圆锥曲线题型归类总结.docx
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圆锥曲线题型归类总结
高考圆锥曲线的常见题型
题型一:
定义的应用
1、圆锥曲线的定义:
(1)椭圆
(2)椭圆
(3)椭圆
2、定义的应用
(1)寻找符合条件的等量关系
(2)等价转换,数形结合
3、定义的适用条件:
典型例题
例1、动圆M与圆C1:
(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:
(x-1)2+y2=4
外切,求圆心M的轨迹方程。
例2、方程;„二;-表示的曲线是
题型二:
圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
1、椭圆:
由;-J〔分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线:
由;】,「】项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
3、抛物线:
焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口
方向。
典型例题
22
例1、已知方程厶+丄=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的m-12-m
取值范围是
22
例2、例翰k为何值时,方程壮-土"的曲线:
(1)是椭圆;
⑵是双曲线.
题型三:
圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点
所构成的三角形)问题
1、椭圆焦点三角形面积S=b2tan二;双曲线焦点三角形面积
2
S=b2cot-
2
2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解
3、mn,m-n,mn,m2•n2四者的关系在圆锥曲线中的应用;
典型例题
a
zFPF-:
'求证:
△F1PF2的面积为b2ta肓。
例2、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且-■",:
「莎-j,'-'.求该双曲线的标准方程
题型四:
圆锥曲线中离心率,渐近线的求法
1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值;
2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;
3、注重数形结合思想不等式解法
典型例题
22
例1、已知Fi、F2是双曲线务-每"(a0,b0)的两焦点,以
ab
线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MFi的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()
A.423B.,3-1C.D.
V3+1
2
k.
y
22
例2、双曲线笃二爲=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为ab
其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3)B.1,3C.(3,+-)D.1.3,-
22
例3、椭圆G:
冷爲=1(ab■0)的两焦点为Fi(—c,0),F2(c,0),椭圆上存ab
在
点M使FMFM=0.求椭圆离心率e的取值范围;
22
例4、已知双曲线笃-爲=1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜ab
角为60的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围
是
(A)(1,2](B)(1,2)(C)[2,:
:
)(D)(2,:
:
)
题型五:
点、直线与圆锥的位置关系判断
1、点与椭圆的位置关系
22
点在椭圆内二务-V:
1
ab
22
点在椭圆上=笃Z=1
ab
22点在椭圆外二二%1
ab
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:
:
>0二相交
:
<0=相离3、弦长公式:
AB=Jl+k2%
AB=
4、圆锥曲线的中点弦问题:
1、伟达定理:
2、点差法:
(1)带点进圆锥曲线方程,做差化简
(2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系
典型例题
例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的
方程.
例2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:
x+y=1
交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=22,O为坐标原点,
OC的斜率为、.2/2,求椭圆的方程。
题型六:
动点轨迹方程:
1、求轨迹方程的步骤:
建系、设点、列式、化简、确定点的范
围;
2、求轨迹方程的常用方法:
(1)直接法:
直接利用条件建立之间的关系-.■■■;
例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线二一的距离之和等于4,求P的轨迹方程.
(2)待定系数法:
已知所求曲线的类型,求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。
例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M(m0)(用凡),端点A、
B到x轴距离之积为2m以X轴为对称轴,过A、OB三点作抛物线,则此抛物线方程为
⑶定义法:
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由
曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;
例3、由动点P向圆'■-7"1作两条切线PAPB,切点分别为A、
B,/APB=600,贝V动点P的轨迹方程
例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线2—的距离小于1,则点M的轨迹方程是
例5、一动圆与两圆OM只+尸二1和oN:
F+齐-力+12二0都外切,则动圆圆心的轨迹为
⑷代入转移法:
动点'11.依赖于另一动点・丄」;.1的变化而变化,并且】又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示
\上,再将''弋入已知曲线得要求的轨迹方程:
例6、如动点P是抛物线、匕'】上任一点,定点为■':
'',点M分刊所成的比为2,则M的轨迹方程为
(5)参数法:
当动点':
"坐标之间的关系不易直接找到,也没有
相关动点可用时,可考虑将I「均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。
例7、过抛物线";的焦点F作直线.交抛物线于A、B两点,则
弦AB的中点M的轨迹方程是
题型七:
(直线与圆锥曲线常规解题方法)
一、设直线与方程;(提醒:
①设直线时分斜率存在与不存在;
②设为y=kx+b与x=my+n的区别)
二、设交点坐标;(提醒:
之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)
三、联立方程组;
四、消元韦达定理;(提醒:
抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)五、根据条件重转化;常有以下类型:
1“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:
需讨论K是否存在)
二0A_0B=心♦K?
-1二OA-0B=0二x1x2y1y^0
2“点在圆内、圆上、圆外问题”
=“向量的数量积大于、等
二斜率关系(KiK^0或
“直角、锐角、钝角问题”于、小于0问题”
―X1X2yiy2>0;
3“等角、角平分、角互补问题”
Ki二&);
4“共线问题”
(如:
AQ—QB=数的角度:
坐标表示法;形的角度:
距离转化法);
(如:
AOB三点共线二直线OA与OB斜率相等);
5“点、线对称问题”二坐标与斜率关系;
6“弦长、面积问题”
二转化为坐标与弦长公式问题(提醒:
注意两个面积公式的合理选择);六、化简与计算;
七、细节问题不忽略;
①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.
基本解题思想:
1、“常规求值”问题:
需要找等式,“求范围”问题需要找不
2、“是否存在”问题:
当作存在去求,若不存在则计算时自然
会无解;
3、证明定值问题的方法:
⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法:
⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明
5、求最值问题时:
将对象表示为变量的函数,几何法、配方法
(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;
6、转化思想:
有些题思路易成,但难以实施。
这就要优化方法,
才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;
7、思路问题:
大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。
典型例题:
例1、已知点F0,1,直线I:
y=—1,P为平面上的动点,过点P作直线i的垂线,垂足为q,且QPlQF.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知圆M过定点D0,2,圆心M在轨迹C上运动,且圆M
与x轴交于A、B两点,设|DA=h,|DB=I2,求上十旦的最大
〔2I1
值.
例2、如图半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆
心,且ODLAB,Q为线段OD勺中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不
(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(2)过D点的直线I与曲线C相交于不同的两点MN,且M在DN之间,设型=入,求入的取值范围.
DN
22
例3、设Fl、F2分别是椭圆C:
^2^2=1(a■b0)的左右焦点。
ab
(1)设椭圆C上点c3,f)到两点Fl、F2距离和等于4,写出椭圆
C的方程和焦点坐标;
(2)设K是
(1)中所得椭圆上的动点,求线段KFi的中点B的轨迹方程;
(3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kpM,kpN,试探究kpMKpn的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论。
例4、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆C的标准方程;
(H)若直线l:
y=kxm与椭圆C相交于A,B两点(AB不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:
直线l过定点,并求出该定点的坐标.
轴长
弧上对称
点。
例5、已知椭圆两焦点Fl、F2在y轴上,短
为2返,离心率为耳,P是椭圆在第一象限£一点,且Pf1PF^=1,过P作关于直线F1P\°的两条直线PAPB分别交椭圆于AB两亠
(1)求P点坐标;
(2)求证直线AB的斜率为定值;
典型例题:
例1、
(1)解’设尸0丿),则0(益-1),
*'■(Qj+1)Rf,2)二(工』一1口*厂2).即2(_y+l)二/一2(卩一1),即a2=4yf所以动点P的轨迹C的方程F二4丿-
㈡)解’设圆M的圆心坐标为上).则a1=Ab.圆M的半径为\MD\=問+0-2『.
圆M的方程为(—存『+卜一矿=去+("2)1
❖j=则(兀―界+沪二屮+少—2几整理得,只-2处+吧一4=0・
由①、②解得,x=a_2.
不妨设Aa—2,0,Ba2,0,
••h=•.a—24,l^=a24.
22
lll2lll2
当且仅当a=2,2时,等号成立.
当a=0时,由③得,
十=
O为原点,
为c,则
由图可知
故当a=2、2时,—旦的最大值为2.
l2l1
例2、解:
(1)以ABOD所在直线分别为x轴、y轴,
建立平面直角坐标系,
T|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=22212=2、5>|AB|=4.
•曲线C为以原点为中心,AB为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距
2a=2.5,—a=.5,c=2,b=1.
2
•曲线C的方程为0+y2=1.
5
(2)设直线l的方程为y=kx+2,
2
代入〒+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.
△=(20k)2-4X15(1+5k2)>0,得k2>3.
5
DMx1_)
=X
DNx2
X2
二DN,M在DN中间」XV1
综合得:
1/3WXV1.
2a=4,…2分
焦点坐标分别为
(T,0),(1,0)4分
中点为
(2)设KF1的
把
K
的
坐
标
代
22
入椭圆:
一中
得
(2x1)2
.(2y)2
-=1
7分
4
3
线
段
KF1
的
中
占八、、
B
的
轨迹方程
为
(X2)21-=18分
4
(3)
过原点的直线L与椭圆相交的两点MN关于坐标原点对称设M(Xo,y°)N(—x°,—y°),p(x,y),
(5分)
(H)设A(X1,y1),B(X2,y2),
又%『2=(kx
22
3(m-4k)
=2
34k
因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0),
kADkBD=-1,即一^1里1,
Xi—2X2—2
222
y〔y2Ex?
_2(治X2)4二0,
3(m-4k)4(m-3)16mk4o
4一u,
34k34k34k
22
.9m16mk4k=0.
解得:
--2k,m2--y,且均满足34k^m20,
1、当m^-2k时,I的方程为y=k(x—2),直线过定点(2,0),与已知
矛盾;
2、当m^=-2k时,I的方程为y=kx_2,直线过定点(2^0.
所以,直线I过定点,定点坐标为2,0.(14
分)
22
例5、解
(1)=1。
只(0,两,F2(0,-逅),设P(x0y0(x00>丫。
0〉
42
则启珂-心迈-%),?
^珂-心-.2-%),.PF:
P2=x2-(2-y:
)=1
22/2
r点P(X0,y°)在曲线上,则匹如=1..X:
二—y°
242
4_2
从而士产-(2")胡,得y。
=&,则点p的坐标为(1,2)
(2)由
(1)知PR//X轴,直线PAPB斜率互为相反数,设PB
斜率为k(k0),
]yM=k(x_1)
则PB的直线方程为:
y—Q=k(x_1)由<x2y2得
—=1
.24
(2k2)x22k(、、2-k)x(,2_k)2_4=0
yA-yB=-k(XA-1)-k(XB-1)=
8k
2k2
所以:
AB的斜率kAB二Z里二、2为定值Xa_Xb
|OF||FP|4,3
例6、解牛:
(1)由^-3=1|OF||FP|nise,得|OFI1=^1,由!
p日=g,fP,
2nis0
得tan一—3分
t
4:
:
:
t:
:
:
4,3.1:
:
:
tanj:
:
:
.3•v•[0,二]二夹角二的取值范围是
二)……6分
43
(2)设P(x0,y°),则FP(x°-c,y°),OF=(c,0).
OFFP=(X0-c,y°)(c,0)=(沟-c)c=t=(.3-1)C.x°=.3c
1Tr4/3
Sofp|OF|2。
尸2、、3.y°:
2c
分
'••IOP|=我+y;=Jw3c)2+(半)2彳2*3c半=2尿10分
•••当且仅当•.3c=空,即c=2时,|OP|取最小值26,此时,OP=(2•、3,2.3)
c
.OM(23,23)(0,1)=(2,3)
3
或OM”=迈(2¥'3-2梟)+(0,1)=(2,-1)12分
3
椭圆长轴
2a=J(2_2)2(3_0)2.(22)2(3_0)2=8.a=4,『=12
或2a=点2_2)2(_1_0)2(22)2(_1_0产=1...17.a二^17,b2二^^17
22
故所求椭圆方程为—y1.或x2y2114分
1612R7Fk
22~
椭圆C的方程为
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