南京大学和数学分析考研考试及解答.docx
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南京大学和数学分析考研考试及解答
南京大学2002年数学分析考研试题
一求下列极限。
(1)
;
(2)设
,
,
(i)
在
上的最大值;
(ii)设
,
,
,
,求
。
二设
,试证明
在
内有无穷多个零点。
三设
在
的某个邻域内连续,且
,
,
(1)求
;
(2)求
;
(3)证明
在点
处取得最小值。
四设
在
的某个邻域内具有二阶连续导数,且
,试证明:
(1)
;
(2)级数
绝对收敛。
五计算下列积分
(1)求
;
(2)
,其中
是圆柱面
,三个坐标平面及旋转抛物面
所围立体的第一象限部分的外侧曲面。
六设
,
在
内可导,
不恒等于常数,且
,
试证明:
在
内至少存在一点
,使
。
七在变力
的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
第一象限的点
问
取何值时,
所做的功
最大,并求
的最大值。
八
(1)证明:
,
;
(2)求
。
南京大学2002年数学分析考研试题解答
一
(1)解
.
(2)解(i)
当
时,
,
在
上单增,
当
时,
,
在
上单减,
所以
在
处达到最大值,
;
(ii)当
时,
,
,
,
,
,
,
,
单调递增有上界,设
,则有
,
,
,
;
当
时,
,
;
当
时,
,
,
,
二证明因为
,
,
,
显然
在
上连续,由连续函数的介值定理知,存在
使得
,
即得
在
上有无穷多个零点。
三解
(1)
,
因为
,所以
,
,
,
于是
;
(3)由
知,存在
,当
时,
,
,
即知
中在
处取得极小值。
四、证明
(1)由
,知
,
由
知
.
(2)
,
,已知
收敛,其中
,
于是
收敛,结论得证。
五
(1)解
所以
.
(2)解曲面
,
事物交线为
,
,
,
,
其中
是区域
的边界时,利用高斯公式,
.
当
是
的边界时,利用高斯公式
.
六证明证法一用反证法,假若结论不成立,则对任意
,都有
,
在
上单调递减,由于
不恒等于常数,所以
不恒等于零,存在一点
,使得
,
,存在
,使得
,
,
因为
,
,
所以
,这与
矛盾,从而假设不成立,原结论得证。
证法2由于
在
上连续,
在
上取到最大值
和最小值
,且
,由于
,所以
的最大值
或最小值
必在
内达到。
若
在
处达到最大值
,存在
使得
,
从而有
;
若
在
处达到最小值
,存在
使得
,
从而有
;
结论得证。
七解设
,则有
,所以
是有势场,
,
由于
时,
,
,
等号成立当且仅当
,
所以
时,
达到最大值,且
的最大值为
。
八证明
(1)由于当
时,有
,
对任意
,
,取
,
,
所以有
;
(2)取
,
有
,
收敛,
对任意
,
在
上一致收敛于
,
故由函数列积分的黎曼控制收敛定理,
。
南京大学2003年数学分析考研试题
一求下列极限
(1)设
,求
;
(2)设
,
,
,求
。
(3)
。
二过
点作抛物线
的切线,求
(1)切线方程;
(2)由抛物线、切线及
轴所围成的平面图形面积;
(3)该平面图形分别绕
轴和
轴旋转一周的体积。
三对任一
,求
在
中的最大值,
并证明该最大值对任一
,均小于
。
四设
在
上有连续导数,且
,
,(
为常数),试证:
在
内仅有一个零点。
五计算下列积分
(1)设
,
,求
和
;
(2)
,其中
为上半球面
,
的外侧。
六设
,
在
上黎曼可积,
(1)求
,并讨论
在
上的一致收敛性;
(2)求
,(要说明理由)
七设
的收敛半径为
,令
,试证明:
在
上一致收敛于
,其中
为任一有穷闭区间。
南京大学2003年数学分析考研试题解答
一
(1)解设
,则有
,
由此知,
;
(2)解由归纳法,易知
,
,
,
由此知,
单调递增有界,设
,
,
则有
,
,故
。
(3)
,
,
故
。
3解
(1)
,设切点为
,
,
设切点
的切线方程为
。
将
,
代入,
,
,
,
,
所求切线方程为
,即
。
(2)解
。
(3)
,
。
三解
,
当
时,
,
当
时,
,
于是
在
处达到最大值,
。
容易证明
在
上单调递减,
,
,
故有
.
四证明对任意
,
当
充分大时,有
,又
,由连续函数的介值定理,存在
,
,
由
,
在
上严格单调递增,所以
在
内仅有一个零点。
五
(1)解
,
显然
,
,
,
.
(2)解
,
,
.
六、解
,
由于极限函数在
上不连续,
所以
在
上不一致收敛;
但对任何
在
上一致收敛于0;
且
,
根据控制收敛定理,
对于
在
上黎曼可积,
有
。
七、证明由条件知
在
上连续,
在任意有限区间上是一致收敛的,
对任意有限区间
,
在
上一致收敛于
,
在
上一致有界,
,
再由
在
上一致连续,
于是有
在
上一致收敛于
.
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