专题训练一 三角形内角和与外角应用的常见类型.docx

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专题训练一三角形内角和与外角应用的常见类型

专题训练

（一）　三角形内角和与外角应用的常见类型

►　类型一　直接计算角度

1．如图1－ZT－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果∠A＝50°，那么∠1＋∠2的度数为（　　）

图1－ZT－1

A．130°B．180°C．230°D．260°

2．如图1－ZT－2，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为（　　）

图1－ZT－2

A．40°B．50°C．60°D．70°

3．如图1－ZT－3，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（　　）

图1－ZT－3

A．18°B．20°C．38°D．40°

4．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝3∠C，则∠B＝________°.

5．2017·迁安市一模如图1－ZT－4，在△ABC中，∠A＝64°，D是BC延长线上一点，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝________°；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠An－1BC与∠An－1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为________．

图1－ZT－4

6．已知：

图1－ZT－5是五角星形，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．

图1－ZT－5

►　类型二　在三角尺或直尺中计算

7．如图1－ZT－6，把一个含30°角的三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数为（　　）

图1－ZT－6

A．20°B．50°C．60°D．70°

8．2018·鄂州一副三角尺如图1－ZT－7所示放置，则∠AOD的度数为（　　）

图1－ZT－7

A．75°B．100°C．105°D．120°

9．2018·青海小桐把一副三角尺按如图1－ZT－8所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1＋∠2等于（　　）

图1－ZT－8

A．150°B．180°C．210°D．270°

10．已知直线l1∥l2，一个含45°角的三角尺按如图1－ZT－9所示方式放置．若∠1＝85°，则∠2＝________°.

图1－ZT－9

11．如图1－ZT－10，一个含30°角的三角尺DEF放置在△ABC上，三角尺DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝70°，求∠DBA＋∠DCA的度数．

图1－ZT－10

►　类型三　与平行线的性质或判定综合

12．2018·宿迁如图1－ZT－11，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（　　）

图1－ZT－11

A．24°B．59°C．60°D．69°

13．如图1－ZT－12，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B＝35°，AB∥CE，则∠A的度数为（　　）

图1－ZT－12

A．35°B．75°C．85°D．95°

14．如图1－ZT－13，a∥b，∠1＋∠2＝75°，则∠3＋∠4＝________°.

图1－ZT－13

15．如图1－ZT－14，AD∥BE，AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，试判断AC和BC的位置关系，并说明理由．

图1－ZT－14

16．如图1－ZT－15，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．

图1－ZT－15

17．如图1－ZT－16，在△ABC中，∠ABC＝30°，点D在BC上，点E在AC上，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于点F.

（1）求∠BFD的度数；

（2）若EG∥AD交BC于点G，EH⊥BE交BC于点H，求∠HEG的度数．

图1－ZT－16

►　类型四　与截取或折叠有关

18．如图1－ZT－17，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为（　　）

图1－ZT－17

A．71°B．64°C．80°D．45°

19．如图1－ZT－18，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在BC边上的点A1处，折痕为CD，则∠A1DB＝________°.

图1－ZT－18

20．如图1－ZT－19，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________．

图1－ZT－19

教师详解详析

1．C　[解析]∵∠1＝∠A＋∠ADE，∠2＝∠A＋∠AED，

∴∠1＋∠2＝∠A＋∠ADE＋∠A＋∠AED＝∠A＋（∠ADE＋∠A＋∠AED）＝50°＋180°＝230°.

2．A　[解析]∵AB⊥BD，∠A＝40°，∴∠AEB＝90°－40°＝50°.∴∠DEC＝50°.

∵AC⊥CD，∴∠D＝90°－50°＝40°.

3．B　[解析]在△ABC中，∵∠B＝36°，∠C＝76，∴∠BAC＝68°.∴∠BAD＝∠DAC＝34°.

∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝70°.

∴∠DAE＝20°.

4．75　[解析]∵∠A＝80°，∴∠B＋∠C＝180°－80°＝100°.∵∠B＝3∠C，∴3∠C＋∠C＝100°.∴∠C＝25°.∴∠B＝75°.故答案为75.

5．32　6　[解析]由三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC.

∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，

∴∠A1BC＝

∠ABC，∠A1CD＝

∠ACD.

∴∠A1＝∠A1CD－∠A1BC＝

∠ACD－

∠ABC＝

（∠ACD－∠ABC）＝

∠A＝

×64°＝32°.

同理可得∠A2＝

∠A1，

∴∠A2＝

∠A.

∴∠An＝

∠A＝

.

要使∠An的度数为整数，则n的最大值为6.

6．解：

如图．

∵∠1是△CEG的外角，

∴∠1＝∠C＋∠E.

同理可得∠AFB＝∠B＋∠D.

在△AFG中，

∵∠A＋∠1＋∠AFB＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.

7．B　

8．C　[解析]由题意可知，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，

∴∠ABO＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°.

又∵∠BOC是△AOB的一个外角，

∴∠BOC＝∠ABO＋∠A＝15°＋90°＝105°.

∴∠AOD＝∠BOC＝105°.

9．C　[解析]设DE与AC，BC分别交于点O，P，如图．由三角形外角的性质得∠1＝∠D＋∠DOA，∠2＝∠E＋∠EPB.又∵∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，∴∠1＋∠2＝∠D＋∠COP＋∠CPO＋∠E＝∠D＋∠E＋（180°－∠E）＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.故选C.

10．40

11．解：

∵∠A＝70°，

∴∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°.

∵∠D＝90°，∴∠DBC＋∠DCB＝90°.

∴∠DBA＋∠DCA＝（∠ABC＋∠ACB）－（∠DBC＋∠DCB）＝110°－90°＝20°.

12．B　[解析]∵∠A＝35°，∠C＝24°，∴∠CBD＝∠A＋∠C＝35°＋24°＝59°.∵DE∥BC，∴∠D＝∠CBD＝59°.故选B.

13．A

14．105　

15．解：

AC⊥BC.理由如下：

∵AD∥BE，

∴∠DAB＋∠EBA＝180°.

又∵AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，

∴∠CAB＝

∠DAB，∠CBA＝

∠EBA.

∴∠CAB＋∠CBA＝

（∠DAB＋∠EBA）＝90°.

∴∠ACB＝90°.∴AC⊥BC.

16．解：

延长EB交DC于点F.

∵AB∥CD，∠ABE＝60°，

∴∠EFC＝60°.

∵∠E＋∠D＝∠EFC，即∠E＋50°＝60°，

∴∠E＝10°.

17．解：

（1）∵∠BFD是△ABF的外角，

∴∠BFD＝∠BAD＋∠ABF.

∵∠ABC＝30°，∠BAD＝∠EBC，

∴∠BFD＝∠EBC＋∠ABF＝∠ABC＝30°.

（2）∵EG∥AD，∠BFD＝30°，

∴∠BEG＝∠BFD＝30°.

∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°.

∴∠HEG＝∠BEH－∠BEG＝90°－30°＝60°.

18．A　[解析]由折叠可得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE.

∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°.

∵∠A＝26°，

∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝26°＋45°＝71°.

∴∠CDE＝71°.

19．10　[解析]∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，

∴∠B＝180°－90°－50°＝40°.

由翻折的性质，得∠CA1D＝∠A＝50°，

∴∠A1DB＝∠CA1D－∠B＝50°－40°＝10°.

20．65°