因式分解竞赛题含答案.docx
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因式分解竞赛题含答案
因式分解
序号
公式
记忆特征
1
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(十字相乘法)
(1)常数项两数积
(2)一次项系数两数和
(3)二次项系数为1
2
a2-b2=(a-b)(a+b)
(平差公式)
3
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
(完全平公式)
4
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2
(完全平公式扩展)
(1)三数平和
(2)两两积的2倍
5
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
a3-3a2b-3ab2+b3=(a-b)3
(完全立公式)
对照完全平公式相互加强记忆
6
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
(1)近似完全平公式
(2)缺项之完全立公式
(a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)
(a-b)[(a+b)2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b)
7
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
对照公式4相互加强记忆
8
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)n=整数
(平差公式扩展)
(1)短差长和;
(2)a指数逐项递减1;
(3)b指数逐项递增1;
(4)长式每项指数和恒等于n-1。
9
an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=偶数
(立差公式扩展)
(1)短式变加长式加减相间;
(2)a指数逐项递减1;
(3)b指数逐项递增1;
(4)每项符号b指数决定偶加奇减。
10
an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=奇数
(立和公式扩展)
对比公式9的异同
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例1分解因式:
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;
(2)x3-8y3-z3-6xyz;
解
(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)2
=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).
例2分解因式:
a3+b3+c3-3abc.
本题实际上就是用因式分解的法证明前面给出的公式(6).
分析我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性,现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).
这个
式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.
解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).
说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:
我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3-3abc
显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.
如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.
※※变式练习
1分解因式:
x15+x14+x13+…+x2+x+1.
分析这个多项式的特点是:
有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.
解因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),
所以
说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.
2.拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.
例3分解因式:
x3-9x+8.
分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.
解法1将常数项8拆成-1+9.
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8).
解法2将一次项-9x拆成-x-8x.
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8).
解法3将三次项x3拆成9x3-8x3.
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8).
解法4添加两项-x2+x2.
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8).
说明由此题可以看出,用拆项、添项的法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸法巧性最强的一种.
※※变式练习
1分解因式:
(1)x9+x6+x3-3;
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;
(4)a3b-ab3+a2+b2+1.
解
(1)将-3拆成-1-1-1.
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).
(2)将4mn拆成2mn+2mn.
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2.
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=[(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
=[(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).
(4)添加两项+ab-ab.
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1).
说明(4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.
3.换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.
例4分解因式:
(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.
解设x2+x=y,则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5).
说明本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试.
例5分解因式:
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.
分析先将两个括号的多项式分解因式,然后再重新组合.
解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.
令y=2x2+5x+2,则
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.
※※变式练习
1.分解因式:
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.
解设x2+4x+8=y,则
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).
说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.
1.双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即:
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以,原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式:
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
例1分解因式:
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;
(2)x2-y2+5x+3y+4;
(3)xy+y2+x-y-2;
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.
解
(1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1).
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4).
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.
原式=(y+1)(x+y-2).
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).
说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.
2.求根法
我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f
(1)=12-3×1+2=0;
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2
的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.
我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.
例2分解因式:
x3-4x2+6x-4.
分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:
±1,±2,±4,只有
f
(2)=23-4×22+6×2-4=0,
即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.
解法1用分组分解法,使每组都有因式(x-2).
原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2).
解法2用多项式除法,将原式除以(x-2),
所以
原式=(x-2)(x2-2x+2).
说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.
※※变式练习
1.分解因式:
9x4-3x3+7x2-3x-2.
分析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,±
为:
所以,原式有因式9x2-3x-2.
解9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x2-3x-2)(x2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.
总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.
3.待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.
在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的程(或程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的法叫作待定系数法.
例3分解因式:
x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析由于
(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),
若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,
比较两边对应项的系数,则有
解之得m=3,n=1.所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1).
说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.
※※变式练习
1.分解因式:
x4-2x3-27x2-44x+7.
分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.
解设
原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,
所以有
由bd=7,先考虑b=1,d=7有
所以
原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).
说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入程组,直到求出待定系数为止.
本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.
四、巩固练习:
1.分解因式:
(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).
分析本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式.
解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,则
原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)
=u4-6u2v+9v2
=(u2-3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2.
五、真题精解:
1)已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1,除以x-2时的余数是3,那么,它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么?
(第12届“希望杯”试题)
解:
设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n),当x=1时,原式=1,即m+n=1;当x=2时,原式=3,即2m+n=3,解此关于m、n的程组得m=2,n=-1,故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-1
2)k为值时,多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积?
(天津市竞赛试题)
解:
原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为 (x+1)(x+2),故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by],将其展开得:
x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2,与原式对比系数得:
a+b=-2,ab=k,2a+b=-5,解之得a=-3,b=1,k=-3
3)如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,求a+b的值。
(美国犹他州中学竞赛试题)
解法1:
设原式=(x+1)(x+2)(x+k),展开后得:
x3+(3+k)x2+(3k+2)x+2k,对比原式系数得a=3+k,b=3k+2,8=2k,
所以a+b=4k+5=16+5=21
解法2:
因当x=-1或x=-2时,原式=0,分别代入后得a-b+8=0,4a-2b+8=0,解得a=7,b=14,故a+b=14
真题实练:
1.下列四个从左到右的变形中,是因式分解的是()
A.(x+1)(x-1)=x2B.(a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)C.ab-a-b+1=(a-1)(b-1)D.m2-2m-3=m(m-2-3/m)
(第8届“希望杯”试题)(提示:
本题简单,因式分解的概念)
2.下列五个多项式中在有理数围可以进行因式分解的有()
①a2b2-a2-b2-1②x3-9ax2+27a2x-27a3③x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b
④3m(m-n)+6n(n-m)⑤(x-2)2+4x
A.①②③B.②③④C.③④⑤D.①②④
(第10届“希望杯”试题)(提示:
立差公式、提取公因式,但排除法最快)
3.设b≠c,且满足(
)(a-b)+
(b-c)=a-c,则
的值()
A.大于零B.等于零C.小于零D.正负号不确定
(第12届“希望杯”试题)(提示:
按(a-b)和(b-c)重新整理分组合并)
4.已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式乘积,则符合条件的整数a的个数是()
A.3个B.4个C.6个D.8个
(第7届“希望杯”试题)(提示:
对-12以十字相乘法拆分穷举)
5.y-2x+1是4xy-4x2-y2-k的一个因式,则k的值是()
A.0B.-1C.2D.4
(第14届“希望杯”试题)(提示:
完全平+平差)
6.将多项式x2-4y2-9z2-12yz因式分解结果是()
A.(x+2y-3z)(x-2y-3z)B.(x-2y-3z)(x-2y+3z)
C.(x+2y+3z)(x+2y-3z)D.(x+2y+3z)(x-2y-3z)
(第9届“希望杯”试题)(提示:
完全平+平差)
7.分解因式:
x2-4y2-9z2-12yz=。
(第9届“希望杯”试题)(提示:
完全平+平差)
8.分解因式:
x5+x-1=。
(第9届“希望杯”试题)(提示:
添项+立和)
9.x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1,则k=。
(第10届“希望杯”试题)(提示:
分组成每项都含x+1)
10.分解因式:
xy-1-x+y=。
(第10届“希望杯”试题)(提示:
分组提取公因式)
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