解析版江苏省无锡市学年高二下学期期末数学理试题.docx
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解析版江苏省无锡市学年高二下学期期末数学理试题
无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷
高二数学(理)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.)
1.已知复数
,其中
是虚数单位,则
的模是__________.
【答案】
【解析】分析:
分子分母同时乘以
,化简整理,得出
,再得模。
详解:
,所以
。
点睛:
复数的除法运算公式
。
2.设离散型随机变量
的概率分布如下:
则
的值为__________.
【答案】
【解析】分析:
离散型随机变量
的概率之和为1
详解:
解得:
。
点睛:
离散型随机变量
的概率之和为1,是分布列的性质。
3.已知直线
在矩阵
对应的变换作用下变为直线
:
,则直线
的方程为__________.
【答案】
【解析】分析:
用相关点法求解,设直线
上的点为
直线
上的点为
,所以,
,代入直线
的方程
详解:
设直线
上的点为
直线
上的点为
,直线
在矩阵
对应的变换作用下所以:
,代入直线
的方程整理可得直线
的方程为
。
点睛:
理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。
4.直线
与圆
相交的弦长为__________.
【答案】
【解析】试题分析:
将直线
化为普通方程为:
,∵
,∴
,化为普通方程为:
,即
,联立得
,解得
,∴直线与圆相交的弦长为
故答案为
.将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法.
考点:
简单曲线的极坐标方程.
5.若
,
,则
,
的大小关系是__________.
【答案】
【解析】分析:
作差法,用
,判断其符号。
详解:
,所以,
。
点睛:
作差法是比较大小的基本方法,根式的分子有理化是解题的关键
6.求值:
__________.
【答案】1
【解析】分析:
观察通项展开式中的
中
的次数与
中的
一致。
详解:
通项展开式中
的
,故
=
点睛:
合并二项式的展开式,不要纠结整体的性质,抓住具体的某一项中的
中
的次数与
中的
一致,有负号时注意在
上还是在
上。
7.有甲、乙、丙三项不同任务,甲需由
人承担,乙、丙各需由
人承担,从
人中选派
人承担这三项任务,不同的选法共有__________种.(用数字作答)
【答案】60
【解析】分析:
先从5人中选4人(组合)
,再给4个人分派3项任务,甲需2人
,乙、丙各需由
人
。
详解:
先从5人中选4人(组合)
,再给4个人分派3项任务,甲需2人
,乙、丙各需由
人
(乙、丙派的人不一样故要排列)。
共有60种。
点睛:
分配问题,先分组(组合)后分派(排列)。
8.用反证法证明命题:
“定义在实数集上的单调函数
的图象与
轴至多只有
个交点”时,应假设“定义在实数集上的单调函数
的图象与
轴__________”.
【答案】至少有
个交点
【解析】分析:
反证法证明命题,只否定结论,条件不变。
详解:
命题:
“定义在实数集上的单调函数
的图象与
轴至多只有
个交点”时,结论的反面为“与
轴至少有
个交点”。
点睛:
反证法证明命题,只否定结论,条件不变,至多只有
个理解为
,故否定为
.
9.在圆中:
半径为
的圆的内接矩形中,以正方形的面积最大,最大值为
.类比到球中:
半径为
的球的内接长方体中,以正方体的体积最大,最大值为__________.
【答案】
【解析】分析:
圆的内接矩形中,以正方形的面积最大,当边长等于
时,类比球中内接长方体中,以正方体的体积最大,棱长为
详解:
圆的内接矩形中,以正方形的面积最大,当边长
时,解得
时,
类比球中内接长方体中,以正方体的体积最大,当棱长
解得
时,正方体的体积为
点睛:
类比推理,理会题意抓住题目内在结构相似的推导过程,不要仅模仿形式上的推导过程。
10.平面上画
条直线,且满足任何
条直线都相交,任何
条直线不共点,则这
条直线将平面分成__________个部分.
【答案】
【解析】分析:
根据几何图形,列出前面几项,根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。
详解:
1条直线将平面分成2个部分,即
2条直线将平面分成4个部分,即
3条直线将平面分为7个部分,即
4条直线将平面分为11个部分,即
,所以
….
根据累加法得
所以
点睛:
本题综合考查了数列的累加法、归纳推理的综合应用。
在解题过程中,应用归纳推理是解决较难题目的一种思路和方法,通过分析具体项,找到一般规律,再分析解决问题,属于中档题。
11.在平面直角坐标系
中,已知点
是椭圆
:
上第一象限的点,
为坐标原点,
,
分别为椭圆
的右顶点和上顶点,则四边形
的面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】分析:
的面积的最大值当
到直线
距离最远的时候取得。
详解:
,当
到直线
距离最远的时候取得
的最大值,设
直线
,所以
,故
的最大值为
。
点睛:
分析题意,找到面积随
到直线
距离的改变而改变,建立面积与
到直线
距离的函数表达式,利用椭圆的参数方程求解距离的最值。
本题还可以用几何法分析与直线
平行的直线与椭圆相切时,
为切点,到直线
距离最大。
12.在
的展开式中的所有
的整数次幂项的系数之和为__________.
【答案】122
【解析】分析:
根据二项式定理的通项公式,写出所有
的整数次幂项的系数,再求和即可。
详解:
所以整数次幂项为
为整数是
,所以系数之和为122
点睛:
项式定理中的具体某一项时,写出通项
的表达式,使其满足题目设置的条件。
13.湖面上有
个相邻的小岛
,
,
,
,
,现要建
座桥梁,将这
个小岛连接起来,共有__________不同方案.(用数字作答)
【答案】135
【解析】分析:
个相邻的小岛一共可
座桥梁,选
座,减去不能彼此连接的即可。
详解:
个相邻的小岛一共可
座桥梁,选
座
不能彼此连接
,共135种。
点睛:
转化问题为组合问题。
14.一个袋中有形状、大小完全相同的
个小球,其中
个红球,其余为白球.从中一次性任取
个小球,将“恰好含有
个红球”的概率记为
,则当
__________时,
取得最大值.
【答案】20
【解析】分析:
由题意可知,满足超几何分布,列出
的公式,建立
与
的表达式,求最大值。
详解:
,
取得最大值,也即是
取最大,所以:
解得
,故
。
点睛:
组合数的最大值,可以理解为数列的最大项来处理。
二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知复数
在复平面内对应的点位于第二象限,且满足
.
(1)求复数
;
(2)设复数
满足:
为纯虚数,
,求
的值.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】分析:
(1)解一元二次方程,得到
,根据
在复平面内对应的点位于第二象限,即可判断
的取值。
(2)根据复数的乘法运算、纯虚数的概念、模的定义,联立方程求得x、y的值,进而求得
的值。
详解:
(1)因为
,所以
,
又复数
对应的点位于第二象限,
所以
;
(2)因为
,
又
为纯虚数,所以
,
有
得
,
解得
,
或
,
;
所以
.
点睛:
本题考查了复数相等、纯虚数等概念和复数的混合运算,对基本的运算原理要清晰,属于基础题。
16.已知二阶矩阵
对应的变换将点
变换成
,将点
变换成
.
(1)求矩阵
的逆矩阵
;
(2)若向量
,计算
.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】分析:
(1)利用阶矩阵
对应的变换的算法解出
,再求
(2)先计算矩阵
的特征向量,再计算
详解:
(1)
,则
,
,
解得
,
,
,
,
所以
,
所以
;
(2)矩阵
的特征多项式为
,
令
,解得
,
,
从而求得对应的一个特征向量分别为
,
.
令
,求得
,
,
所以
.
点睛:
理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。
17.在平面直角坐标系
中,直线
的参数方程为
(
为参数),
,以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
极坐标方程为
.
(1)若直线
与圆
相切,求
的值;
(2)已知直线
与圆
交于
,
两点,记点
、
相应的参数分别为
,
,当
时,求
的长.
【答案】
(1)
或
;
(2)
.
【解析】分析:
(1)消元法解出直线
的普通方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆
的直角坐标方程,直线
与圆
相切,则
。
(2)将直线
的参数方程为代入圆
的直角坐标方程并化简整理关于
的一元二次方程。
利用
的几何意义求解问题。
详解:
(1)圆
的直角坐标方程为
,
将直线
的参数方程代入圆
的直角坐标方程得
,
即为
,
因为直线
与圆
相切,所以
,
所以
或
,
,所以
或
;
(2)将
代入圆
的直角坐标方程为
,
得
,
又
,所以
,
.
点睛:
将直线
的参数方程为代入圆
的直角坐标方程并化简整理关于
的一元二次方程。
利用
的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法。
注意
,要去绝对值符号,需判断交点与定点的位置关系,上方为正,下方为负。
18.将正整数排成如图的三角形数阵,记第
行的
个数之和为
.
(1)设
,计算
,
,
的值,并猜想
的表达式;
(2)用数学归纳法证明
(1)的猜想.
【答案】
(1)
;
(2)见解析.
【解析】分析:
直接计算
,猜想:
;
(2)证明:
①当
时,猜想成立.②设
时,命题成立,即
③证明当
时,成立。
详解:
(1)解:
,
,
,
,
猜想
;
(2)证明:
①当
时,猜想成立.
②设
时,命题成立,即
,
由题意可知
.
所以
,
,
所以
时猜想成立.
由①、②可知,猜想对任意
都成立.
点睛:
推理与证明中,数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。
根据题意先归纳猜想,利用数学归纳法证明猜想。
数学归纳法证明必须有三步:
①当
时,计算得出猜想成立.
②当
时,假设猜想命题成立,
③当
时,证明猜想成立。
19.有甲、乙两个游戏项目,要参与游戏,均需每次先付费
元(不返还),游戏甲有
种结果:
可能获得
元,可能获得
元,可能获得
元,这三种情况的概率分别为
,
,
;游戏乙有
种结果:
可能获得
元,可能获得
元,这两种情况的概率均为
.
(1)某人花
元参与游戏甲两次,用
表示该人参加游戏甲的收益(收益=参与游戏获得钱数-付费钱数),求
的概率分布及期望;
(2)用
表示某人参加
次游戏乙的收益,
为任意正整数,求证:
的期望为
.
【答案】
(1)分布列见解析,期望为
;
(2)见解析.
【解析】分析:
(1)
表示该人参加游戏甲的收益,可能取值为
,
,
,
,
分布
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- 解析 江苏省 无锡市 学年 高二下 学期 期末 学理 试题