高二数学上学期第一次月考试题重点平行班.docx
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高二数学上学期第一次月考试题重点平行班
陕西省西安市长安区2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题(重点、平行班)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.“若,则”的逆否命题是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
2.设,为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知,命题,则( )
A.是假命题,
B.是假命题,
C.是真命题,
D.是真命题,
4.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于( )
A.72°B.90°C.108°D.180°
5.已知向量,,且∥,则实数的值等于( )
A.B.-2C.0D.或-2
6.已知非零向量,不共线,如果,,,则四点( )
A.一定共圆B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面D.肯定不共面
7.已知,则最大值为( )
A.B.C.D.
8.如图,60°的二面角的棱上有两点,直线分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于.已知,则的长为( )
A.B.7C.D.9
9.如图,将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角,若之间的空间距离为,则=( )
A.﹣1B.1C.D.
10.若顶点的坐标分别为(-4,0),(4,0),边上的中线长之和为30,则的重心的轨迹方程为()
A.B.
C.D.
11.设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
12.已知椭圆的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分。
请把答案填在答题纸的相应空格中)
13.已知实数4,,9构成一个等比数列,则椭圆的焦距为
14.设有两个命题,:
关于的不等式的解集是;
函数的定义域为.如果为真命题,为假命题,则实数的取值范围是 .
15.如图,空间四边形中,分别是对边的中点,点在线段上,分所成的定比为2,,则的值分别为 .
16.如图,在平面直角坐标系中,已知分别为椭圆的右、下、上顶点,是椭圆的右焦点.若,则椭圆的离心率是 .
17.是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果,那么.
(2)如果,那么.
(3)如果,那么.
(4)如果,那么与所成的角和与所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
三、解答题:
(本大题共5小题,共65分。
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请在答题纸的相应位置作答)
18.(12分)已知,命题对任意,不等式恒成立;命题存在,使得成立。
(1)若为真命题,求的取值范围;
(2)当时,若为假,为真,求的取值范围.
19.(12分)如图,三棱锥中,平面
,,。
分别为线段
上的点,且。
.
(1)证明:
平面;
(2)求二面角的余弦值。
20.(12分)已知椭圆的两个焦点是,,且椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过椭圆的左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点,求线段的长。
21.(14分)如图:
等边三角形所在的平面与所在的平面互相垂直,分别为边中点.已知,,
。
(1)证明:
平面;
(2)证明:
;
(3)求点到平面的距离.
22.(14分)已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线,交椭圆于两点,点在椭圆上,坐标原点恰为的重心,求直线的方程.
数学试题答案(理科重点平行)
一、选择题:
CACBBCDCDBAA
二、填空题
13.14.15.
16.17.
(2)、(4)
三、解答题:
18.(12分)已知m∈R,命题p:
对任意x∈[0,1],不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立;命题q:
存在x∈[﹣1,1],使得m≤ax成立.
(1)若p为真命题,求m的取值范围;
(2)当a=1时,若p且q为假,p或q为真,求m的取值范围.
解:
(1)对任意x∈[0,1],不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立,∴﹣2≥m2﹣3m,解得1≤m≤2.
(2)a=1时,存在x∈[﹣1,1],使得m≤ax成立.∴m≤1.
∵p且q为假,p或q为真,
∴p与q必然一真一假,
∴或,
解得1<m≤2或m<1.
∴m的取值范围是(﹣∞,1)∪(1,2].
19.(12分)如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面
ABC,PC=3,∠ACB=.D,E分别为线段AB,BC上的点,
且CD=DE=,CE=2EB=2.
(1)证明:
DE⊥平面PCD;
(2)求二面角A-PD-C的余弦值
(1)由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,故PC⊥DE,CE=2,CD=DE=得△CDE为等腰直角三角形,故CD⊥DE.
由PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,
故DE⊥平面PCD.
(2)由
(1)知,△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=,如图,过D作DF垂直CE于F,
易知DF=FC=FE=1,
又已知EB=1,
故FB=2.
∠ACB=得DF∥AC,==,
故AC=DF=.以C为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A,E(0,2,0),D(1,1,0),=(1,-1,0),=(-1,-1,3),=.设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,n1·=0,得
故可取n1=(2,1,1).
由
(1)可知DE⊥平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为,即n2=(1,-1,0).
从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为
cos〈n1,n2〉==,
所求二面角A-PD-C的余弦值为.
20.(12分)已知椭圆C的两个焦点是F1(﹣2,0),F2(2,0),且椭圆C经过点A(0,).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过椭圆C的左焦点F1(﹣2,0)且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q两点,求线段PQ的长
解:
(1)由题意可知椭圆焦点在x轴上,设椭圆方程为(a>b>0),
由题意可知,∴a=3,b=.
∴椭圆的标准方程为=1.
(2)直线l的方程为y=x+2,
联立方程组,得14x2+36x﹣9=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=﹣,x1x2=﹣,
∴|PQ|=|x1﹣x2|===.
21.(14分)如图:
等边三角形PAB所在的平面与Rt△ABC所在的平面互相垂直,D、E分别为AB、AC边中点.已知AB⊥BC,AB=2,BC=2
(Ⅰ)证明:
DE∥平面PBC;
(Ⅱ)证明:
AB⊥PE;
(Ⅲ)求点D到平面PBE的距离.
(Ⅰ)证明:
∵D、E分别为AB、AC边中点,
∴DE∥BC,
∵DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
∴DE∥平面PBC;
(Ⅱ)证明:
连接PD,则
∵AB⊥BC,DE∥BC,
∴AB⊥DE,
∵等边三角形PAB,D为AB的中点,
∴PD⊥AB,
∵PD∩DE=D,
∴AB⊥平面PDE,
∵PE⊂平面PDE,
∴AB⊥PE;
(Ⅲ)解:
∵平面PAB⊥平面ABC,PD⊥AB,
∴PD⊥平面ABC,
∵D为AB中点,AB=2,
∴PD=,
∴VP﹣ABC==2,
∵E是AC的中点,
∴S△ABE=,
∴S△BDE=,
∴VP﹣BCE=VP﹣ABC=,
∵BE==2,∴PE==,
∵B到PE的距离为=,
∴S△BPE==,
设点D到平面PBE的距离为h,则=,∴h=.
法二:
空间向量法
22.(14分)已知椭圆C:
=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),点P(2,)在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F的直线,交椭圆C于A、B两点,点M在椭圆C上,坐标原点O恰为△ABM的重心,求直线l的方程.
解:
(Ⅰ)由题意可得c=2,左焦点F1(﹣2,0),|PF|=,
所以|PF1|==,即2a=|PF|+|PF1|=2,
即a2=6,b2=a2﹣c2=2,
故椭圆C的方程为+=1;
(Ⅱ)显然直线l与x轴不垂直,
设l:
y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2).
将l的方程代入C得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,
可得x1+x2=,
所以AB的中点N(,),
由坐标原点O恰为△ABM的重心,可得M(,).
由点M在C上,可得15k4+2k2﹣1=0,
解得k2=或﹣(舍),即k=±.
故直线l的方程为y=±(x﹣2).
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- 数学 上学 第一次 月考 试题 重点 平行
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