初中 八年级 三角形 拔高题综合题 压轴题含答案.docx
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初中八年级三角形拔高题综合题压轴题含答案
1.探究与发现:
如图①,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在BC边上,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED,连接DE.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;
(2)当点D在BC(点B、C除外)边上运动时,试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由.
(3)深入探究:
如图②,若∠B=∠C,但∠C≠45°,其他条件不变,试探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交BC的延长线于点E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数.
(2)当点P在线段AD上运动时,设∠B=α,∠ACB=β(β>α),求∠E的大小.(用含α、β的代数式表示)
3.已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α.
(1)当α=40°时,∠BPC= °,∠BQC= °;
(2)当α= °时,BM∥CN;
(3)如图②,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;
(4)在α>60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:
.
4“转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.
(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图
(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;
(2)若对图
(1)中星形截去一个角,如图
(2),请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数;
(3)若再对图
(2)中的角进一步截去,你能由题
(2)中所得的方法或规律,猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗?
只要写出结论,不需要写出解题过程)
5.直线MN与直线PQ垂直相交于点O,点A在射线OP上运动(点A不与点O重合),点B在射线OM上运动(点B不与点O重合).
(1)如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线,
①当∠ABO=60°时,求∠AEB的度数;
②点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?
若发生变化,请说明变化的情况:
若不发生变化,试求出∠AEB的大小;
(2)如图2,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F,在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,请直接写出∠ABO的度数.
6.如图,点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动(不与点O重合).射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部,延长EC与DF交于点F.
(1)若∠AOB=90°,CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线,猜想:
∠F的度数是否随C,D的运动发生变化?
请说明理由.
(2)若∠AOB=α°(0<α<180),∠ECD=∠ACD,∠CDF=∠CDO,则∠F= °.(用含α、n的代数式表示)
7.在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC.
(1)如图,点D在线段BC上.
①若∠B=70°,∠C=30°,则∠DAE= ;
②若∠B=α,∠C=β,则∠DAE= .(用含α、β的代数式表示)
(2)如图2,若点D在边CB的延长线上时,若∠ABC=α,∠C=β,写出∠DAE与α、β满足的数量关系式,并说明理由.
22.阅读理解:
请你参与下面探究过程,完成所提出的问题.
(Ⅰ)问题引入:
如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=70°,则∠BOC= 度;若∠A=α,则∠BOC= (用含α的代数式表示);
(Ⅱ)类比探究:
如图②,在△ABC中,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α.
试探究:
∠BOC与∠A的数量关系(用含α的代数式表示),并说明理由.
(Ⅲ)知识拓展:
如图③,BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,求∠BOC的度数(用含α、n的代数式表示).
8已知a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x.
(1)直接写出c及x的取值范围;
(2)若x是小于18的偶数
①求c的长;
②判断△ABC的形状.
9.如图,在△ABC中,∠B=24°,∠ACB=104°,AD⊥BC交BC的延长线于点D,AE平分∠BAC.
(1)求∠DAE的度数.
(2)若∠B=α,∠ACB=β,其它条件不变,请直接写出∠DAE与α、β的数量关系.
10.如图1,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,若∠A=82°,则∠BEC= ;若∠A=a°,则∠BEC= .
【探究】
(1)如图2,在△ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,若∠A=a°,则∠BEC= ;
(2)如图3,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC和∠A有怎样的关系?
请说明理由;
(3)如图4,O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?
请说明理由.
11.如图1,在△ABC中,∠B=90°,分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线,且两条角平分线所在的直线交于点E.
(1)∠E= °;
(2)分别作∠EAB与∠ECB的平分线,且两条角平分线交于点F.
①依题意在图1中补全图形;
②求∠AFC的度数;
(3)在
(2)的条件下,射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC,设EC与AB的交点为H,射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC,射线HN与FM交于点P,若∠FAH,∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH,请直接写出m,n的值.
12.如图所示,在平面直角坐标系中,线段AB的端点A在y轴上,端点B在x轴上,BF平分∠ABO并与△ABO的外角平分线AE所在的直线交于点F.∠ABO=60°,求∠F的大小.
1.【解答】解:
(1)∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=105°,
∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=30°,
∴∠ADE=∠AED=75°,
∴∠CDE=105°﹣75°=30°;
(2)∠BAD=2∠CDE,
理由如下:
设∠BAD=x,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x,
∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣x,
∴∠ADE=∠AED=,
∴∠CDE=45°+x﹣=x,
∴∠BAD=2∠CDE;
(3)设∠BAD=x,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x,
∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=180°﹣2∠C﹣x,
∴∠ADE=∠AED=∠C+x,
∴∠CDE=∠B+x﹣(∠C+x)=x,
∴∠BAD=2∠CDE.
2.【解答】解:
(1)∵∠B=35°,∠ACB=85°,∠B+∠ACB+∠BAC=180°.
∴∠BAC=60°.
∵AD平分∠BAC.
∴∠DAC=30°.
∵∠ACB=85°,∠ACB+∠DAC+∠PDE=180°.
∴∠PDE=65°.
又∵PE⊥AD.
∴∠DPE=90°.
∵∠PDE+∠DPE+∠E=180°.
∴∠E=25°.
(2))∵∠B=α,∠ACB=β,∠B+∠ACB+∠BAC=180°.
∴∠BAC=180°﹣α﹣β.
∵AD平分∠BAC.
∴∠DAC=(180°﹣α﹣β).
∵∠ACB=β,∠ACB+∠DAC+∠PDE=180°.
∴∠PDE=180°﹣β﹣(180°﹣α﹣β)=90°.
又∵PE⊥AD.
∴∠DPE=90°.
∵∠PDE+∠DPE+∠E=180°.
∴∠E=180°﹣90°﹣(90°)=.
3.【解答】解:
(1)∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°,
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,
∴∠CBP+∠BCP=(∠DBC+∠BCE)=110°,
∴∠BPC=180°﹣110°=70°,
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,
∴∠QBC=∠PBC,∠QCB=∠PCB,
∴∠QBC+∠QCB=55°,
∴∠BQC=180°﹣55°=125°;
(2)∵BM∥CN,
∴∠MBC+∠NCB=180°,
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α,
∴(∠DBC+∠BCE)=180°,
即(180°+α)=180°,
解得α=60°;
(3)∵α=120°,
∴∠MBC+∠NCB=(∠DBC+∠BCE)=(180°+α)=225°,
∴∠BOC=225°﹣180°=45°;
(4)∵α>60°,
∠BPC=90°﹣α、
∠BQC=135°﹣α、
∠BOC=α﹣45°.
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:
∠BPC+∠BQC+∠BOC=(90°﹣α)+(135°﹣α)+(α﹣45°)=180°.
故答案为:
70,125;60;∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°.
4.【解答】解:
(1)∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D,∠1+∠A+∠C=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;
(2)∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F,∠1+∠A+∠C+∠D=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°;
(3)根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,每截去一个角则会增加180度,
所以当截去5个角时增加了180×5度,
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180°×5+180°=1080°.
5.【解答】
解:
(1)如图1,①∵MN⊥PQ,∴∠AOB=90°,∵∠ABO=60°,∴∠BAO=30°,
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线,
∴∠ABE=∠ABO=30°,∠BAE=∠BAO=15°,
∴∠AEB=180°﹣∠ABE﹣∠BAE=135°.
答:
∠AEB的度数是135°.
②∠AEB的大小不会发生变化.理由如下:
同①,得
∠AEB=180°﹣∠ABE﹣∠BAE
=180°﹣∠ABO﹣∠BAO
=180°﹣(∠ABO+∠BAO)
=180°﹣×90°
=135°.
答:
∠AEB的大小不会发生变化,∠AEB的度数是135°.
(2)∠ABO的度数为60°或45°.理由如下:
如图2,∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F,
∴∠OAE+∠OAF=(∠BAO+∠GAO)=90°,
即∠EAF=90°,又∠BOQ=90°,
∴由题意:
①∠E=∠EAF=30°,或②∠E=∠F.
①∠EOQ=45°,
∠OAE+∠E=∠EOQ=45°,
∴∠OAE=15°,
∠OAE=∠BAO=(90﹣∠ABO)
∴∠ABO=60°.
②∠E=∠F,∵∠E+∠F=90°,
∴∠E=22.5°,∠EOQ=45°,
∴∠OAE=22.5°,∴∠BAO=45°,
∴∠ABO=45°.
故答案为60°或45°.
6.【解答】解:
(1)∠F的度数不变.
∵∠ACD是△OCD的外角,
∴∠ACD﹣∠CDO=∠AOB,
∵CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线,
∴∠ECD=∠ACD,∠CDF=∠CDO,
∵∠ECD是△CDF的外角,
∴∠F=∠ECD﹣∠CDF
=∠ACD﹣∠CDO
=(∠ACD﹣∠CDO)
=∠AOB
=45°,
∴
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