应变能密度的分析.docx

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应变能密度的分析

3.2弹性应变能密度函数

3.2.1弹性应变能密度函数的定义

   弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。

根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界吸收热量，或者向外界发散热量。

现分析弹性体内任一有限部分∑的外力功和内能的变化关系，设弹性体内取出部分Σ的闭合表面为S，它所包围的体积为V。

以δW表示外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功①，δU表示在该微小变形过程中取出部分Σ的内能增量，δK表示动能增量，δQ表示热量的变化（表示为功的单位），根据热力学第一定律，则有

δW＝δK＋δU－δQ

   我们首先假设弹性体的变形过程是绝热的，也就是假设在变形过程中系统没有热量的得失。

再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程），则根据上式表示的热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。

这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为弹性变形能或弹性应变能。

由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，所以，卸载后，弹性应变能将全部释放出来。

下面，推导单位体积弹性应变能的表达式。

   仍以X、Y、Z表示单位体积的外力，表示作用在弹性体内取出部分Σ表面上单位面积的内力。

对上述的准静态加载过程，可以认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。

外力所作的功W包含两个部分：

一部分是体力X、Y、Z所作的功W1，另一部分是面力所作的功W2，它们分别为

（3.30）

以及

（3.31）

   于是，有

（3.32）

   因此，外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功δW可以表示为

（3.33）

   将平衡微分方程（1.66）和静力边界条件（1.68）代入上式，并利用散度定理，上式可化为

（3.34）

   利用几何方程（2.12），并注意到

，最终可推得相应的内能增量δU为

（3.35）

   定义函数u0（εij），使之满足

（3.36）

   该定义式称为格林（Green）公式。

将它代入式（3.35），有

（3.37）

   由上式可以看出，函数u0（εij）表示单位体积的弹性应变能，故称之为弹性应变能密度函数（或弹性应变比能函数），简称为应变能。

由于弹性应变能密度函数表示弹性体的内能概念，因此，它必然是一个势函数，故也称之为弹性势函数。

对式（3.36）取积分，可得

（3.38）

    这里，u0（εij）和u0（0）分别表示物体变形之后和未变形时的弹性应变能密度。

通常，取u0（0）=0，于是有

（3.39）

   根据格林公式（3.36），假如u0（εij）的具体函数形式能够确定的话，那么，弹性体的应力与应变之间的关系也就完全确定了。

这表明，弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。

若假设u0（εij）对εij有二阶以上的连续偏导数，则由格林公式（3.36），可进一步推得

（3.40）

   上式就称为广义格林公式。

将式（3.3）代入广义格林公式，可得

（3.41）

   这就证明了各向异性弹性体独立的弹性常数只有21个。

   以上我们讨论的是弹性体的准静态加载过程，如果弹性体在外力作用下处于运动状态，同样可以证明，弹性应变能密度函数仍具有式（3.39）所表示的形式。

此外，还可以证明，对于变形过程是等温的情形，弹性应变能密度函数也可以近似地表示为式（3.39）的形式。

3.2.2线弹性体的弹性应变能密度函数

   对线弹性体，它的应力与应变之间呈线性关系，如式（3.2）所示，因此，由式（3.39）可以发现，弹性应变能密度函数u0（εij）一定是应变张量分量的二次齐次函数。

根据齐次函数的欧拉（Euler）定理，有

（3.42）

代入格林公式（3.36），得

（3.43）

   这就是线弹性体弹性应变能密度函数u0（εij）的最一般表达形式。

对于各向同性弹性体，则有

（3.44）

或

（3.45）

   从表达式（3.44）或式（3.45）中可得到一个重要的结论：

各向同性弹性体的弹性应变能密度函数恒为正，而且分别为εij和σij的二次齐函数。

若将式（3.45）分别对各个应力分量求偏导数，则可推得

（3.46）

   上式表明：

对弹性势函数u0（σij）求各个应力分量的偏导数，就可以得到相应的各个应变张量分量。

从弹性应变能密度函数u0（εij）出发，我们还可以求出整个弹性体的总应变能U。

设一个弹性体的体积为V，则整个弹性体的总应变能U为

&nbs,p;&,;nbs,p;（3.47）

   以下，列出几个各向同性弹性体常用的应变能表达式：

3.2.3体变能和畸变能的概念

   在介绍体变能和畸变能的概念之前，我们首先对各向同性弹性体的本构方程（3.21）作一有意义的分解，即把应力张量和应变张量都分解为球量和偏量两个部分

σij＝sij﹢σmδij

εij＝eij﹢εmδij

   这里，σm＝σii/3＝（σx＋σy＋σz）/3为平均应力或静水应力，

εm＝εii/3＝（εx＋εy＋εz）/3为平均正应变。

于是，式（3.21）就改写为

   利用体积模量K=（3λ+2μ）/3，则上式变为

sij﹢σmδij＝2μεij+3Kεm（3.48）

将式（3.26）代入上式，可得

（3.49）

   由此可见，对各向同性弹性体，其变形可以分为相互独立的两个部分：

一部分是由各向相等的正应力（静水应力）引起的相对体积变形（体积应变）；另一部分则是由应力偏量作用所引起的物体几何形状的变化（即畸变）。

   现考察各向同性弹性体在两种特殊的应力状态作用下的弹性应变能：

一种对应的应力张量是球量，另一种对应的应力张量是偏量。

由于在以应力球张量描绘的应力状态作用下，各向同性弹性体仅产生体积变化，所以，称与之对应的弹性应变能为体变能；而在以应力偏量描绘的应力状态作用下，各向同性弹性体仅产生几何形状的变化，所以，称与之对应的弹性应变能为畸变能（或形变能）。

根据各向同性弹性体的弹性应变能密度函数的表达式（3.44），可推得单位体积的体变能（体变比能）u0V和畸变能（形变比能）u0d分别为

（3.50）（3.51）

   可以证明，各向同性弹性体的弹性应变能密度函数u0与体变比能u0V和形变比能u0d之间，满足以下的关系式：

（3.52）

   可见，在弹性变形阶段，各向同性弹性体的弹性应变能也可以分解为体变能和畸变能两个部分。

七年级英语期末考试质量分析

一、试卷分析：

本次试卷的难易程度定位在面向大多数学生。

该份试卷紧扣教材，突出重点，注重对基础知识和基本技能的考查。

二、题型分析：

1．单项选择

单项选择题共15道小题，知识覆盖面较广，重点、难点和疑点比较突出，注重能力考查。

考查以动词为主，兼顾其它词类，并考查句法和语言点。

考查的方式突出了语境。

2．完形填空

文章对学生的语言理解能力和综合运用能力提出了较高的要求，重点突出了对单复数和语言点的考查。

3．阅读理解

本大题包括五篇文章，安排较合理，难度适中，既有日常生活的题材，又有表格图片解说，符合新课程的要求，体现新课程的理念。

根据《新课程标准》五级有关读的目标描述，问题符合“能找出文章中的主题，理解故事的情节…”等目标描述。

阅读体现新课标所倡导的任务型教学的理念。

通过阅读短文，主要考查学生根据所获取的信息解决实际问题的能力。

阅读的难度不很大，完成任务的环节也比较简洁。

4．书面表达

书面表达中仿写与课本内容有着极大的相似之处，是对教材的深加工，做到了学以致用。

创新写作紧扣《课程标准》要求，结合《课程标准》有关写的目标描述，考查了学生综合应用语言的能力。

三、典型错误分析

第一大题单项填空中，错误率较高。

主要问题是对单词没理解透，平时讲过的语法没记住，不能灵活应用。

交际运用失分较多，主要是课文掌握不到位。

书面表达中考生的主要错误有：

1）在完成句子时不尊重原句的中文意思，改变了句意；

2）不会用英语思考，用英语表达的能力较差；

3）思路不清晰。

4）语言的基本功不扎实，病句较多；

（5）书写习惯不好，卷面不整洁。

书面表达部分中常见错误形式：

1．时态错误。

a.时态混淆b.时态前后不一致c.主谓不一致

2.句子结构错误。

3．单词错误如：

make写成mate等。

四、问题及对策

（一）主要问题

1、学校两极分化明显。

因此如何有效地抑制两极分化，对学有困难的学生的转化提高，大面积提高英语教学质量，对大多数学校来说，任务依然艰巨。

2、基础知识和基本技能不扎实，学生对一些基本词汇、语法、句型的掌握不够熟练，也就谈不上运用了。

因此，课堂教学中如何注重基础知识和基本技能的合理、有效地训练，应引起教师的高度重视。

3、学生综合运用语言的能力不强，试卷中有许多试题要求学生在一定的语境中灵活运用知识独立解决。

但考查的结果却暴露教学中的一个薄弱环节。

因此，在平时教学中如何培养学生综合运用语言的能力应引起教师的高度重视，而不是单纯地教师讲语法，学生背语法。

4、学生的书面表达中中国式的英语较多，拼写错误也较多，在日常教学中如何对学生进行有效的写的训练仍是教师需要考虑的问题。

（二）对策及建议

英语老师要更好地把握《英语课程标准》对日常教学的指导。

英语测试强化“突出语篇，强调应用，注重交际”这一原则，基础知识的考查从注重语言形式转变为注重语言意义，并要求在特定的语境中理解其特定的含义，在情景设计上更加灵活和实用。

因此教师要提高教学质量，必须要在注重语法知识教学的同时，更应该注重增加综合性与语境化的因素。

这就要求在平时的教学中，注重语言的应用价值。

1、抓好听力训练关。

注重培养学生良好的听、说、读、写的习惯，把习惯变成能力。

按《课程标准》所规定的有关五级听的要求，加大听力训练量。

在教学中不仅要培养学生的听力技能技巧,还要扩大听力资源，使学生能尽可能多的获取语言输入量，使其听力水平逐步提高。

2、要求教师在平时教学中积极创设情景，促进口语交流。

学习语言的目的在于正确使用语言。

因此，在教学中要结合学生的实际，编写有助于开展口语交流活动的材料，要设法创设交流活动情景，以激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与语言实践活动，培养学生自主学习的能力。

3、强化阅读，正确引导，开阔视野。

随着《课程标准》的实行，对学生在阅读方面的要求越来越高。

而中考对考生阅读理解能力的考查，已由过去五个W的浅层考题过渡到找出短文主旨、推断深层涵义、文中细节和猜词解义，特别要注重语篇和应用。

为此，在初中阶段必须适应这一要求，加大阅读量，提高阅读速度，提高考生的阅读理解水平，而且要帮助考生掌握阅读技巧。

4、循序渐进，加强训练，提高写作技巧。

在课堂教学中，教师按“句---段---篇”的训练程序，由易到难，循序渐进。

在平时的训练时，要分阶段进行，有内容，有侧重。

要学生学会谋篇布局的能力，找准切入点。

要学会互评作文。

同时教师应加强辅导，帮助学生掌握一些写作技巧，注意书写习惯，增强写作信心，从而提高学生的写作能力。

考试已经过去了，但它给我带来的思考却时刻伴随我，由于这学期在班级管理和教学上力不从心，出现了一些问题，教学效果很不理想，不能这样下去，我要克服困难，努力提高学生的能力。

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