人教版数学九年级上册《222 二次函数与一元二次方程》同步练习有答案.docx
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人教版数学九年级上册《222二次函数与一元二次方程》同步练习有答案
人教版数学九年级上册三年中考真题同步练习
22.2二次函数与一元二次方程
一.选择题(共16小题)
1.(2018•杭州)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
2.(2018•大庆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;
③若y2>y1,则x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
3.(2018•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(﹣1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:
①抛物线经过点(1,0);
②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;
③﹣3<a+b<3
其中,正确结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
4.(2018•莱芜)函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是( )
A.x<﹣4或x>2B.﹣4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2
5.(2018•陕西)对于抛物线y=ax2+(2a﹣1)x+a﹣3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.(2017•广安)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(﹣1,3),与x轴的交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,以下结论:
①b2﹣4ac=0;②a+b+c>0;③2a﹣b=0;④c﹣a=3
其中正确的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
7.(2017•随州)对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3,下列结论错误的是( )
A.它的图象与x轴有两个交点
B.方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C.它的图象的对称轴在y轴的右侧
D.x<m时,y随x的增大而减小
8.(2017•恩施州)如图,在平面直角坐标系中2条直线为l1:
y=﹣3x+3,l2:
y=﹣3x+9,直线l1交x轴于点A,交y轴于点B,直线l2交x轴于点D,过点B作x轴的平行线交l2于点C,点A、E关于y轴对称,抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点,下列判断中:
①a﹣b+c=0;②2a+b+c=5;③抛物线关于直线x=1对称;④抛物线过点(b,c);⑤S四边形ABCD=5,
其中正确的个数有( )
A.5B.4C.3D.2
9.(2017•盘锦)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),则下列结论:
①abc>0;②3a+b<0;③﹣
≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m为任意实数);⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根,其中正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
10.(2017•枣庄)已知函数y=ax2﹣2ax﹣1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A.当a=1时,函数图象经过点(﹣1,1)
B.当a=﹣2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方
D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大
11.(2017•徐州)若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是( )
A.b<1且b≠0B.b>1C.0<b<1D.b<1
12.(2017•苏州)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(﹣2,0),则关于x的方程a(x﹣2)2+1=0的实数根为( )
A.x1=0,x2=4B.x1=﹣2,x2=6C.x1=
,x2=
D.x1=﹣4,x2=0
13.(2017•朝阳)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+
m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为( )
A.﹣2或3B.﹣2或﹣3C.1或﹣2或3D.1或﹣2或﹣3
14.(2016•永州)抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是( )
A.m<2B.m>2C.0<m≤2D.m<﹣2
15.(2016•宿迁)若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1,0),则方程ax2﹣2ax+c=0的解为( )
A.x1=﹣3,x2=﹣1B.x1=1,x2=3C.x1=﹣1,x2=3D.x1=﹣3,x2=1
16.(2016•贵阳)若m、n(n<m)是关于x的一元二次方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两个根,且b<a,则m,n,b,a的大小关系是
( )
A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.b<n<m<aD.n<b<a<m
二.填空题(共8小题)
17.(2018•自贡)若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为 .
18.(2018•湖州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是 .
19.(2018•孝感)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 .
20.(2017•乐山)对于函数y=xn+xm,我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1(m、n为常数).
例如y=x4+x2,则y'=4x3+2x.
已知:
y=
x3+(m﹣1)x2+m2x.
(1)若方程y′=0有两个相等实数根,则m的值为 ;
(2)若方程y′=m﹣
有两个正数根,则m的取值范围为 .
21.(2017•青岛)若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是 .
22.(2017•武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是 .
23.(2016•大连)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B(m+2,0)与y轴相交于点C,点D在该抛物线上,坐标为(m,c),则点A的坐标是 .
24.(2016•荆州)若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为 .
三.解答题(共8小题)
25.(2018•乐山)已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0).
(1)求证:
无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5=0与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值;
(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在
(2)中的抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a2﹣n2+8n的值.
26.(2018•云南)已知二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(﹣4,﹣
)两点.
(1)求b,c的值.
(2)二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?
若有,求公共点的坐标;若没有,请说明情况.
27.(2018•杭州)设二次函数y=ax2+bx﹣(a+b)(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由.
(2)若该二次函数图象经过A(﹣1,4),B(0,﹣1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:
a>0.
28.(2017•兴安盟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为A(1,﹣4),且与x轴交于B、C两点,点B的坐标为(3,0).
(1)写出C点的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)观察图象直接写出函数值为正数时,自变量的取值范围.
29.(2017•温州)如图,过抛物线y=
x2﹣2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为﹣2.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;
①连结BD,求BD的最小值;
②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.
30.(2017•荆州)已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0,其中k为常数.
(1)求证:
无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)已知函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.
31.(2016•牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点(﹣1,8)并与x轴交于点A,B两点,且点B坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线与y轴交于点C,顶点为点P,求△CPB的面积.
注:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣
,
)
32.(2016•淄博)如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式;
(2)求直线AB对应的函数解析式.
参考答案
一.选择题(共16小题)
1.B.2.B.3.C.4.A.5.C.6.B.7.C.8.C.9.B.10.D.
11.A.12.A.13.C.14.A.15.C.16.D.
二.填空题(共8小题)
17.﹣1.
18.﹣2.
19.x1=﹣2,x2=1.
20.
且
.
21.m>9.
22.
<a<
或﹣3<a<﹣2.
23.(﹣2,0).
24.﹣1或2或1.
三.解答题(共8小题)
25.
(1)证明:
由题意可得:
△=(1﹣5m)2﹣4m×(﹣5)
=1+25m2﹣10m+20m
=25m2+10m+1
=(5m+1)2≥0,
故无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)解:
mx2+(1﹣5m)x﹣5=0,
解得:
x1=﹣
,x2=5,
由|x1﹣x2|=6,
得|﹣
﹣5|=6,
解得:
m=1或m=﹣
;
(3)解:
由
(2)得,当m>0时,m=1,
此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5,其对称轴为:
x=2,
由题已知,P,Q关于x=2对称,
∴
=2,即2a=4﹣n,
∴4a2﹣n2+8n=(4﹣n)2﹣n2+8n=16.
26.解:
(1)把A(0,3),B(﹣4,﹣
)分别代入y=﹣
x2+bx+c,得
,
解得
;
(2)由
(1)可得,该抛物线解析式为:
y=﹣
x2+
x+3.
△=(
)2﹣4×(﹣
)×3=
>0,
所以二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与x轴有公共点.
∵﹣
x2+
x+3=0的解为:
x1=﹣2,x2=8
∴公共点的坐标是(﹣2,0)或(8,0).
27.解:
(1)
由题意△=b2﹣4•a[﹣(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个
(2)当x=1时,y=a+b﹣(a+b)=0
∴抛物线不经过点C
把点A(﹣1,4),B(0,﹣1)分别代入得
解得
∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1
(3)当x=2时
m=4a+2b﹣(a+b)=3a+b>0①
∵a+b<0
∴﹣a﹣b>0②
①②相加得:
2a>0
∴a>0
28.解:
(1)∵顶点为A(1,﹣4),且与x轴交于B、C两点,点B的坐标为(3,0),
∴点C的坐标为(﹣1,0),
设抛物线的解析式为y=a(x﹣3)(x+1),
把A(1,﹣4)代入,可得
﹣4=a(1﹣3)(1+1),
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣3)(x+1),
即y=x2﹣2x﹣3;
(2)由图可得,当函数值为正数时,自变量的取值范围是x<﹣1或x>3.
29.解:
(1)由题意A(﹣2,5),对称轴x=﹣
=4,
∵A、B关于对称轴对称,
∴B(10,5).
(2)①如图1中,
由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上,
∴当O、D、B共线时,BD的最小值=OB﹣OD=
﹣5=5
﹣5.
②如图2中,
图2
当点D在对称轴上时,在Rt△ODE中,OD=OC=5,OE=4,
∴DE=
=
=3,
∴点D的坐标为(4,3).
设PC=PD=x,在Rt△PDK中,x2=(4﹣x)2+22,
∴x=
,
∴P(
,5),
∴直线PD的解析式为y=﹣
x+
.
30.
(1)证明:
∵△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=k2﹣6k+21=(k﹣3)2+12>0,
∴无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)解:
∵二次函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,
∵二次项系数a=1,
∴抛物线开口方向向上,
∵△=(k﹣3)2+12>0,
∴抛物线与x轴有两个交点,
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,
∴x1+x2=5﹣k>0,x1•x2=1﹣k≥0,
解得k≤1,
即k的取值范围是k≤1;
(3)解:
设方程的两个根分别是x1,x2,
根据题意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,
即x1•x2﹣3(x1+x2)+9<0,
又x1+x2=5﹣k,x1•x2=1﹣k,
代入得,1﹣k﹣3(5﹣k)+9<0,
解得k<
.
则k的最大整数值为2.
31.解:
(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点(﹣1,8)与点B(3,0),
∴
解得:
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣4x+3
(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴P(2,﹣1)
过点P作PH⊥Y轴于点H,过点B作BM∥y轴交直线PH于点M,过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N,如下图所示:
S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB
=3×4﹣
×2×4﹣
﹣
=3
即:
△CPB的面积为3
32.解:
(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,
∴△=4a2﹣4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1,
∴抛物线解析式为y=x2+2x+1;
(2)∵y=(x+1)2,
∴顶点A的坐标为(﹣1,0),
∵点C是线段AB的中点,
即点A与点B关于C点对称,
∴B点的横坐标为1,
当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A(﹣1,0),B(1,4)代入得
,解得
,
∴直线AB的解析式为y=2x+2.
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