《整式的乘法与因式分解》单元测试题带答案.docx
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《整式的乘法与因式分解》单元测试题带答案
人教版数学八年级上学期
《整式的乘法与因式分解》单元测试
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、填空题:
1.已知x2+y2=10,xy=3,则x+y=_____.
2.多项式x2﹣9,x2+6x+9的公因式是_____.
3.若m+n=3,则2m2+4mn+2n2-6的值为________.
4.若a+b=4,a﹣b=1,则(a+2)2﹣(b﹣2)2的值为_____.
5.已知:
a+b=4,则代数式(a+1)(b+1)﹣ab值为___________
6.若关于x的代数式(x+m)与(x-4)的乘积中一次项是5x,则常数项为________.
7.若
是关于
的完全平方式,则
__________.
8.已知一个圆的半径为Rcm,若这个圆的半径增加2cm,则它的面积增加__________
9.已知关于x的一元二次方程x2+7x﹣a2+5a+6=0的两个实数根一个大于1,另一个小于6,则a的取值范围为______________
10.(x2+ax+8)(x2﹣3x+b)展开式中不含x3和x2项,则a、b
值分别为a=______,b=_____.
二、选择题:
11.如果(an•bmb)3=a9b15,那么()
A.m=4,n=3B.m=4,n=4
C
m=3,n=4D.m=3,n=3
12.下列运算正确的是()
A.x2+x2=x4B.3a3·2a2=6a6C.(-a2)3=-a6D.(a-b)2=a2-b2
13.下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.a3÷a﹣3=1
C.(a﹣b)2=a2﹣ab+b2D.(﹣a2)3=﹣a6
14.已知长方形的面积为4a2-4b2,如果它的一边长为a+b,则它的周长为()
A.10a-6bB.10a+6bC.5a-3bD.5a+3b
15.若k为任意整数,且993﹣99能被k整除,则k不可能是( )
A.50B.100C.98D.97
16.如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a﹣1)cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则该矩形的面积是()
A.2cm2B.2acm2C.4acm2D.(a2﹣1)cm2
17.下列各式:
①(x-2y)(2y+x);②(x-2y)(-x-2y);③(-x-2y)(x+2y);④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是()
A.①②B.①③C.②③D.②④
18.(x2﹣mx+6)(3x﹣2)的积中不含x的二次项,则m的值是( )
A.0B.
C.﹣
D.﹣
19.如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项,那么
值是( )
A.
B.
C.1D.3
20.观察下列两个多项式相乘的运算过程:
根据你发现的规律,若(x+a)(x+b)=x2-7x+12,则a,b的值可能分别是( )
A.
,
B.
,4C.3,
D.3,4
21.若4x2+kx+25=(2x-5)2,那么k的值()
A.﹣4B.﹣30C.﹣20D.0
22.若(x+m)(x2-3x+n)的展开式中不含x2和x项,则m,n的值分别为()
A.m=3,n=1B.m=3,n=-9C.m=3,n=9D.m=-3,n=9
三、解答题:
23.因式分解:
(1)3a2-27b2;
(2)x2-8(x-2)
24.先化简,再求值:
(x+1)(x﹣1)+(2x﹣1)2﹣2x(2x﹣1),其中x=
+1.
25.阅读下列题目的解题过程:
已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断△ABC的形状.
解:
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4(A)
∴c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2)(B)
∴c2=a2+b2(C)
∴△ABC
直角三角形
问:
(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?
请写出该步的代号:
;
(2)错误的原因为:
;
(3)本题正确的结论为:
.
26.如图,边长分别为a,b
两个正方形并排放在一起,请计算图中阴影部分面积,并求出当a+b=16,ab=60时阴影部分的面积.
27.观察下列计算过程,发现规律,利用规律猜想并计算:
1+2=
=3;1+2+3=
=6,1+2+3+4=
=10;1+2+3+4+5=
=15;…
(1)猜想:
1+2+3+4+…+n= .
(2)利用上述规律计算:
1+2+3+4+…+200;
(3)尝试计算:
3+6+9+12+…3n的结果.
参考答案
一、填空题:
1.已知x2+y2=10,xy=3,则x+y=_____.
【答案】±4
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式可:
(x+y)2=x2+y2+2xy,求出(x+y)2的值,然后两边开平方即可求出x+y的值.
【详解】由完全平方公式可得:
(x+y)2=x2+y2+2xy,
∵x2+y2=10,xy=3
∴(x+y)2=16
∴x+y=±4,
故答案为±4
【点睛】本题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式:
(x+y)2=x2+y2+2xy是解答本题的关键.
2.多项式x2﹣9,x2+6x+9的公因式是_____.
【答案】x+3
【解析】
分别将多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4进行因式分解,再寻找他们的公因式.
解:
∵x2-9=(x-3)(x+3),
x2+6x+9=(x+3)2,
∴多项式x2-9与多项式x2+6x+9的公因式是x+3.
3.若m+n=3,则2m2+4mn+2n2-6的值为________.
【答案】12
【解析】
原式=2(m2+2mn+n2)-6,
=2(m+n)2-6,
=2×9-6,
=12.
4.若a+b=4,a﹣b=1,则(a+2)2﹣(b﹣2)2的值为_____.
【答案】20
【解析】
【分析】
先利用平方差公式:
化简所求式子,再将已知式子的值代入求解即可.
【详解】
将
代入得:
原式
故答案为:
20.
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行化简求值,熟记公式是解题关键.另一个重要公式是完全平方公式:
,这是常考知识点,需重点掌握.
5.已知:
a+b=4,则代数式(a+1)(b+1)﹣ab值为___________
【答案】5
【解析】
【分析】
将原式展开、合并同类项化简得a+b+1,再把a+b=4代入计算可得结果.
【详解】(a+1)(b+1)﹣ab=ab+a+b+1-ab=a+b+1,
当a+b=4时,原式=4+1=5.
故答案为5.
【点睛】本题主要考查代数式的求值,解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则.
6.若关于x的代数式(x+m)与(x-4)的乘积中一次项是5x,则常数项为________.
【答案】-36
【解析】
∵(x+m)(x-4)
=x2-4x+mx-4m
=x2+(m-4)x-4m,
∴m-4=5,
∴m=9,
∴-4m=-4×9=-36.
7.若
是关于
的完全平方式,则
__________.
【答案】7或-1
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2(m-3)=±8,进而求出答案.
详解:
∵x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式,
∴2(m-3)=±8,
解得:
m=-1或7,
故答案
-1或7.
点睛:
此题主要考查了完全平方公式,正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键.
8.已知一个圆的半径为Rcm,若这个圆的半径增加2cm,则它的面积增加__________
【答案】
(4R+4)cm2
【解析】
【分析】
半径为Rcm的圆的面积是S1=πR2,若这个圆的半径增加2cm,则其面积是S2=π(R+2)2,用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积,利用平方差公式计算即可.
【详解】∵S2-S1=π(R+2)2-πR2,
=π(R+2-R)(R+2+R),
=4π(R+1),
∴它的面积增加4π(R+1)cm2.
故答案为
(4R+4)cm2.
【点睛】本题考查了平方差公式,比较简单,关键是熟悉圆的面积公式.
9.已知关于x的一元二次方程x2+7x﹣a2+5a+6=0的两个实数根一个大于1,另一个小于6,则a的取值范围为______________
【答案】a<﹣2或a>7
【解析】
【分析】
利用因式分解法求出原方程的两个根,结合一个根大于1另一个根小于6,即可得出关于a的一元一次不等式组,解之即可得出a的取值范围.
【详解】x2+7x-a2+5a+6=0,即[x+(a+1)][x-(a-6)]=0,
解得:
x1=-a-1,x2=a-6.
∵原方程
两个实数根一个大于1,另一个小于6,
∴
或
,
解得:
a<-2或a>7.
∴a的取值范围为a<-2或a>7.
故答案为a<-2或a>7.
【点睛】本题考查了因式分解的应用以及解一元一次不等式组,利用因式分解法求出原方程的两个根是解题的关键.
10.(x2+ax+8)(x2﹣3x+b)展开式中不含x3和x2项,则a、b的值分别为a=______,b=_____.
【答案】
(1).a=3,
(2).b=1
【解析】
【分析】
原式利用多项式乘以多项式法则计算,由展开式中不含x3和x2项,求出a与b的值即可.
【详解】(x2+ax+8)(x2-3x+b)=x4-3x3+bx2+ax3-3ax2+abx+8x2-24x+8b=x4+(-3+a)x3+(b-3a+8)x2+(ab-24)x+8b,
由展开式中不含x3和x2项,得到-3+a=0,b-3a+8=0,
解得:
a=3,b=1.
故答案
3,1.
【点睛】此题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
二、选择题:
11.如果(an•bmb)3=a9b15,那么()
A.m=4,n=3B.m=4,n=4
C.m=3,n=4D.m=3,n=3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据(anbmb)3=a9b15,比较相同字母的指数可知,3n=9,3m+3=15,即可求出m、n.
【详解】解:
∵(anbmb)3=a9b15,∴(an)3(bm)3b3=a3nb3m+3=a9b15,
∴3n=9,3m+3=15,,
解得:
m=4,n=3,
∴m、n的值为4,3.
所以A选项是正确的.
【点睛】本题考查了积的乘方的性质和幂的乘方的性质,根据相同字母的次数相同列式是解题的关键.
12.下列运算正确的是()
A.x2+x2=x4B.3a3·2a2=6a6C.(-a2)3=-a6D.(a-b)2=a2-b2
【答案】C
【解析】
试题分析:
根据合并同类项,单项式的乘法,幂的乘方和积的乘方,乘法公式运算法则逐一计算作出判断:
A.x2+x2=2x2,选项错误;
B.3a3·2a2=6a5,选项错误;
C.(-a2)3=-a6,选项正确;
D.(a-b)2=a2-2ab+b2,选项错误.
故选C.
考点:
1.合并同类项;2.单项式
乘法;3.幂的乘方和积的乘方;4.乘法公式.
13.下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.a3÷a﹣3=1
C.(a﹣b)2=a2﹣ab+b2D.(﹣a2)3=﹣a6
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式、幂的乘方逐一进行计算即可得.
【详解】A、a2•a3=a5,故A选项错误;
B、a3÷a﹣3=a6,故B选项错误;
C、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故C选项错误;
D、(﹣a2)3=﹣a6,故D选项正确,
故选D.
【点睛】本题主要考查幂的运算,解题的关键是掌握同底数幂的乘法、完全平方公式及同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则.
14.已知长方形的面积为4a2-4b2,如果它的一边长为a+b,则它的周长为()
A.10a-6bB.10a+6bC.5a-3bD.5a+3b
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据面积公式求得长方形的另一边长,然后根据长方形的周长公式求解.
【详解】另一边长是:
4a2-4b2÷(a+b)=4(a+b)(a-b)÷(a+b)=4(a-b),
则周长是:
2[(a+b)+4(a-b)]=10a-6b.
故选A.
【点睛】本题考查多项式除以多项式运算以及因式分解的应用.
15.若k为任意整数,且993﹣99能被k整除,则k不可能是( )
A.50B.100C.98D.97
【答案】D
【解析】
【分析】
对题目中的式子分解因式即可解答本题.
【详解】∵993-99=99×(992-1)=99×(99+1)×(99-1)=99×100×98,
∴k可能是99、100、98或50,
故选D.
【点睛】本题考查因式分解的应用,解答本题的关键是明确题意,利用因式分解的方法解答.
16.如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a﹣1)cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则该矩形的面积是()
A.2cm2B.2acm2C.4acm2D.(a2﹣1)cm2
【答案】C
【解析】
根据题意得出矩形的面积是(a+1)2﹣(a﹣1)2,求出即可:
矩形的面积是(a+1)2﹣(a﹣1)2=a2+2a+1﹣(a2﹣2a+1)=4a(cm2).故选C.
17.下列各式:
①(x-2y)(2y+x);②(x-2y)(-x-2y);③(-x-2y)(x+2y);④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是()
A.①②B.①③C.②③D.②④
【答案】A
【解析】
试题分析:
将4个算式进行变形,看那个算式符合(a+b)(a﹣b)的形式,由此即可得出结论.
解:
①(x﹣2y)(2y+x)=(x﹣2y)(x+2y)=x2﹣4y2;
②(x﹣2y)(﹣x﹣2y)=﹣(x﹣2y)(x+2y)=4y2﹣x2;
③(﹣x﹣2y)(x+2y)=﹣(x+2y)(x+2y)=﹣(x+2y)2;
④(x﹣2y)(﹣x+2y)=﹣(x﹣2y)(x﹣2y)=﹣(x﹣2y)2;
∴能用平方差公式计算的是①②.
故选A.
点评:
本题考查了平方差公式,解题的关键是将四个算式进行变形,再与平方差公式进行比对.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,牢记平分差公式是解题的关键.
18.(x2﹣mx+6)(3x﹣2)的积中不含x的二次项,则m的值是( )
A.0B.
C.﹣
D.﹣
【答案】C
【解析】
试题解析:
(x2﹣mx+6)(3x﹣2)=3x3﹣(2+3m)x2+(2m+18)x﹣12,
∵(x2﹣mx+6)(3x﹣2)的积中不含x的二次项,
∴2+3m=0,
解得,m=
,
故选C.
19.如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项,那么
的值是( )
A.
B.
C.1D.3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同类项的概念可得a+1=2,b-1=1,解方程求得a、b的值,代入
进行计算即可得.
【详解】由题意得:
a+1=2,b-1=1,
解得:
a=1,b=2,
所以
=
,
故选A.
【点睛】本题考查了同类项,熟知所含字母相同,相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键.
20.观察下列两个多项式相乘的运算过程:
根据你发现的规律,若(x+a)(x+b)=x2-7x+12,则a,b的值可能分别是( )
A.
,
B.
,4C.3,
D.3,4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得规律为
,再逐一判断即可.
【详解】根据题意得,a,b的值只要满足
即可,
A.-3+(-4)=-7,-3×(-4)=12,符合题意;
B
-3+4=1,-3×4=-12,不符合题意;
C.3+(-4)=-1,3×(-4)=-12,不符合题意;
D.3+4=7,3×4=12,不符合题意.
故答案选A.
【点睛】本题考查了多项式乘多项式,解题的关键是根据题意找出规律.
21.若4x2+kx+25=(2x-5)2,那么k的值()
A.﹣4B.﹣30C.﹣20D.0
【答案】C
【解析】
【分析】
把等式右边按照完全平方公式展开,利用左右对应项相等,即可求k的值.
【详解】∵4x2+kx+25=(2x-5)2=4x2-20x+25,
∴k=-20,
故选D.
【点睛】本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.
22.若(x+m)(x2-3x+n)的展开式中不含x2和x项,则m,n的值分别为()
A.m=3,n=1B.m=3,n=-9C.m=3,n=9D.m=-3,n=9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多项式与多项式的乘法法则展开后,将含x2与x的进行合并同类项,然后令其系数为0即可.
【详解】原式=x3-3x2+nx+mx2-3mx+mn
=x3-3x2+mx2+nx-3mx+mn
=x3+(m-3)x2+(n-3m)x+mn
∵(x+m)(x2-3x+n)的展开式中不含x2和x项
∴m-3=0,n-3m=0
∴m=3,n=9
故选C.
【点睛】本题考查多项式乘以多项式的运算法则,解题的关键是先将原式展开,然后将含x2与x的进行合并同类项,然后令其系数为0即可.
三、解答题:
23.因式分解:
(1)3a2-27b2;
(2)x2-8(x-2)
【答案】
(1)3(a+3b)(a-3b);
(2)(x-4)2.
【解析】
【分析】
(1)原式提取公因式3,再利用平方差公式分解即可;
(2)原式去括号,整理后再利用完全平方公式分解即可.
【详解】
(1)3a2-27b2=3(a2-9b2)=3(a+3b)(a-3b);
(2)x2-8(x-2)=x2-8x+16=(x-4)2.
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
24.先化简,再求值:
(x+1)(x﹣1)+(2x﹣1)2﹣2x(2x﹣1),其中x=
+1.
【答案】x2﹣2x,1
【解析】
【分析】
先去括号,再合并同类项;最后把x的值代入即可.
【详解】原式=x2-1+4x2-4x+1-4x2+2x
=x2-2x,
把x=
+1代入,得:
原式=(
+1)2-2(
+1)
=3+2
-2
-2
=1.
【点睛】本题考查了整式的混合运算及化简求值,做好本题要熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整式乘法公式,此类题的思路为:
先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的值.
25.阅读下列题目的解题过程:
已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断△ABC的形状.
解:
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4(A)
∴c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2)(B)
∴c2=a2+b2(C)
∴△ABC是直角三角形
问:
(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?
请写出该步的代号:
;
(2)错误的原因为:
;
(3)本题正确的结论为:
.
【答案】
(1)C;
(2)没有考虑a=b的情况;(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形.
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的书写步骤可以解答本题;
(2)根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况;
(3)根据题意可以写出正确的结论.
【详解】
(1)由题目中的解答步骤可得,
错误步骤的代号为:
C,
故答案为C;
(2)错误的原因为:
没有考虑a=b的情况,
故答案为没有考虑a=b的情况;
(3)本题正确的结论为:
△ABC是等腰三角形或直角三角形,
故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形.
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理,解答本题的关键是明确题意,写出相应的结论,注意考虑问题要全面.
26.如图,边长分别为a,b的两个正方形并排放在一起,请计算图中阴影部分面积,并求出当a+b=16,ab=60时阴影部分的面积.
【答案】38
【解析】
【分析】
由题意表示出AB,AD,CG、FG,进而表示出BG,阴影部分面积=正方形ABCD+正方形ECGF面积-三角形ABD面积-三角形FBG面积,求出即可.
【详解】如图,
由题意得:
AB=AD=a,CG=FG=b,BG=BC+CG=a+b,
∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECGF-S直角△ABD-S直角△FBG
=AB•AD+CG•FG-
AB•AD-
BG•FG
=a2+b2-
a2-
(a+b)b
=
(a2+b2-ab)
=
[(a+b)2-3ab],
∵a+b=16,ab=60,
∴S阴影=
×(162-3×60)=38.
【点睛】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
27.观察下列计算过程,发现规律,利用规律猜想并计算:
1+2=
=3;1+2+3=
=6,1+2+3+4=
=10;1+2+3+4+5=
=15;…
(1)猜想:
1+2+3+4+…+n= .
(2)利用上述规律计算:
1+2+3+4+…+200;
(3)尝试计算:
3+6+9+12+…3n的结果.
【答案】
(1)
(2)20100(3)
【解析】
【分析】
(1)从1开始连续自然数的和,等于两端的数相加乘数的个数,再除以2,由此得出答案即可;
(2)利用
(1)的规律计算即可;
(3)先提取公因数3再利用
(1)的规律计算即可.
【详解】
(1)1+2+3+4+…+n=
;
故答案为
;
(2)1+2+3+4+…+200=
=20100.
(3)3+6+9+12+…3n=3(1+2+3+4+…+n)=
.
【点睛】本题考查了规律型:
数字的变化类,解题的关键是根据数字的变化找出规律.
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- 整式的乘法与因式分解 整式 乘法 因式分解 单元测试 答案
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