步步高大一轮复习讲义数学13.docx
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步步高大一轮复习讲义数学13
1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
量词名词
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
3.全称命题和特称命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x,有p(x)成立
∀x∈M,p(x)
特称命题
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
∃x0∈M,p(x0)
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题p∧q为假命题,则命题p、q都是假命题.( × )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.( √ )
(4)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词.( × )
(5)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( √ )
(6)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反.( √ )
1.设a,b,c是非零向量.已知命题p:
若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨qB.p∧q
C.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)
答案 A
解析 由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命题.故选A.
2.已知命题p:
对任意x∈R,总有|x|≥0;q:
x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧(綈q)B.(綈p)∧q
C.(綈p)∧(綈q)D.p∧q
答案 A
解析 由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,故綈q为真命题,所以p∧(綈q)为真命题.
3.(2015·浙江)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0
答案 D
解析 写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃,并且否定结论,注意把“且”改为“或”.故选D.
4.(2015·山东)若“∀x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y=tanx在
上是增函数,∴ymax=tan
=1.依题意,m≥ymax,即m≥1.
∴m的最小值为1.
5.(教材改编)给出下列命题:
①∀x∈N,x3>x2;
②所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
③∃x0∈R,x
-x0+1≤0;
④存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
则以上命题的否定中,真命题的序号为________.
答案 ①②③
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
(1)已知命题p:
m,n为直线,α为平面,若m∥n,n⊂α,则m∥α,命题q:
若a>b,则ac>bc,则下列命题为真命题的是( )
A.p∨qB.綈p∨q
C.綈p∧qD.p∧q
(2)已知命题p:
若x>y,则-x<-y;命题q:
若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)命题q:
若a>b,则ac>bc为假命题,命题p:
m,n为直线,α为平面,若m∥n,n⊂α,则m∥α也为假命题,因此只有“綈p∨q”为真命题.
(2)当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.
当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.
由真值表知:
①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题.故选C.
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤:
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题p、q的真假;
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
(1)已知命题p:
对任意x∈R,总有2x>0;q:
“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.(綈p)∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.p∧(綈q)
(2)若命题p:
关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x>-
},命题q:
关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a 答案 (1)D (2)綈p、綈q 解析 (1)p为真命题,q为假命题,故綈p为假命题,綈q为真命题.从而p∧q为假,(綈p)∧(綈q)为假,(綈p)∧q为假,p∧(綈q)为真,故选D. (2)依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p∧q”为假、“p∨q”为假,“綈p”为真、“綈q”为真. 题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、特称命题的真假 例2 (1)下列命题中,为真命题的是( ) A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,-1 C.∃x0∈R, <0D.∃x0∈R,tanx0=2 (2)下列四个命题 p1: ∃x0∈(0,+∞), < ; p2: ∃x0∈(0,1),log x0>log x0; p3: ∀x∈(0,+∞), x>log x; p4: ∀x∈ , x x. 其中真命题是( ) A.p1,p3B.p1,p4 C.p2,p3D.p2,p4 答案 (1)D (2)D 解析 (1)∀x∈R,x2≥0,故A错;∀x∈R,-1≤sinx≤1,故B错;∀x∈R,2x>0,故C错,故选D. (2)根据幂函数的性质,对∀x∈(0,+∞), x> x,故命题p1是假命题;由于log x-log x= - = ,故对∀x∈(0,1),log x>log x,所以∃x0∈(0,1),log x0>log x0,命题p2是真命题;当x∈ 时,0< x<1,log x>1,故 x>log x不成立,命题p3是假命题;∀x∈ ,0< x<1,log x>1,故 x x,命题p4是真命题. 故p2,p4为真命题. 命题点2 含一个量词的命题的否定 例3 (1)命题“存在实数x,使x>1”的否定是( ) A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 (2)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: ∀x∈A,2x∈B,则綈p为: ______________. 答案 (1)C (2)∃x0∈A,2x0∉B 解析 (1)利用特称命题的否定是全称命题求解,“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.故选C. (2)命题p: ∀x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定应为特称命题. ∴綈p: ∃x0∈A,2x0∉B. 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. (1)下列命题中的真命题是( ) A.∃x∈R,使得sinx+cosx= B.∀x∈(0,+∞),ex>x+1 C.∃x∈(-∞,0),2x<3x D.∀x∈(0,π),sinx>cosx (2)(2015·课标全国Ⅰ)设命题p: ∃n∈N,n2>2n,则綈p为( ) A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n 答案 (1)B (2)C 解析 (1)因为sinx+cosx= sin(x+ )≤ < ,故A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;因为x∈(0, )时有sinx (2)将命题p的量词“∃”改为“∀”,“n2>2n”改为“n2≤2n”. 题型三 由命题的真假求参数的取值范围 例4 已知p: ∃x∈R,mx2+1≤0,q: ∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( ) A.m≥2B.m≤-2 C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2 答案 A 解析 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0; 当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2 因此由p,q均为假命题得 ,即m≥2. 引申探究 1.本例条件不变,若p∧q为真,则实数m的取值范围为________. 答案 (-2,0) 解析 依题意,当p是真命题时,有m<0; 当q是真命题时,有-2 由 可得-2 2.本例条件不变,若p∧q为假,p∨q为真,则实数m的取值范围为________________. 答案 (-∞,-2]∪[0,2) 解析 若p∧q为假,p∨q为真,则p、q一真一假. 当p真q假时 ∴m≤-2; 当p假q真时 ∴0≤m<2. ∴m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2). 3.本例中的条件q变为q: ∃x∈R,x2+mx+1<0,其他不变,则实数m的取值范围为________. 答案 [0,2] 解析 依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>0, ∴m>2或m<-2. 由 得0≤m≤2, ∴m的取值范围是[0,2]. 思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. (1)已知命题p: “∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q: “∃x∈R,使x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.{a|a≤-2或a=1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤-2或1≤a≤2} D.{a|-2≤a≤1} (2)命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为________. 答案 (1)A (2)[-2 ,2 ] 解析 (1)∵“p且q”为真命题,∴p、q均为真命题, ∴p: a≤1,q: a≤-2或a≥1, ∴a≤-2或a=1. (2)因题中的命题为假命题,则它的否定“∀x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,因此只需Δ=9a2-4×2×9≤0,即-2 ≤a≤2 . 1.常用逻辑用语及其应用 一、命题的真假判断 典例1 已知命题p: ∃x∈R,x2+1<2x;命题q: 若mx2-mx-1<0恒成立,则-4 A.“綈p”是假命题 B.q是真命题 C.“p或q”为假命题 D.“p且q”为真命题 解析 由于x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即x2+1≥2x,所以p为假命题; 对于命题q,当m=0时,有-1<0,恒成立, 所以命题q为假命题. 综上可知: 綈p为真命题, p且q为假命题,p或q为假命题,故选C. 答案 C 温馨提醒 判断与一元二次不等式有关命题的真假,首先要分清是要求解一元二次不等式,还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解),然后再利用逻辑用语进行判断. 二、求参数的取值范围 典例2 已知命题p: “∀x∈[0,1],a≥ex”;命题q: “∃x∈R,使得x2+4x+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析 若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由∃x∈R,使x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4. 答案 [e,4] 温馨提醒 含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围. 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说: 我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说: 我没去过C城市; 丙说: 我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测: 甲: 中国非第一名,也非第二名; 乙: 中国非第一名,而是第三名; 丙: 中国非第三名,而是第一名. 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名. 解析 (1)由题意可推断: 甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A. (2)由上可知: 甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一 温馨提醒 在一些逻辑问题中,当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题. [方法与技巧] 1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”时,要结合语句的含义理解. 2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题区别;否定的规律是“改量词,否结论”. [失误与防范] 1.p∨q为真命题,只需p、q有一个为真即可;p∧q为真命题,必须p、q同时为真. 2.两种形式命题的否定 p或q的否定: 非p且非q;p且q的否定: 非p或非q. 3.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论. A组 专项基础训练 (时间: 30分钟) 1.已知命题p: 所有有理数都是实数;命题q: 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( ) A.(綈p)∨qB.p∧q C.(綈p)∧(綈q)D.(綈p)∨(綈q) 答案 D 解析 不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题. 2.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由“綈p为真”可得p为假,故p∧q为假;反之不成立. 3.已知命题p: “x>2是x2>4的充要条件”,命题q: “若 > ,则a>b”,那么( ) A.“p或q”为真B.“p且q”为真 C.p真q假D.p,q均为假 答案 A 解析 由已知得命题p是假命题,命题q是真命题,因此选A. 4.下列命题中的假命题是( ) A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0 C.∃x0∈R,lgx0<1D.∃x0∈R,tan =5 答案 B 解析 A项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2x-1>0;B项,∵x∈N*,∴当x=1时,(x-1)2=0与(x-1)2>0矛盾;C项,当x0= 时,lg =-1<1;D项,当x∈R时,tanx∈R,∴∃x0∈R,tan =5. 5.已知命题p: 若a>1,则ax>logax恒成立;命题q: 在等差数列{an}中,m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*).则下面选项中真命题是( ) A.(綈p)∧(綈q)B.(綈p)∨(綈q) C.p∨(綈q)D.p∧q 答案 B 解析 当a=1.1,x=2时, ax=1.12=1.21,logax=log1.12>log1.11.21=2, 此时,ax 命题q,由等差数列的性质, 当m+n=p+q时,an+am=ap+aq成立, 当公差d=0时,由am+an=ap+aq不能推出m+n=p+q成立,故q是真命题. 故綈p是真命题,綈q是假命题, 所以p∧q为假命题,p∨(綈q)为假命题,(綈p)∧(綈q)为假命题,(綈p)∨(綈q)为真命题. 6.命题p: ∀x∈R,sinx<1;命题q: ∃x∈R,cosx≤-1,则下列结论是真命题的是( ) A.p∧qB.(綈p)∧q C.p∨(綈q)D.(綈p)∧(綈q) 答案 B 解析 p是假命题,q是真命题,所以B正确. 7.已知命题p: 所有指数函数都是单调函数,则綈p为( ) A.所有的指数函数都不是单调函数 B.所有的单调函数都不是指数函数 C.存在一个指数函数,它不是单调函数 D.存在一个单调函数,它不是指数函数 答案 C 解析 命题p: 所有指数函数都是单调函数,则綈p: 存在一个指数函数,它不是单调函数. 8.已知命题p: ∃x0∈R,ex0-mx0=0,q: ∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(綈q)为假命题,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2] C.RD.∅ 答案 B 解析 若p∨(綈q)为假命题,则p假q真.命题p为假命题时,有0≤m 9.命题“∃x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是________. 答案 ∀x∈R,x2+2x+5≠0 解析 否定为全称命题: “∀x∈R,x2+2x+5≠0”. 10.若命题“∃x0∈R,x +(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 因为命题“∃x0∈R,x +(a-1)x0+1<0”等价于x +(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3. 11.已知命题p: x2+2x-3>0;命题q: >1,若“綈q∧p”为真,则x的取值范围是________. 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) 解析 因为“綈q∧p”为真,即q假p真,而q为真命题时, <0,得2 解得x<-3或1 所以x的取值范围是x<-3或1 12.下列结论: ①若命题p: ∃x∈R,tanx=1;命题q: ∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题; ②已知直线l1: ax+3y-1=0,l2: x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是 =-3; ③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题: “若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题, 所以p∧(綈q)为假命题,故①正确; ②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确; ③正确,所以正确结论的序号为①③. B组 专项能力提升 (时间: 15分钟) 13.已知命题p: ∃x∈R,x-2>lgx,命题q: ∀x∈R,x2>0,则( ) A.p∨q是假命题 B.p∧q是真命题 C.p∧(綈q)是真命题 D.p∨(綈q)是假命题 答案 C 解析 ∵x=10时,x-2=8,lg10=1,x-2>lgx成立,∴命题p为真命题,又x2≥0,命题q为假命题, 所以p∧(綈q)是真命题. 14.四个命题: ①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x∈Q,x2=2;③∃x∈R,x2+1=0;④∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为( ) A.0B.1 C.2D.4 答案 A 解析 ∵x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0, ∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立, ∴①为假命题. 当且仅当x=± 时,x2=2,∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题. 对∀x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题. 4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立, ∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. 15.下列结论正确的是( ) A.若p: ∃x∈R,x2+x+1<0,则綈p: ∀x∈R,x2+x+1<0 B.若p∨q为真命题,则p∧q也为真命题 C.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件 D.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的否命题为真命题 答案 D 解析 ∵x2+x+1<0的否定是x2+x+1≥0,∴A错;若p∨q为真命题,则p、q中至少有一个为真,∴B错;f(x)为奇函数,但f(0)不一定有意义,∴C错;命题“若x2-3x+2=0则x=1”的否命题为“若x2-3x-2≠0,则x≠1”,是真命题,D对. 16.已知命题p: “∀x∈R,∃m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题綈p是假命题,则实数m的取值范围是________. 答案 (-∞,1] 解析 若綈p是假命题,则p是真命题, 即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解, 由于m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1, ∴m≤1. 17.设p: 方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q: 方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是________. 答案 (-∞,-2]∪[-1,3) 解析 设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由 得m<-1, 所以命题p为真时,m<-1. 由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2 由p∨q为真,p∧q为假,可知命题p,q一真一假, 当p真q假时, 此时m≤-2; 当p假q真时, 此时-1≤m<3, 所以所求实数m的取值范围是m≤-2或-1≤m<3. 18.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: ①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0; ②∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0, 则m的取值范围是________. 答案 (-4,-2) 解析 当x≥1时,g(x)≥0,∴要满足条件①,则f(x)<0在x≥1时恒成立,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)为二次函数,抛物线必须开口向下,即m<0.f(x)=0的两根x1=2m,x2=-m-3,且x1-x2=3m+3
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- 步步 高大 一轮 复习 讲义 数学 13