必修5第二章《数列》全章教案按课时备课共14课时.docx
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必修5第二章《数列》全章教案按课时备课共14课时
课题:
§2.1数列的概念与简单表示法
授课类型:
新授课
(第1课时)
•教学目标
知识与技能:
理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法:
通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力.
情感态度与价值观:
通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。
•教学重点
数列及其有关概念,通项公式及其应用
•教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
•教学过程
I.课题导入
三角形数:
1,3,6,10,…
正方形数:
1,4,9,16,25,…
n.讲授新课
1.数列的定义:
按一定次序排列的一列数叫做数列•
注意:
⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现
2.数列的项:
数列中的每一个数都叫做这个数列的项•各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),
第2项,…,第n项,…•
例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6
项•
3•数列的一般形式:
印心2七3,上,上,或简记为£「,其中an是数列的第n项
1
结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义•②中,这是一个数列,它的首项是“1\-”是这个数列
3
的第“3”项,等等+
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?
这一关系可否用一个公
式表示?
(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系:
项1
序号12
1
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:
an来表示其对应关系
n
即:
只要依次用1,2,3…代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子,练习找其对应关系
4.数列的通项公式:
如果数列On的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公
式就叫做这个数列的通项公式•
注意:
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④;
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:
1,0,1,0,1,0,…它的通项公式可以是
an=1(~1),也可以是an=|cosn1二|.
22
⑶数列通项公式的作用:
①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项
数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第町项,又是这个数列中所有各项的一般表示•通项
公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项.
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an=f(n),当自变量从
小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义,那么我们可以得到一个数列f
(1)、f
(2)
f(3)、f(4)…,f(n),…
6•数列的分类:
1)根据数列项数的多少分:
有穷数列:
项数有限的数列•例如数列1,2,3,4,5,6。
是有穷数列无穷数列:
项数无限的数列•例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列
2)根据数列项的大小分:
递增数列:
从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列:
从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列:
各项相等的数列。
摆动数列:
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列观察:
课本P33的六组数列,哪些是递增数列,递减数列,常数数列,摆动数列?
[范例讲解]
课本P34-35例1
川.课堂练习
课本P36[练习]3、4、5[补充练习]:
根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
246810
(1)
99
3153563
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,
3,5,9,17,33,……;
(2),,,,,……;
⑶0,1,0,1,0,1,•…
—42,
(5)2,—6,12,—20,30,
解:
⑴
an=2n+1;
(2)a
2n
1(T)n
(2n-1)(2n1)
(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,
1(T)
⑸将数列变形为1X2,—2X3,3X4,—4X5,5X6,
n十/八
an=(—1)n(n+1)
IV.课时小结
本节课学习了以下内容:
数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会根据数列的前n项求一些
简单数列的通项公式。
V.课后作业
课本P38习题2.1A组的第1题
•板书设计
•授后记
课题:
§2.1数列的概念与简单表示法
授课类型:
新授课
(第2课时)
•教学目标
知识与技能:
了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的
前几项;理解数列的前n项和与an的关系
过程与方法:
经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观:
通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。
•教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项
•教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
•教学过程
I.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
n.讲授新课
数列的表示方法
1、通项公式法
如果数列£n〉的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数
列的通项公式。
如数列,的通项公式为叫贰“);
%=丄(“迂ZV*)
的通项公式为'
U1-
的通项公式为J
2、图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形•具体方法是以项数
巧为横坐标,相应的项山”为纵坐标,
1丄丄丄,…
即以■■■'■'■■为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列二-1为例,做出一个数列的图
象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在
7轴的右侧,而点的个数
取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势
3、递推公式法
知识都来源于实践,最后还要应用于生活"用其来解决一些实际问题.
观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型.
模型一:
自上而下:
1I4=1+3
第2层钢管数为
5;
即
第3层钢管数为
6;
即
第4层钢管数为
7;
即
第5层钢管数为
8;
即
第6层钢管数为
9;
即
第1层钢管数为4;即
2、5=2+3
6=3+3
4—7=4+3
5I8=5+3
6-9=6+3
第7层钢管数为10;即:
10=7+3
若用an表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且
an二n3(1wnw7)
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,运用这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?
(启发学生寻找规律)模型二:
上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即a1=4;32=5=41=8—1;a3=6=51=a21
依此类推:
an=an41(2wnw7)
对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重要。
定义:
递推公式:
如果已知数列:
an'的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an」(或前n项)间的关
系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列:
3,5,8,13,21,34,55,89
递推公式为:
a1=3,a2=5,an二an/,an,(3一n-8)
数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法:
列表法,图
象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:
用"1表示第一项,用一「表示第一■
项,……,用表示第坨项,依次写出成为
4、列表法
•,比用.简记为一…」..
[范例讲解]
(a=1
例3设数列6[满足1写出这个数列的前五项。
an=1+——(n>1).
anJ
解:
分析:
题中已给出
「an[的第1项即ai=1,递推公式:
an=1
an」
”口心―八112158
解:
据题意可知:
a1=1,a2=12,a3=1,a4=1,as:
a1a23a335
[补充例题]
例4已知a^2,an1=2an写出前5项,并猜想an.
法一:
內=2a^22=22a^222=23,观察可得a^2n
a
法二:
由an4=2anan=2an」即—=2
anA.
an
an2
a2
=2
n-1
an4an_2an_3
a1
an=a1-2nJ=2n
川.课堂练习
课本P36练习2
[补充练习]
1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式
(1)a1=0,an1=an+(2n—1)(n€N);
⑵a1=1,an1=-2a^(n€N);
an+2
⑶a1=3,an1=3an—2(n€N).
解:
(1)
a1=0,a?
=1,a3=4,a4=9,
an=(n—1)
212
a1=1,a2=,a3=
324
1
2
2
a5=-
5
an=
3
6
n+1
as=16,
2
2
a4=
5
⑶a1=3=1+23°,a?
=7=1+231,a3=19=1+232,
小3J
an=1+2
a4=55=1+23,a5=163=1+23,
IV.课时小结
本节课学习了以下内容:
1•递推公式及其用法;
2
n项)之间的关系
•通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或
V.课后作业
习题2。
1A组的第4、6题
•板书设计
•授后记
课题:
§2.2等差数列
授课类型:
新授课(第1课时)
•教学目标
知识与技能:
了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列;正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法:
经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
情感态度与价值观:
通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求
新知的创新意识。
•教学重点
等差数列的概念,等差数列的通项公式。
•教学难点
等差数列的性质
•教学过程
I.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法一一列举法、通项公式、递推公式、
图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。
下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子:
10,5,10,15,20,25,…
248,53,58,63
318,15.5,13,10.5,8,5.5
410072,10144,10216,10288,10366
观察:
请同学们仔细观察一下,看看以上四个数列有什么共同特征?
•共同特征:
从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差);(误:
每相邻两项的差相
等应指明作差的顺序是后项减前项),我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列
n.讲授新课
1•等差数列:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)。
⑴.公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;
⑵.对于数列{an},若an-an1=d(与n无关的数或字母),n》2,n€N•,则此数列是等差数列,d为公差。
思考:
数列①、②、③、④的通项公式存在吗?
如果存在,分别是什么?
2•等差数列的通项公式:
an二d•(n-l)d【或an二am•(n-m)d】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列<an?
的首项是a1,公差是d,则据其定
义可得:
a2-a1=d即:
a2=%d
a3-a2=d即:
a3=a2d=a12d
a4-a3二d即:
a4二a3d=a3d
由此归纳等差数列的通项公式可得:
an=a1(n_i)d
•••已知一数列为等差数列,则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项an。
由上述关系还可得:
am=a1-(m_i)d
即:
q=am-(m-i)d
则:
an=aj(n—1)d=am—(m—1)d(n—1)d=am(n—m)d
即等差数列的第二通项公式
an=am(n-m)d
...d=
[范例讲解]
例1⑴求等差数列8,5,2…的第20项
⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?
如果是,是第几项?
解:
⑴由a1=8,d=5—8=2—5=-3n=20,得a20=8(20-1)(-3)=-49
⑵由a1--5,d--9-(-5)--4
得数列通项公式为:
an二-5-4(n-1)
由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n,使得一401=-5-4(n-1)成立解之得n=100,即-401是这
个数列的第100项
例3已知数列{an}的通项公式an二pn•q,其中p、q是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?
若
是,首项与公差分别是什么?
分析:
由等差数列的定义,要判定:
an[是不是等差数列,只要看an-an」(nA2)是不是一个与n无关
的常数。
解:
当na2时,(取数列乩[中的任意相邻两项anj与an(nA2))
an-an」=(pnq)-[p(n-1)q]二pnq-(pn-pq)=p为常数
二{an}是等差数列,首项a^pq,公差为p。
注:
①若p=0,则{an}是公差为0的等差数列,即为常数列q,q,q,…
2若pz0,则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
3数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数),称其为第3通项公式。
4判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
川.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4
[补充练习]
1.
(1)求等差数列3,7,11,……的第4项与第10项.
分析:
根据所给数列的前3项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项
解:
根据题意可知:
a1=3,d=7-3=4.•••该数列的通项公式为:
an=3+(n—1)x4,即an=4n—1(n》1,n
€N*)•a4=4x4—仁15,a10=4X10—仁39.
评述:
关键是求出通项公式.
(2)求等差数列10,8,6,……的第20项.
解:
根据题意可知:
a1=10,d=8—10=—2.
•••该数列的通项公式为:
an=10+(n—1)x(—2),即:
an=—2n+12,•a20=—2X20+12=—28.
评述:
要注意解题步骤的规范性与准确性.
(3)100是不是等差数列2,9,16,……的项?
如果是,是第几项?
如果不是,说明理由
分析:
要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数n值,使得an等于
这一数.
解:
根据题意可得:
a1=2,d=9—2=7.•此数列通项公式为:
an=2+(n—1)x7=7n—5.
令7n—5=100,解得:
n=15,•100是这个数列的第15项.
1
(4)—20是不是等差数列0,—31,—7,……的项?
如果是,是第几项?
如果不是,说明理由.
2
解:
由题意可知:
a1=0,d=—31•••此数列的通项公式为:
an=—7n+—,
222
令—7n+7=—20,解得n=47因为—7n+?
=—20没有正整数解,所以—20不是这个数列的项.
22722
IV.课时小结
通过本节学习,首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式:
an—anJ=d,(n>2,n€N').其
次,要会推导等差数列的通项公式:
a^a!
-(n_i)d,并掌握其基本应用.最后,还要注意一重要关系式:
an=am(n-m)d和an=Pn+q(p、q是常数)的理解与应用•
V.课后作业
课本P45习题2.2[A组]的第1题
•板书设计
•授后记
课题:
§2.2等差数列
授课类型:
新授课
(第2课时)
•教学目标
知识与技能:
明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与
图像认识等差数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法:
通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想。
情感态度与价值观:
通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
•教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
•教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
•教学过程
I.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容:
1•等差数列:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即an—
an)=d,(n>2,n€N+),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母"d”表
示).
2•等差数列的通项公式:
an=a1(n-1)d(an=am(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数))
3•有几种方法可以计算公差d
①d=an—an1
_an一a〔
②d=n1
③d=an7
n-1
n—m
n.讲授新课
A应满足什么条件?
必须知道这个数列中
,本题中,只已知一项,和
问题:
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列数列,那么
a+b
由定义得A-a=b-A,即:
A显
2
反之,若A=,贝UA-a=b-A
2a+b
由此可可得:
Aa,b,成等差数列
2
[补充例题]
例在等差数列{an}中,若ai+a6=9,a4=7,求a3,a?
•
分析:
要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差)另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手……
解:
•••{an}是等差数列
ai+a6=a4+a3=9=■a3=9—a4=9—7=2
…d=a4—玄3=7—2=5
a?
=a4+(9—4)d=7+5*5=32--a3=2,a?
=32
[范例讲解]
课本P44的例2解略
课本P45练习5
已知数列{an}是等差数列
(1)2a^-83a7是否成立?
2a^-aia9呢?
为什么?
(2)2an=an^-an1(n1)是否成立?
据此你能得到什么结论?
(3)2a^an±ank(nk0)是否成立?
?
你又能得到什么结论?
结论:
(性质)在等差数列中,若m+n=p+q贝U,am+an=ap+aq
即m+n=p+q二aman=ap-aq(m,n,p,q€N)
但通常①由am'an二ap'aq推不出m+n=p+q,②am'an=amn
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- 关 键 词:
- 数列 必修 第二 教案 课时 备课 14