题时往往是“会做求快,不会就蒙”。
更有甚者,我们有些数学教师在复习中还把“猜答案”作为一种解题策略进行提倡。
长此以往,形成了学生这种“会做求快,不会就蒙”的心理,往往是错多对少,影响了得分。
2.3三基不熟
由于填空题多为定量型的,因而计算的技巧就特别重要,尤其象“整体代入”、“设而不求”、“活用定义”、“巧用公式”等技巧,如果不熟练,就会导致小题繁做、小题难做、小题大做、小题错做,甚至小题不会做而造成失分。
2.4能力欠缺
近年出现的创新型填空题难度增大了,对能力的要求提高了。
如化归能力,观察能力,联想能力,运算能力,理解能力,抽象概括能力,思维能力,直觉能力,建构能力,解构能力等。
如果能力欠缺,就会造成失分。
2.5积累不够
由于填空题大多是从课本的例、习题改编而来的,因此,题目中往往蕴涵着一些似曾相识的内容。
这就需要从记忆系统中检索出有关信息,通过认识熟悉的元素,搜索有关的信息,使要解决的问题与已有知识的外层结构建立联系。
这样才能将复杂问题转化为简单问题,将未解决的问题转化为已掌握其解法的问题。
所有这些都必须借助于已有的知识基础与解题经验。
因此,基础知识与解题经验扎实与否,是影响填空题失分的重要原因。
2.6解构的速度与能力
所谓解构就是对建构起来的认知结构进行提取与解读的过程。
解构与建构是既对立又统一的一对概念。
一个完整的学习过程包括建构与解构两个过程。
首先,建构与解构是两个不同的过程。
即先通过领会(感知、理解)、巩固、应用进行建构,再通过激活、识别、联想、提取、重组进行解构。
其次,建构与解构又是交叉的,在建构中解构,在解构中建构,两者互相补充,互相完善。
解构的关键是迅速,准确。
3.复习对策
数学学习中防止填空题失分的主要对策有:
3.1坚持过程化原则
就是教学中要揭示解题的“过程”,把“过程”再现出来。
凡“填空题”一律要求必须写出完整的过程,即把填空题当作解答题来解。
3.2提倡交流
在课堂上,如果练习题或习题是填空题,那么要求我们互相交流思维过程,把无声思维变成有声思维,让我们在交流的过程中提高能力。
3.3追求解法的较高境界
数学填空题的解法有两种境界:
一种是小题大做,另一种是小题小做。
小题大做就是拿到题目就直接求解,对思路不筛选,仅满足于见到就会。
小题大做的特征有小题繁做,小题难做和小题慢做。
小题小做是不满足于见到就会,而是对思路进行筛选,追求会中求简、会中求巧、会中求美。
小题小做的特征有小题简做、小题易做和小题巧做。
在填空题的教学中要引导学生不懈地追求解法的较高境界,求会,求简,求巧,求美。
3.4强化对运算中的智力品质的培养
运算中的智力品质主要体现在三个方面:
运算的敏捷性、灵活性和独创性。
运算敏捷性是指智力活动的速度与准确率。
提高运算敏捷性的途径有:
训练中坚持严格的速度要求;优化知识结构;建构知识组块;训练解构能力。
运算灵活性是指智力活动的灵活程度。
灵活性是创造力的基础,也是运算的智力基础。
在数学教学中要经常要求学生做到:
起点灵活,从不同角度,用各种方法来推算各类的数学习题;运算过程灵活,对各类定义、公式、公理、定理、法则等运用自如;运算中能举一反三,触类旁通。
具体的途径有;一是“多端”,即发散。
因为一个问题可以有多个起点,产生多种联想。
为此,必须以丰富的知识为依据,储备大量的背景材料,从各个方面去把握问题的脉络,来开拓运算途径。
二是“伸缩”。
即对问题的条件能根据客观情况的变化而变化,能根据所发现的新事实及时调整自己的方案。
这样,运算的天地就十分广阔了。
三是“精细”。
就是要全面地理解问题,不能忽视各个细节。
四是“新颖”。
就是新颖独特、思路各异。
运算独创性是智力活动水平的重要指标。
学习贵在创新,尤其是数学学习。
提高运算能力的关键是独立思考,敢于创新。
浅谈数学填空题的解题方法
王钢大
填空题题小,跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地综合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力。
从填写内容上,主要有两类,一类是定量填写,另一类是定性填写。
要想又快又准地答好填空题,除直接推理外,还要讲究一些解题策略,下面谈谈几种解题方法,请大家教正。
一.定义法
有些问题直接去解很难奏效,而利用定义去解可以大大地化繁为简,速达目的。
例1.
的值是_________________。
解:
从组合数定义有:
又
代入再求,得出466。
例2.到椭圆
右焦点的距离与到定直线x=6距离相等的动点的轨迹方程是_______________。
解:
据抛物线定义,结合图1知:
图1
轨迹是以(5,0)为顶点,焦参数P=2且开口方向向左的抛物线,故其方程为:
二.直接计算法
从题设条件出发,选用有关定理、公式,直接计算求解,这是解填空题最常用的方法。
例3.设函数
的定义域是[n,n+1](
),那么在f(x)的值域中共有____________个整数。
解:
直接计算
,可得
个。
例4.等比数列
,公比
,则:
__________。
解:
原式
三.数形结合法
有些问题可以借助于图示分析、判断、作出定形、定量、定性的结论,这就是图解法。
例5.函数
的值域________________。
图2
解:
原函数变为
,可视上式为x轴上的点P(x,0)到两定点A(-2,-1)和B(2,2)的距离之和,如图2,则
。
故值域为
。
四.特例法
有的填空题答案是一个“定值”时,实质上有一种暗示作用,可以分析特殊数值,特殊位置,特殊数列,特殊图形等来确定这个“定值”,这种方法有时能起到难以置信的效果。
例6.面积为S的菱形绕其一边所在直线旋转一周所得旋转体的表面积为___________。
解:
以正方形代替菱形,设边长为a,则表面
例7.已知
是公差不为零的等差数形,若Sn是
的前n项和,那么
_________。
解:
取符合条件的特殊数列
,
,则
故
五.观察法
运用特殊值,加上类比、观察常常可以提高解题速度。
例8.设
,且
,直线
通过定点__________。
解:
联合观察:
发现
时
,即满足条件
,同时,相交直线的交点是唯一的。
故定点是(1,1)。
六.淘汰法
当全部情况为有限种时,也可采用淘汰法。
例9.已知
,则
与
同时成立的充要条件是____________。
解:
按实数b的正、负分类讨论。
当b>0时
,而等式不可能同时成立;
当b=0时,
无意义;
当b<0时,若a<0,则两不等式不可能同时成立,以上三种情况均被淘汰,故只能为a>0,b<0,容易验证,这确是所要求的充要条件。
七.分析推理法
通过仔细审题,对问题进行逻辑分析,然后推理出符合条件的答案。
例10.已知不等式
的解集是A,
的解集是B,则不等式组
的解集是____________。
解:
设g(x)的定义域为S,由于
的解集是B,所以
的解集是
。
故所求不等式组的解集是
。
总之,我们在平时训练时,要善于思考,分析题意,灵活运用有关数学知识,在有多种方案可以解决问题的时候,努力选择更合理的解题方案,要不断提高解题过程中合理性、简捷性的意识,以达到巧解妙算的效果,力求做到费时少,准确率高。
在解答填空题时,由于不反映过程,只要求结果,所以对正确性的要求比解答题更高、更严格,《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。
为此在解填空题时要做到:
快——运算要快,力戒小题大作;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意。
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