届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数精选教案理.docx
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届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数精选教案理
第8讲 指数与指数函数
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.
4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
2016·全国卷Ⅲ,6
2015·天津卷,7
2015·山东卷,14
2015·江苏卷,7
1.指数幂的化简与运算,经常与对数函数相结合考查.
2.指数函数的图象与性质的应用是高考的热点,经常与对数函数一起考查.
3.指数函数的综合应用是高考的热点,经常以指数型函数和复合函数的形式出现,考查它们的单调性、奇偶性、最值等.
分值:
5分
1.根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果__xn=a__,那么x叫做a的n次方根
n>1且n∈N*
当n是奇数时,正数的n次方根是一个__正数__,负数的n次方根是一个__负数__
零的n次方根是零
当n是偶函数时,正数的n次方根有__两个__,这两个数互为__相反数__
±
(a>0)
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①
=
②(
)n=__a__(注意:
a必须使
有意义).
2.有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂:
a
=!
!
!
###(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②负分数指数幂:
a-
=!
!
!
###=!
!
!
###(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分数指数幂等于__0__,0的负分数指数幂__无意义__.
(2)有理数指数幂的性质
①aras=__ar+s__(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=__ars__(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=__arbr__(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点__(0,1)__ 当x>0时,__y>1__; x<0时,__0 当x>0时,__0 x<0时,__y>1__ 在R上是__增函数__ 在R上是__减函数__ 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1) 与( )n都等于a(n∈N*).( × ) (2)2a·2b=2ab.( × ) (3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( √ ) (4)若am (5)函数y=2-x在R上为单调减函数.( √ ) 解析 (1)错误.当n为偶数,a<0时, 不成立. (2)错误.2a·2b=2a+b≠2ab. (3)正确.两个函数均不符合指数函数的定义. (4)错误.当a>1时,m (5)正确.y=2-x= x,根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数. 2.函数f(x)= 的定义域是( A ) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 解析 ∵1-2x≥0,∴2x≤1,∴x≤0. 3.已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是( A ) A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) 解析 当x=1时,f(x)=5. 4.不等式2x2-x<4的解集为__{x|-1 解析 不等式2x2-x<4可化为2x2-x<22,由指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1 5.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是! ! ! (- ,-1)∪(1, ) ###. 解析 由题意知0 . 一 指数幂的化简与求值 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【例1】计算: (1) ÷ ; (2)(0.027)- - -2+ -( -1)0; (3)已知m +m- =4,求 . 解析 (1)原式=(a a- ) ÷(a- a ) =(a3) ÷(a2) =a÷a=1. (2)原式= - -72+ -1= -49+ -1=-45. (3)∵m +m- =4,∴m+m-1+2=16,∴m+m-1=14, ∴ = =m+m-1+1=14+1=15. 二 指数函数的图象及应用 指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(1,a),(0,1), 和一条渐近线y=0. (2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换,得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 【例2】 (1)函数y=ax- (a>0,且a≠1)的图象可能是( D ) (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是__[-1,1]__. 解析 (1)函数y=ax- (a>0,且a≠1)的图象必过点(-1,0),故选D. (2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示, 由图象可得: 如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1]. 三 指数函数的性质及应用 指数函数性质问题的类型及解题思路 (1)比较指数幂大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1). (2)简单的指数不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论. (3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决. 【例3】已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性; (2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立? 若存在,求出t;若不存在,请说明理由. 解析 (1)∵f(x)=ex- x, ∴f′(x)=ex+ x, ∴f′(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数. ∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数. (2)存在,由 (1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立 ⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立 ⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立 ⇔t2+t≤x2+x= 2- 对一切x∈R都成立 ⇔t2+t≤(x2+x)min=- ⇔t2+t+ = 2≤0, 又 2≥0,∴ 2=0,∴t=- ,∴存在t=- ,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立. 1.(2018·山东德州一模)已知a= ,b= ,c= ,则( D ) A.a C.c 解析 ∵y= x为减函数,∴b 又∵y=x 在(0,+∞)上为增函数,∴a>c,∴b 2.(2018·北京模拟)已知函数f(x)=ax,其中a>0,且a≠1,如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)=( A ) A.1 B.a C.2 D.a2 解析 ∵以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,∴x1+x2=0,又∵f(x)=ax,∴f(x1)·f(x2)=ax1·ax2=ax1+x2=a0=1,故选A. 3.函数y=4x+2x+1+1的值域为( B ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(-∞,+∞) 解析 令2x=t(t>0),则函数y=4x+2x+1+1可化为y=t2+2t+1=(t+1)2(t>0).∵函数y=(t+1)2在(0,+∞)上递增,∴y>1.∴所求值域为(1,+∞),故选B. 4.函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( B ) A. B. C.2 D.4 解析 ∵在[0,1]上y=ax与y=loga(x+1)具有相同的单调性,∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调,∴f(0)+f (1)=a, 即a0+loga1+a1+loga2=a,化简得1+loga2=0,解得a= . 易错点 忽视对含参底数的讨论 错因分析: 对数函数、指数函数的底数含字母参数时,要分底数大于1和大于0小于1讨论. 【例1】已知函数f(x)= (ax-a-x)(a>0且a≠1)在R上为增函数,求a的取值范围. 解析 ①当a>1时,ax在R上为增函数,y=a-x= x在R上为减函数,∴y=ax-a-x为增函数. ∵f(x)为增函数,∴ >0,解得a>3或a<-3, 又∵a>1,∴a>3. ②当0 ∴y=ax-a-x在R上为减函数. ∵f(x)为增函数,∴ <0,解得-3 又∵0 综上,a的取值范围为(0,1)∪(3,+∞). 【跟踪训练1】(2018·东北三校联考)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( D ) A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1) C.(1,+∞) D. 解析 方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个实数根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点. ①当0 ; ②当a>1时,如图②, 而y=2a>1不符合要求. ∴0 . 课时达标 第8讲 [解密考纲]本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等,通常以选择题、填空题的形式呈现,题目难度中等或中等偏上. 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅲ)已知a=2 ,b=4 ,c=25 ,则( A ) A.b C.b 解析 因为a=2 =16 ,b=4 =16 ,c=25 ,且幂函数y=x 在R上单调递增,指数函数y=16x在R上单调递增,
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- 高考 数学 一轮 复习 第二 函数 导数 及其 应用 指数 指数函数 精选 教案
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