异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高.docx

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异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高

空间角专题复习

•知识梳理

一、异面直线所成的角及求法

⑴定义：

在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角.

n

⑵取值范围：

若B是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是氏（0,空］,当

n

^=~2时，称异面直线a和b垂直，记为a丄b.

（3）求法：

平移法：

将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；

二、直线与平面所成的角及求法

（1）定义：

设I和a分别表示直线与平面.①若I//a或I?

a，则称直线I和平面

a所成的角为0；②若Ila,则称I与a所成的角为一；③若I与a相交，则I

2

与I在a内的射影所成的锐角为直线I与平面a所成的角.

⑵取值范围：

设B是直线I与平面a所成的角，贝UB的取值范围是［0,］.

2

（3）求法：

定义法：

探寻直线I在平面a内的射影，（通常由垂直法找射影）构造直线I与平面a所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角.

三、二面角及求法

（1）定义：

在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则

这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大

小.

（2）取值范围：

规定二面角的取值范围为［0，冗］.

（3）求法：

定义法：

分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角

•练习提升

1.如图，E、F分别是三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点,异面直线AB与PC所成的角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案：

C

C.P?

R?

QD.R?

P=Q

答案：

B

8.设△ABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a，/CBA=/CBD=120°则AD与平面BCD所成角的大小为（）

A.30°B.45°

C.60°D.75°

解析：

作AO丄CB交CB的延长线于O,连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射

影，/ADO即为AD与平面BCD所成的角.

••AO=OD=-23a,

•••/ADO=45°

答案：

B

9.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A、B）且PA=AC,

则二面角P—BC—A的大小为

答案C

10.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形,

PAB与平面PCD所成的二面角的度数为（）

A.90°B.60°

C.45°D.30°

解析：

TAB//CD,

•••面PAB与平面PCD的交线I必为过P点与AB平行的直线.

••PA丄平面ABCD,

••PA丄AB,PA丄CD，又CD丄AD,

••DC丄平面FAD,

••DC丄PD,

••PAXI,PD丄I,即/APD为所求二面角的平面角,

ZAPD=45.

答案：

C

11.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：

①AC丄BD:

②厶ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD成60°角.则其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：

取BD的中点0,则BD丄0C,BD丄OA，得BD丄平面AOC,

1

•••BD丄AC,①正确；cosADC=cos45°s45=?

/ADC=60；AD=

DC,AADC是正三角形，②正确；AB与CD成60。

角，③正确；AB

与平面BCD成角/ABO=45；④错误.

答案：

C

I）

12.如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B—DC1

—C的平面角的余弦值是.

解析：

取C1D的中点O,连接BO、CO,贝U

•zBOC是二面角B—DC1—C的平面角.

设正方体的棱长为1,则CO="22,

•••△DC1为正三角形，

•'OB二寺且BC=1,

OB2+OC2—BC2

•'cosZBOC=

2OBOC

答案：

于

13.如图，在直三棱柱

ABC—A1B1C1中,

AB=BC=AA1,ZABC=90；点E、F分别是棱

AB、BB1的中点.则直线EF和BC1所成的角是（

A.45°B.60°

C.90°D.120°

解析：

取B1C1的中点G,A1B1的中点H,连结

EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得

1

cos/EFG=-㊁，故所求角为60°

BC'=4.3,再由面积公式

答案：

B

14.如图，将RtAABC沿斜边上的高AD折成120。

的二面角C-AD—C',若直角边AB=

43,AC=46，则二面角A—BC'—D的正切值为（）

A.2

B乎

解析：

ZCDC'=120°过D作DE丄BC'于E,连结

AD丄平面BC'D,AD=42，在△BC'D中，由余弦定理求得

AD

DE=2

S^c'd=*BC'DE=2BDC'

Dsin60知DE=4,「.tanZAED=

答案：

A

点评：

考查二面角的知识,

余弦定理及三角形的边角计算.如何作出二面角的平面角是

解决此类问题的关键.

15.在矩形ABCD中，AB=3,

的度数是（）

A.30°

C.60°

A—BD—P

AD=4,

解析：

如右图所示，过A作AE丄BD,

垂足为E，连结PE,

则PE丄BD（三垂线定理）,

故/PEA为二面角P—BD—A的平面角.

在Rt△BAD中，

__ABAD12AE==

BD5'

在Rt△AE中，

/PA並小o

tanZPEA=忑=§,^/PEA=30.

答案：

A

平面角为（）

C.120°

解析：

如图，作BE丄PC,连结DE.

•.•△DC也△BC’.'.DE丄PC

/•JDEB就是二面角D—PC—B的平面角,

••O为DB的中点,

•••zOEB=2/DEB,

又••面PAB丄面PCD,

••po=2ab,

%/2\13

在Rt4POC中，OC=-^AB，所以PC=〒AB.

2ab•£AB

/OE=芦

^AB

.2

2AB

•anZOEB=〒—

aAB

6

—冗，2n

•ZOEB=3，「./DEB=—.

答案：

C

2的正方形，其它四个侧面都是侧

B.90°

D.150°

17.如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为

棱长为一'5的等腰三角形，则二面角V—AB—C的度数是

答案60°

n

18.如图①，直角梯形ABCD中，AB//CD，/DAB=㊁，点M、N分别在AB,CD上，且

MN丄AB,MC±CB,BC=2,MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面

MNCB垂直（如图②）.

（1）求证：

AB//平面DNC;

3

⑵当DN=2时，求二面角D—BC-N的大小.

解：

（1）证明：

MB//NC,MB?

平面DNC,NC?

平面DNC,「.MB//平面DNC.

•••平面MAB//平面NCD

AB//平面DNC.

AB?

平面MAB

由MB=4,BC=2,ZMCB=90知ZMBC=60°,

由条件知：

tanNHD=DH=f,「./NHD=30:

NH3

⑵求PC与平面ABCD所成的角的正切值;

⑶求二面角P—EC—D的正切值.

解：

（1）证明：

如图，取PC的中点0,

连接OF、0E,贝UFO//DC,

且FO=1DC,

••FO//AE,

又E是AB的中点,

且AB=DC,

••FO=AE.

•四边形AEOF是平行四边形,

••AF//OE.

又OE?

平面PEC,

AF?

平面PEC,

••AF//平面PEC.

⑵如图，连接AC,

••PA丄平面ABCD,

•zPCA是直线PC与平面ABCD所成的角.

在Rt△AC中,

PAtanZPCA=AC

5=5

即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为

⑶如图，作AM丄CE,

交CE的延长线于M.

连接PM，由三垂线定理得PM丄CE,

•••/PMA是二面角P—EC—D的平面角.

由AAMEsZcbe可得

AM=

面角P—EC—D的正切值为2.

20.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,

/BCD=60°E是CD的中点，PA丄底面ABCD,PA=^3.

⑴证明：

平面PBE丄平面FAB;

（2）求二面角A—BE—F的大小.

因为E是CD的中点，所以BE丄CD.

又AB//CD,

所以BE丄AB.

又因为PA丄平面ABCD,

BE?

平面ABCD,

所以PA丄BE.

而FAQAB=A,

因此BE丄平面FAB.

又BE?

平面PBE,

所以平面PBE丄平面PAB.

（2）解由

（1）知，BE丄平面PAB,PB?

平面PAB,所以PB丄BE.又AB丄BE,

所以/PBA是二面角A—BE—P的平面角.

在Rt△PAB中，tan/PBA=TA=.3则/PBA=60°.

AB

故二面角A—BE—P的大小是60°.

21.已知平面a外两点A、B到平面a的距离分别为1和2,A、B两点在a内的射影之间距离为.'3,求直线AB和平面a所成的角.

解⑴如图⑴，当A、B位于平面a同侧时，由点A、B分别向平面a作垂线，垂足分别为

Ai、Bi,则AAi=1,BBi=2,BiAu,3过点A作AH丄BBi于H，贝UAB和a所成角即

为/HAB.

⑵如图⑵，当A、B位于平面

a异侧时，经A、B分别作AAi丄a于Ai，BBi丄a于Bi,

ABna=C,则AiBi为AB在平面a上的射影，/BCBi或/ACAi为AB与平面a所成角.

•••△BCBis^ACAi,•BBi=CC=2,•BiC=2CAi，而BiC+CAi=/3,

•BiC=3.

•tan/BCBi=

•/BCBi=60°•AB与a所成角为60°综合⑴、⑵可知：

AB与平面a所成角为30或60°

22.如图，在三棱锥P—ABC中，PA丄底面ABC，/BCA=90°点D、E分别在棱PB、PC

上，且DE//BC.

⑴求证：

BC丄平面FAC.

（2）是否存在点E使得二面角A—DE—F为直二面角？

并说明理由

⑴证明•/PA丄底面ABC,

•FA丄BC.又/BCA=90°

•AC丄BC.又TACnPA=A,

•BC丄平面PAC.

（2）解•/DE//BC,又由（i）知，

BC丄平面FAC,•DE丄平面FAC.

又TAE?

平面FAC,PE?

平面FAC,

•••DE丄AE,DE丄PE.

•••/AEP为二面角A—DE—P的平面角.

•/FA丄底面ABC,

•PA丄AC,PAC=90°

•在棱PC上存在一点E,

使得AE丄PC.这时/AEP=90°

故存在点E,使得二面角A—DE—P为直二面角.