全国课改实验区中考数学试题评价报告.docx
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全国课改实验区中考数学试题评价报告
2005年全国课改实验区中考数学试题评价报告
之试题特色三
(三)关注对数学活动过程的考查
“课程标准”提出的评价理念之一是:
不仅关注对学生学习结果的评价,也要关注对他们数学活动过程的评价;不仅关注数学的思想方法的考查,还要关注对他们在一般性思维方法与创新思维能力的发展等方面的评价,尤其是注重对学生探索性思维能力和创新思维能力的考查;不仅要关注知识的教学,而更多地是要关注对学生的数学思维潜力的开发与提高。
2005年的数学学业考试中,通过操作题,折、剪、展开等试题形式很好地贯彻了这一理念,不少地方的试题亮丽而清新。
在具体实施方面,此类试题的形式多样,既有关注通过学生阅读材料去理解一些数学对象的试题,也有借助提供各种形式的素材去考查学生从中获取信息的试题,还有关注操作性和探索性试题,给我们很多有益的启示。
例29(海淀区)印刷一本书,为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数,可按如下方法操作:
先将一张整版的纸,对折一次为4页,再对折一次为8页,连续对折三次为16页,……;然后再排页码.如果想设计一本16页的毕业纪念册,请你按图1、图2、图3(图中的1,16表示页码)的方法折叠,在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码.
答案
8
9
16
1
5
12
13
4
评析本题从形式上看设计十分新颖,所涉及的知识有平面几何中的折叠,代数中的数字排列,以及图形与数字的对应关系等。
从问题的背景上考虑,与学生所处的年级相适应,问题的解决需要学生平时积累动手实践的经验和考试时将实践经验提升为“思想实践”、“头脑操作”的能力。
传统考题的一般形式是以考查学生掌握知识的终结结果为命题形式,在新课标的理念下学习的过程性如何考查是一新问题,本题是一种新的尝试,它实现了在动态中考试的目标,同时又实现了对过程的考查。
例30(遂宁市)将一个正方形纸板(如图一)沿虚线剪下,得到七块几何图形的纸板(其中①③⑤⑥⑦是等腰直角三角形,②是正方形)。
我们把这七块纸板叫做七巧板。
现利用七巧板拼出一个图形,其空隙部分是一箭头(如图二)。
(1)请在图二中用实线画出拼图的痕迹(如实线DP)。
(2)如果图一中大正方形纸板的边长为10,计算图二中“箭头”的面积(即封闭平面图形ABCDEFG的面积)。
评析本题从实验操作、变换探索中考查学生的数学能力,考查学生分析问题、解决问题的能力。
这在一定程度上表明新课程理念下的评价已经从单一的试题形式转向多元、多种形式,着意于对学生学习数学的过程的评价。
例31(山西省)如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连结BE、DG。
(1)
观察猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)图中是否存在通过旋转能够互相生命的两个三角形?
若存在,请说出旋转过程;若不存在,请说明理由。
答案
(1)BE=DC
在△BCE和△DCG中,∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形,
∴BC=DC,EC=GC,∴∠BCE=∠DCG=90o,∴△BCE≌△DCG,∴BE=DG
(2)由
(1)的证明过程可知,存在,是Rt△BCE≌Rt△DCG,将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90度,可与Rt△DCG完全重合。
(或者将Rt△DCG绕点C顺时针旋转90度,可与Rt△BCE完全重合)
评析本题考查学生运用所学知识多角度、创造性地思考问题和解决问题的能力,考出学生根据图形信息,做出合理的推断或大胆的猜测,并通过演绎推理对猜测做出检验,这种既需要探究猜想,又需要逻辑论证,多方面地考查了学生的数学能力,体现试题的开放性。
例32(大连市)如图9-1、9-2、9-3、…、9-n,M,N分别是⊙O的内接正△ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON.
⑴求图9-1中∠MON的度数;
⑵图9-2中∠MON的度数是_________,图9-3中∠MON的度数是_________;
⑶试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
简解⑴图9-1中,∠MON=120°,只要连结OB,OC,通过S.A.S证明△OBM≌△OCN;
⑵图9-2中∠MON=90°,图9-3中∠MON=72°;其方法与第⑴小题相类似.
⑶对于正n边形,∠MON=
.
评析本题涉及圆内接正多边形的求角计算,主要考查学生对于基本概念的理解与应用水平,本题围绕一个数学核心内容设计了思维含量由浅入深的4个问题串,随着问题的不断拓展延伸,学生对问题认识的深度也在不断地递进,学生研究问题的方法也在逐步地熟悉与提升.最后在一般的凸n边形(n为大于3的自然数)求角问题的探究中,要求学生能在反思解决前题方法的基础上抓住导致结论成立的关键条件,从而探索更为一般规律。
反观本题,即使去掉所有图形中的⊙O,也丝毫不会影响本题结论的正确性。
当然,尽管从纯数学的角度看⊙O略显多余,但从命制适用于中考的数学试题的角度看,⊙O起到了调整解题过程所涉及的知识点和降低不必要的难度的作用,可谓一举两得.
2005年全国课改实验区中考数学试题评价报告
之试题特色三
例33(江西省)某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时,欲使长方形的宽为20厘米,时钟的中心在长方形对角线的交点上,数字2在长方形的顶点上,数字3、6、9、12标在所在边的中点上,如图所示。
(1)当时针指向数字2时,时针与分针的夹角是多少度?
(2)请你在长方框上点出数字1的位置,并说明确定该位置的方法;
(3)请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置,并写出相应的数字(说明:
要画出必要的、反映解题思路的辅助线).
(4)问长方形的长应为多少?
答案(略)
评析本题将考生置于“设计钟面”这样一个解决问题的情境中,试题在逐步展开的过程中,将钟面设计所蕴含的数学建模的过程展现在学生面前,对学生来说,这样的问题既熟悉又陌生,这样的解题过程,既能入手又富有挑战,能激发学生解决问题的欲望。
本题需要的数学知识并不多,但对学生的探究能力却有较高的要求,是一道能较好考查学生数学思维能力和探究能力的好题。
动手操作是数学活动过程中必不可少的重要部分。
从实验区中考数学试卷中可以欣喜地看到,各地在命制以考查学生数学活动过程为立意的试题时,都注意到了加强动手操作,关注数学与生活的联系,这对促进学生应用意识、数学态度与数学情感的发展与给教学以正确的导向都是十分有益的。
例34(宁夏省)在下面网格中,每个小正方形的边长均为1,请你画出以格点为顶点,面积为10个平方单位的等腰三角形,在给出的网格中画出两个符合条件且不全等的三角形(所画的两个三角形若全等视为1个).
答案如图所示
评析本题考查学生对知识的整合能力和探究品质,没有繁难的计算,具有一定的开放性,解决方案的灵活性比较强,需要学生在理解数学基本概念和掌握技能的基础上,运用数学技能解决问题。
这是对新课程课堂教学中教师的教学方式的评估,对教师转变教学观念,创建以学生学习为中心,学生发展为本的课堂,具有功能性的导向作用。
例35(新疆省)如图,在12×6的正方形网格中,每个小正方形边长均为1个单位;将△ABC向可平移动个单位,得到△A1B1C1,再把△A1B1C1绕A1点逆时针旋转90°得到△A1B2C2。
请你画出△A1B1C1、△A1B2C2,并指出△A1B2C2中的长度为无理数的边是
答案A1B2和A1C2
评析动手操作既是数学活动的一种形式,又是学生乐于进行的一项活动,还是考查学生对概念理解与操作技能掌握情况的一种方式。
本题以正方形网格为背景,设置了基本作图、平移和旋转的有关问题,对于考查平移、旋转、对应与基本作图都发挥了较好的作用。
例36(宁德市)用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案。
如图1,在棋盘上建立平面直角坐标系,以直线y=x为对称轴,我们可以摆出一个轴对称图案(其中A与A'是对称点),你看它象不象一只美丽的鱼。
(1)请你在图2中,也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y=x为对称轴的轴对称图案,并在所作的图形中找出两组对称点,分别标为B-B',C-C'(注意棋子要摆在格点上)。
(2)在给定的平面直角坐标系中,你标出的B-B'、C、C'的坐标分别是:
B(___),B'(___),C(___),C'(___);根据以上对称点坐标的规律,写出点P(a,b)关于对称轴y=x的对称点P'的坐标是(___)。
答案图略;点P(a,b)关于直线y=x的对称点P'的坐标是(b,a)
评析本题以平面直角坐标系为背景,设置了较简单、易操作的基本作图,具有一定的开放性,考查了学生学生发散思维的能力与灵活运用知识的能力,以及借助数学活动的过程归纳一般规律的能力。
例37(青岛市)等腰三角形是我们熟悉的图形之一,下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法:
在△
中,
,把底边
分成
等份,连接顶点
各等分点的线段,即可把这个三角形的面积
等分.
问题的提出:
任意给定一个正
边形,你能把它的面积
等分吗?
探究与发现:
为了解决这个问题,我们先从简单问题入手:
怎样从正三角形的中心(正多边形的各对称轴的交点,又称为正多边形的中心)引线段,才能将这个正三角形的面积
等分?
如果要把正三角形的面积四等分,我们可以先连接正三角形的中心和各顶点(如图①,这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形);再把所得的每个等腰三角形的底边四等分,连接中心和各边等分点(如图②,这些线段把这个正三角形分成了12个面积相等的小三角形);最后,依次把相邻的三个小三角形拼合在一起(如图③).这样就能把正三角形的面积四等分.
①②③
实验与验证:
仿照上述方法,利用刻度尺,在图④中画出一种将正三角形的面积五等分的示意简图.
猜想与证明:
怎样从正三角形的中心引线段,才能将这个正三角形的面积
等分?
叙述你的分法并说明理由.
拓展与延伸:
怎样从正方形的中心引线段,才能将这个正方形的面积
等分?
(叙述分法即可,不需说明理由)
问题解决:
怎样从正
边形的中心引线段,才能将这个正
边形的面积
等分?
(叙述分法即可,不需说明理由)
参考解决方案:
将正三角形的面积五等分的方法非常多,其中最简单直接的方法即为题目开头所述:
连接顶点和底边五等分点的线段,即可把这个三角形的面积五等分(如图);而从正三角形的中心引线段将这个正三角形的面积
等分,至少有两种方式:
一是完全依照原题所述的方式,先将正三角形面积3等分,再将每个小三角形面积m等分,这样每个小三角形面积就是原三角形面积的
,最后依次把相邻的三个小三角形拼合在一起,其面积为原三角形面积的
×3=
,
即将原三角形面积三等分了;另一种方式略有创新,能够体现对原题所述方法的变通性理解而非仅仅模仿:
先将正三角形面积2等分(如图),再将每个小三角形面积m等分,这样每个小三角形面积就是原三角形面积的
,最后依次把相邻的两个小三角形拼合在一起,其面积为原三角形面积的
×2=
;当进一步考虑“怎样从正方形的中心引线
段,才能将这个正方形的面积
等分?
”和“怎样从正
边形的中心引线段,才能将这个正
边形的面积
等分?
”时,除了可以想方设法把已有的解决方案推广到新情境中,我们倒不如总结一下前面的方案.其实,这个方案不过就是:
先将整个图形面积a等分,再将每个小等面积部分b等分,最后依次把相邻的a个部分拼合在一起,从而达到将原图形面积b等分的目的.这“一分一合”的过程似乎蕴涵着解决正n边形问题的关键所在:
在“分”的过程中将正n边形分割成了面积相等的等腰三角形,从而能运用原题开头部分提供的方法很容易地将图形面积任意等分!
评析这是一个很有特色的试题,与青岛去年的相应试题一脉相传,且有所改进,反映了当地对学业考试的研究意识。
本题设计了一个课题学习的过程,它以正多边形面积的分割为问题情境,试题设计精巧,设问过程展现了发现数学规律的一种过程:
从问题的提出、探究与发现、实验与验证到猜想与证明、拓展与延伸。
学生在自主探究的过程中,既可以完整地经历问题的提出、探究、发展的全过程,又可以充分体验感受从特殊到一般、类比、猜想、拓展等一般性数学方法。
本题的考查层次非常丰富,不同水平的学生可以在充分展示自己不同的探究深度,较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知的能力,以及运用知识解决问题的能力。
通读全题后能够很明显地感觉到,这里花费了大量笔墨的“探究与发现”、“猜想与证明”、“拓展与延伸”部分是学生阅读和理解题意的重点,它可以启发学生获得解决后续问题的思路.让学生经历学习、探索、问题解决的整个过程。
这里将考试过程与学习过程结合起来,体现了一种较好的理念。
当然,这里也可以作为学生自主活动的过程,但也许难度较大。
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