第3讲枚举法一完整版.docx
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第3讲枚举法一完整版
第3讲枚举法一
兴趣篇
1.
(1)1-20共有多少个数?
(2)20-40共有多少个数?
答案:
(1)20个;
(2)21个
解答:
(1)20-1+1=20(个)
(2)40-20+1=21(个)
2.如图3-1所示,桌子上有一些围棋,共有多少枚黑棋?
答案:
16枚
3.★墨莫在一张纸上画了一些图形,如图3-2所示,每个图形都是由若干条线段连接组成的,请你数一数,纸上一共有多少条线段?
(最外面的大长方形是纸的边框,不算在内)
3.答案:
24条
解答:
整个纸片上有6个图形,为了便于说明,把各个图形编号为A、B、C、D、E、F,如下图所示
A号图形由5条线段连成,B号图形由3条线段连成,C号图形由4条线段连成,D号图形由3条线段连成,E号图形由5条线段连成,F号图形由4条线段
连成,
因此,这些图形中一共有线段5+3+-4+3+5+4=24(条).
4.★小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游.要走遍这三个景点,他一共有多少种不同的游览顺序?
答案:
6种
解答:
小明游览这三个旅游景点共有6种不同路线,
如下图所示:
5.★★小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个去旅游,小王有多少种不同的选择?
如果小王想去其中的3个地方,又有多少种选择?
答案:
6种;4种
解答:
(1)①如果小王去青岛,那么他还要从三亚、桂林、杭州中选择一个去旅游,有3种情况,即:
青岛与三亚,青岛与桂林,青岛与杭州;
②如果小王不去青岛而去第二个城市三亚,那么他还要从桂林、杭州中选择一个去旅游,有2种情况,即:
三亚与桂林,三亚与杭州;
③如果小王青岛、三亚都不去,那么池只能去桂林、杭州,有1种情况.
如下图所示:
综上所示,小王的选择有3+2+1=6(种)
(2)从反面思考问题,4个城市中选择了3个。
相当于选出一个城市不去,因此每个城市都有可能被小王排除而选择其他3个城市游览方案自然也有4种了。
6.★★小烧饼每个5角钱,大烧饼每个2元钱.墨莫一共有6元钱,如果把这些钱全部用来买烧饼,一共有多少种不同的买法?
答案:
4种
解答:
由于买的大烧饼不能超过3个,则分别考虑买的大烧饼有0个、1个、2个、3个这四种情况:
如果没有买大烧饼,他的6元钱就都用来买小烧饼了,小烧饼就要买12个;、
如果买了1个大烧饼,他还剩6-2=4(元)就只能买8个烧饼;
如果买了2个大烧饼,他还剩6-2×2=2(元),只能买4个烧饼;
④如果买了3个大烧饼,此时他的钱都用完了,不能再买小烧饼了。
即:
因此,如果墨莫把钱都花完,就可以有以上4种买法.
7.★★在一次知识抢答比赛中,小高和墨莫两个人一共答对了10道题,并且每人都有答对的题目,如果每道题答对得1分,那么小高和墨莫分别可能得多少分?
请把所有的可能填写到下面的表格里.
┏━━━━━━━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┓
┃小高的总分┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
┣━━━━━━━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫
┃墨莫的总分┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
┗━━━━━━━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┛
答案:
解答:
由题意知两人得分之和是10分.由于其中一人至少得1分,所以另外一个人最多得9分,我们不妨从小高考虑起,依次考虑当小高的得分为1~9分
时,墨莫的得分情况,即可得到答案.
8.★★两个海盗分20枚金币.请问:
(1)如果每个海盗最少分到5枚金币,一共有多少种不同的分法?
(2)如果每个海盗最多分到16枚金币,一共有多少种不同的分法?
答案:
(1)11种;
(2)13种
解答:
(1)由两个海盗每人最少分得5枚金币,最多分得20-5=15(枚)金币.
我们把两个海盗可能分得金币的情况填入下面的表格中:
数一数即可得到,这样的分法有11种.
(2)医每个海盗最多分得16枚金币,那么每人最少分得20-16=4(枚)金币.
我们同样可以把两个海盗可能分得金币的情况填入下面的表格中:
数一数即可得到,这样的分法有13种.
9.★★有15个玻璃球,要把它们分成两堆,一共有几种不同的分法?
这两堆球的个数可能相差几个?
9.答案:
7种;可能相差13,1l,9,7.5,3,1个
解答:
两堆玻璃球没有次序之分,但这两堆玻璃球中一定有一堆较多而另一堆较少,或者两堆一样多(实际上不会出现两堆一样多的情况,因为玻璃球总数15是奇数).
此时较少的一堆中至少有1个球,至多有7个球,我们根据两堆之和有15个球列出下表
从表格中看出,一共有7种分球的方法,两堆中
球的个数可能相差14-1=13(个),13-2=11(个),12-3=9(个),11-4=7(个),10-5=5(个),9-6=3(个),8-7=1(个).
10.★★张奶奶去超市买了12盒光明牛奶,这些牛奶需要装在2个相同的袋子里,并且每个袋子最多只能装10盒.张奶奶一共有几种不同的装法?
答案:
5种
解答:
由每个袋子最多只能装10盒,装得少的“小袋子”中最少放2盒牛奶,而共买了12盒牛奶,则装得少的“小袋子”中最多放6盒牛奶,那么就有2盒,3盒,4盒,5盒,6盒这5种情况.
把相应的分法填人下表
以上就是所求的5种分牛奶的方法,
拓展篇
1.★★如图3-3,小高画了一个小房子,如果每画一笔都不能拐弯,那么她最少画了几笔?
答案:
31笔
解答:
图中两扇窗户都只能单独画,门也要单独画,所以我们可以把图形分成3部分看:
先数③,由于每一笔都不能拐弯,一笔只能画出一条线段,所以③要画4笔;
再看②,每扇窗户的外框需要画4笔,里面的一横一竖还要画2笔,每扇窗户一共要画6笔,则②共要画6×2=12(笔);
最后看①,烟囱需画4笔,去掉烟囱后的图形至少要画11笔,则①最少要画4+11=15(笔).
综上所述,把所有笔画都加起来一共要画4+
12+15=31(笔).
2.★★小高把8块绿豆糕摆成如图3-4所示的图形,让墨莫挑两块挨在一起的绿豆糕,请问:
墨莫一共有多少种不同的挑法?
答案:
7种
解答:
将绿豆糕分别标上编号1、2、3、4、5、6、7、8.
从左上往右下数,挨在一起的两块绿豆糕有:
1和2,2和3,3和4,4和5.
从左下往右上数,挨在一起的两块绿豆糕有:
8和7,7和6,6和3.
一共有7种不同的挑法.
3.★★要沿着如图3-5所示的道路从A点走到B点,并且每段路最多只能经过一次,一共有多少种不同的走法?
图3—5
答案:
4种
解答:
从A点出发,可以先向上走,也可以先向右走。
①若从A点出发向上走,而遇到岔路时可以向上也可以向右.但这两种方式都只有一种走法到达B,否则就有路线会重复经过,如下图所示:
若从A出发向右走,则遇到岔路口时可以向上也可以向左,如下图所示,共有2种符合题意的走法
综上所述,从A点到B点共有4种符合题意的走法。
4.★★小高、萱萱、卡莉娅三个人去看电影,他们买了三张座位相邻的票.他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法?
答案:
6种
解答:
一共有2+2+2—6(种)安排座位的方法,如
下图所示:
5.★★小李摆摊卖货,小木偶每个卖1元,大木偶每个卖2元,他今天一共卖出了5个木偶.小李今天一共可能卖了多少钱?
答案:
5元、6元、7元、8元、9元或10元
解答:
小李可能卖的钱数有5元,6元,7元,8元,9
无以及10元,如下表所示:
6.★★
(1)老师给小高14个相同的作业本,如果小高把这些本子全都分给墨莫和卡莉娅,有多少种不同的分法?
(可以只分给一个人)
(2)老师给小高14个相同的作业本,如果小高只需要把这些本子分成2堆,又有多少种不同的分法?
答案:
(1)15种;
(2)7种
解答:
(1)墨莫分得的作业本个数可以是从O到14本,一共有15种情况,
当墨莫分完后,剩下的作业本就全部归卡莉娅了,所以一共就会有15种不同的分法:
(2)分成2堆时,每堆至少要有l本作业本.
因此从表格中可以看出,14本作业本共有7种不同的分法:
7.★★盘子里一共有20颗花生,小高和墨莫一起吃.每人一口吃2颗,两个人一起把花生吃完(每人至少吃一口).请列举出他们吃花生数量的所有情况.
答案:
他们吃花生数量的所有情况如下表:
解答:
注意到每人一口吃2颗花生,所以每个人吃的花生颗数都是偶数.我们对小高吃的花生颗数进行枚举,他可能吃了2、4、6、8、10、12、14、16、18颗花生,对应可求出墨莫吃的颗数,
8.如图3-6,有7个按键,上面分别写着:
1~7这7个数字,请问:
(1)从中选出2个按键,使它们上面数字的差等于2,一共有多少种选法?
(2)从中选出2个按键,使它们上面数字的和大于9,一共有多少种选法?
图3-6
答案:
(1)5种;
(2)6种
解答:
(1)按键上最小的数字是1,则减数最小是1;按键上最大的数字是7,则减数最大是7-2=5;因此减数共有1、2、3、4、5这5种情况,则按键共有5
种取法:
(2)如果选出的较小的数是1,和最大为1+7=8,不满足要求.
如果较小的数是2,和最大为2+7—9,不满足要求,
如果较小的数是3,和要大于9,另一个数只能是7.
如果较小的数是4,则另一个数可能是6、7.
如果较小的数是5,则另一个数可能是6、7.
如果较小的数是6,则另一个数只能是7.因此共有6种取法:
9.小高、墨莫、卡莉娅三个人一共有7本课外书,每个人至少有一本,小高、墨莫、卡莉娅分别有几本课外书?
请写出全部可能的情况.
答案:
小高、墨莫、卡莉娅三个人课外书本数如下表所示,共有15种可能:
解答:
首先,小高至少有1本课外书.此时,墨莫和卞7-1=6(本)课外书,又每人至少有1本,因此列出表来共有5种情况,如图1所示.又墨莫和卡莉娅是两个不同的人,因此本题的枚举有顺序.
类似地,可以得到小高有2本、3本、4本、5本课外书时,墨莫和卡莉娅两人的课外书的数量,分别如图2、图3、图4、图5所示.但小高是不可能有6本课外书的,否则墨莫和卡莉娅两人一共只有1本课外书,与题意矛盾,综上所述,三人的课外书一共有5+4+3+2+1=15(种)
10.小王有5个相同的飞机模型,他要把它们放在一个3层的货架上,每层至少要放1个,小王一共有多少种不同的放法?
过了几天,他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上,每层最少要放5个,这时有多少种不同的放法?
答案:
6种;10种
解答:
(1)
(2)先在每层都放5辆,还剩下18-5×3-3辆没有放.
因此共有4+3+2+1=10(种)不同的放法,只要把上表中的数字都加上5,就能够得到所有可能的放法,如下表所示:
所以一共有10种不同的放法.
11.
(1)小明买回来一袋糖豆,他数了一下,一共有10个.现在他要把这些糖豆分成3堆,一共有多少种不同的分法?
(2)如果小明有两袋糖豆,每袋10个,要把这两袋糖豆分成3堆,每堆最少要有5个,一共有多少种不同的分法?
答案:
(1)8种;
(2)5种
解答:
(1)共有4+3+1=8(种)分法,如下表所示:
(2)2袋共有2×10-20(个)糖豆,先给每堆都放人5个,则已经分出去5×3—15(个)糖豆,还剩下5个糖豆要分.5个糖豆往3堆中放,按照小堆个数从小到大的顺序枚举如下:
只要把上表中的数字都加上5,就能够得到所有可能的放法,所以一共有5种不同的放法.
12.A、B、C、D、E这五个人一起回答一道题目,结果只有两个人答对了,所有可能的回答情况一共有多少种?
答案:
10种
解答:
①如果A答对了,那么另一个答对的人可能是B、C、D、E,共有4种情况.
②如果A答错了,而B答对了,那么另一个答对的人可能是C、D、E,共有3种情况.
③如果A、B答错了,而C答对了,那么另一个答对的人可能是D、E,共有2种情况.
④如果A、B、C答错了,而D答对了,那么另一个答对的人只能是E,共有1种情况
因此两人答对共有4+3+2+1=10(种)可能,
13.
(1)有2个相同的白球和1个红球,如果把这3个小球排成一排,有多少种不同的排法?
(2)有2个相同的白球和3个相同的红球,如果把这5个小球排成一排,有多少种不同的排法?
答案:
(1)3种;
(2)10种
解答:
(1)由于红球只有1个,只要它的位置确定了,其他两个白球兢确定了,则共有3种不同的排法:
(白,白,红);(白,红,白);(红,白,白).
(2)可以先考虑个数比较少的白球,因为只要两个白球的位置确定了,红球就确定了.
如果第一个白球放在第一位,那么另外一个白球可以放在第二、三、四、五位,有4种排法;如果第一个白球放在第二位,那么另外一个白球可以放在第三、四、五位,有3种排法;如果第一个白球放在第三位,那么另外一个白球可以放在第四、五位,有2种排法;如果第一个白球放在第四位,那么另外一个白球可以放在第五位,有1种排法;第一个白球不可能放在第五位,
综上所述,2个白球3个红球排成一排,共有4+3+2+1=10(种)不同的排法.
14.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛,有多少种不同的选法?
如果已经选出了甲、乙、丙、丁,现在要把他们分成两组,进行双打比赛,有多少种不同的分法?
答案:
15种;3种
解答:
(1)要从5个人中去掉一个不选,那只有5种可能性,分别是去掉甲、乙、丙、丁、戊.所以从5个小朋友中选4个人有5种选法.
(2)与甲搭档的只可能是乙、丙、丁3个人中的一人,也就是说只有甲乙(丙丁),甲丙(乙丁),甲丁(乙丙)3种分组方式.
超越篇
1.小明参加了一次小测验,每个小题2分,每个大题5分,两种题目各有3道.小明的得分一共有多少种不同的可能?
答案:
16种
解答:
由于小题和大题各有3道,则小明答对小题的数目可能是O道、1道、2道、3道,答对大题的数目也是如此,对于以上的4种情况,可以列一个总表来
表示:
在上面的表格中,小明的总分各不相同,因此一共有4×4=16(种)不同的得分。
2.几个小朋友在屋子里玩石头剪子布,墨莫在门外问他们一共有几个人,其中一个小朋友说:
“不能直接告诉你人数,不过我们现在一共伸出来了22根手指,并且有3个人出石头,”请问:
屋子里可能有几个人在玩游戏?
(出石头的不伸手指,出剪子的伸2根,出布的伸5根)
答案:
14人、11人或8人
解答:
出石头的有3人,而出石头的不伸手指头,那么伸出的这22根手指头就只能是出剪子和出布的人伸出的,与出石头的人无关.
由于出剪子的伸2根手指头,出布的伸j根手指头,而一共伸出了22根手指头,因此出剪子的不超过11个,出布的不超过4个.
当出布的有O人时,伸出的22根手指头都是出剪子的人伸出的,那么出剪子的人有22÷2=11(个);
当出布的有1人时,出剪子的人一共伸出了22-5=17(根)手指头,但是出剪子的每人伸出2根手指头,而17是奇数,这就出现了矛盾;
当出布的有2人时,出剪子的人一共伸出了22-5×2=12(根)手指头,那么出剪子的人就有12÷2=6(个);
当出布的有3人时,出剪子的人一共伸出了22-5×3=7(根)手指头.7也是奇数,于是又出现矛盾;
当出布的有4个人时,出剪子的人一共伸出了22-4×5=2(根)手指头,那么此时出剪子的人就只有1个.
综上所述,出石头、出布和出剪子的人数可能是:
对应的屋里总人数也有3种情况:
3+0+11=
14(人),或3+2+6=11(人),或3+4+1=8(人).
3.一次小测验一共4道题,最初每位同学都有4分的基础分,然后每答对一道题加3分,每答错一道题扣1分,不答不扣分,同学们的得分可能是多少?
答案:
目得分可能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、13或16分,有14种惰况
解答:
一共有4道题目,那么答对的题目可能是O~4道.
如果答对了O道题,则答错的和不答的一共有4道题,有5种情况:
类似地,可以得到答对1道、2道、3道、4道题时的所有得分情况:
综上所述,一共有5+4+3+2+1=15(种)答题结果.其中4道题都不答,与答对1道答错3道得分一样,都是4分,而其他的答题结果对应的得分各不相同,因此每位同学的得分有14种可能,分别是:
O、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、13或16分.
4.现在有1分、2分、5分的硬币各5枚,要用这些硬币凑出2角钱,一共有多少种不同的凑法?
答案:
8种
解答:
因1分和2分的硬币加在一起只有1角5分,要凑出2角,则5分的硬币至少有1枚.当5分硬币只取1枚时,1分和2分的硬币必须全都选出,才能凑够2角钱,有1种凑法.当取2枚5分硬币时,我们还要用5枚1分硬币和5枚2分硬币凑出1角钱,有3种凑法:
当取3枚5分硬币时,还要用5枚1分硬币和5枚2分硬币凑出5分钱,也有3种凑法:
当取4枚5分硬币时,已经凑够2角钱了,1分和2分硬币只能一个都不取,不可能取5枚5分硬币,否则就超过2角钱了,
综合上面4种情况可得,凑出2角钱一共有1+3+3+1=8(种)凑法.
5.如图3-7,妈妈在5张卡片上分别写了1、1、1、2、2这5个数字,让小明从里面挑出3张来组成一个三位数.小明可能组成多少个不同的三位数?
图3-7
答案:
7个
解答:
5张卡片中任选出3张卡片,可能这三个都是1,或是两个1-个2,或是一个1两个2.
当选出的3张卡片上写有三个1时,它们只能组成111这1个三位数;
当选出的卡片上写有两个1-个2时,它们能组成112、121、211这3个三位数;
当选出的卡片上写有一个1两个2时,它们能组成122、212、221这3个三位数,
综合以上3种情况,选出3张卡片一共能组成1+3+3=7(个)三位数.
6.刘老师在某一个星期中要去3次健身馆,但是为了防止运动过量,不能连续两天都去.刘老师一共有多少种满足条件的时间安排?
答案:
10种
解答:
刘老师—共有10种满足条件的时间安捧.如下表:
7.在算盘上,用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数?
答案:
14个
解答:
因其是四位数,所以千位上至少有一颗珠子,
①若干位上有2颗珠子,则可以表示2000、6000这2个数;
②若千位上只有l颗珠子,则可以表示1001、1005、1010、1050、1100、1500、5001、5005、5010、5050、5100、5500这12个数;
所以用两颗珠子可以表示2+12—14(个)不同的四位数.
8.一座99层摩天大楼的电梯上,有显示楼层的液晶屏,如图3-8,由于屏幕受到损坏,显示左边数字的7根线段中有1根不能亮了,显示右边数字的7根线段中有3根不能亮了,请问:
电梯在运行的过程中,最多还有多少个楼层的
数字显示是正确的?
图3-8
答案:
14个
解答:
十位有1根坏了,最多有1、3、4、5、7和9,共6个数字显示正确;
个位有3根坏了,最多是1、7或1、4,共2个数字显示正确.
又9层以下十位不显示,所以最多有14个楼层的数字显示是正确的:
即1、11、31、41、51、71、91、4、14、34、44、54、74、94;
或1、11、31、41、51、71、91、7、17、37、47、54、74、97.
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