高考数学空间几何高考真题.docx
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高考数学空间几何高考真题
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2017年高考数学空间几何高考真题
一.选择题(共9小题)
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在
棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()
A.B.C.
D.
2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,
则该圆柱的体积为()
A.πB.C.D.
3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()
A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC
4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A.60B.30C.20D.10
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2)5.某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm
是()
A.+1B.+3C.+1D.+3
6.如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为
AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,
D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则()
A.γ<α<βB.α<γ<βC.α<β<γD.β<γ<α
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.90πB.63πC.42πD.36π
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1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三
角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中
有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()
A.10B.12C.14D.16
2.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=12°0,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线
AB1与BC1所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
二.填空题(共5小题)
8.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平
面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面
积为.
9.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的
表面积为.
10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,
则这个球的体积为.
11.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的
体积为.
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12.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,
记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.
三.解答题(共9小题)
13.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=D,C∠APD=9°0,且四棱锥P﹣ABCD的体积为,求该四棱
锥的侧面积.
14.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:
直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD面积为2,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
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15.如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:
AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且
AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
16.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长
分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
(1)求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积;
(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.
17.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=,2D
为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:
PA⊥BD;
(2)求证:
平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E﹣BCD的体积.
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18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,
BC=3,CD=4,PD=2.
(Ⅰ)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求证:
PD⊥平面PBC;
(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
19.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC
∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2C,BE为PD的中点.
(Ⅰ)证明:
CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
20.由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示,
四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,
(Ⅰ)证明:
A1O∥平面B1CD1;
(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:
平面A1EM⊥平面B1CD1.
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21.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、
F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
3.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=D,C∠APD=9°0,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
4.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:
直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣
AB﹣D的余弦值.
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5.如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=
∠CBD,AB=BD.
(1)证明:
平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两
部分,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.
6.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,
点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:
M为PB的中点;
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
7.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为
棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=,4AB=2.
(Ⅰ)求证:
MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线
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段AH的长.
8.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在
直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(Ⅰ)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(Ⅱ)当AB=3,AD=2时,求二面角E﹣AG﹣C的大小.
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2017年高考数学空间几何高考真题
参考答案与试题解析
一.选择题(共7小题)
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在
棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()
A.B.C.
D.
【解答】解:
对于选项B,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知B不满足
题意;
对于选项C,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知C不满足题意;
对于选项D,由于AB∥NQ,结合线面平行判定定理可知D不满足题意;
所以选项A满足题意,
故选:
A.
2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,
则该圆柱的体积为()
A.πB.C.D.
【解答】解:
∵圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球
面上,
∴该圆柱底面圆周半径r==,
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∴该圆柱的体积:
V=Sh==.
故选:
B.
3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()
A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC
【解答】解:
法一:
连B1C,由题意得BC1⊥B1C,
∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1?
平面B1BCC1,
∴A1B1⊥BC1,
∵A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1ECB1,
∵A1E?
平面A1ECB1,
∴A1E⊥BC1.
故选:
C.
法二:
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,
则A1(2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),
A(2,0,0),C(0,2,0),
=(﹣2,1,﹣2),=(0,2,2),=(﹣2,﹣2,0),
=(﹣2,0,2),=(﹣2,2,0),
∵?
=﹣2,=2,=0,=6,
∴A1E⊥BC1.
故选:
C.
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4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A.60B.30C.20D.10
【解答】解:
由三视图可知:
该几何体为三棱锥,
该三棱锥的体积==10.
故选:
D.
2)5.某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm
是()
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A.+1B.+3C.+1D.+3
【解答】解:
由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,
圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的
高和棱锥的高相等均为3,
故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1,
故选:
A
6.如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为
AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,
D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则()
A.γ<α<βB.α<γ<βC.α<β<γD.β<γ<α
【解答】解法一:
如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC的中心为O.
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不妨设OP=3.则O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,﹣6,0),D(0,0,6),
Q,R,
=,=(0,3,6),=(,5,0),=,
=.
设平面PDR的法向量为=(x,y,z),则,可得,
可得=,取平面ABC的法向量=(0,0,1).
则cos==,取α=arccos.
同理可得:
β=arccos.γ=arccos.
∵>>.
∴α<γ<β.
解法二:
如图所示,连接OP,OQ,OR,过点O分别作垂线:
OE⊥PR,OF⊥PQ,
OG⊥QR,垂足分别为E,F,G,连接DE,DF,DG.
设OD=h.
则tanα=.
同理可得:
tanβ=,tanγ=.
由已知可得:
OE>OG>OF.
∴tanα<tanγ<tanβ,α,β,γ为锐角.
∴α<γ<β.
故选:
B.
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7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.90πB.63πC.42πD.36π
【解答】解:
由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的
一半,
2×10﹣?
π?
32×6=63π,
V=π?
3
故选:
B.
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1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角
三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面
中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()
A.10B.12C.14D.16
【解答】解:
由三视图可画出直观图,
该立体图中只有两个相同的梯形的面,
S梯形=×2×(2+4)=6,
∴这些梯形的面积之和为6×2=12,
故选:
B
2.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=12°0,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线
AB1与BC1所成角的余弦值为()
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A.B.C.D.
【解答】解:
【解法一】如图所示,设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
(因异面直线所成角为(0,]),
可知MN=AB1=,
NP=BC1=;
作BC中点Q,则△PQM为直角三角形;
∵PQ=1,MQ=AC,
△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB?
BC?
co∠sABC
=4+1﹣2×2×1×(﹣)
=7,
∴AC=,
∴MQ=;
在△MQP中,MP==;
在△PMN中,由余弦定理得
cos∠MNP===﹣;
又异面直线所成角的范围是(0,],
∴AB1与BC1所成角的余弦值为.
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【解法二】如图所示,
补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,求∠BC1D即可;
BC1=,BD==,
C1D=,
∴+BD2=,
∴∠DBC1=90°,
∴cos∠BC1D==.
二.填空题(共5小题)
8.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平
面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面
积为36π.
【解答】解:
三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,
若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,
可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形,设球的半径为r,
可得,解得r=3.
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球O的表面积为:
4πr2=36π.
故答案为:
36π.
9.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的
表面积为14π.
【解答】解:
长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,
可知长方体的对角线的长就是球的直径,
所以球的半径为:
=.
则球O的表面积为:
4×=14π.
故答案为:
14π.
10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,
则这个球的体积为.
【解答】解:
设正方体的棱长为a,
∵这个正方体的表面积为18,
∴6a2=18,
则a2=3,即a=,
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,
∴正方体的体对角线等于球的直径,
即a=2R,
即R=,
则球的体积V=π?
()
3=;
故答案为:
.
11.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的
体积为2+.
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【解答】解:
由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V1=2×1×1=2,
圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V2=×π×1
2×1=,
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+,
故答案为:
2+.
12.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,
记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.
【解答】解:
设球的半径为R,则球的体积为:
R3,
2?
2R=2πR3.圆柱的体积为:
πR
则==.
故答案为:
.
三.解答题(共9小题)
13.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
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(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=D,C∠APD=9°0,且四棱锥P﹣ABCD的体积为,求该四棱
锥的侧面积.
【解答】证明:
(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,∠BAP=∠CDP=9°0,
∴AB⊥PA,CD⊥PD,
又AB∥CD,∴AB⊥PD,
∵PA∩PD=P,∴AB⊥平面PAD,
∵AB?
平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
解:
(2)设PA=PD=AB=DC=,a取AD中点O,连结PO,
∵PA=PD=AB=D,C∠APD=9°0,平面PAB⊥平面PAD,
∴PO⊥底面ABCD,且AD==,PO=,
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为,
∴VP﹣ABCD=
====,
解得a=2,∴PA=PD=AB=DC=,2AD=BC=2,PO=,
∴PB=PC==2,
∴该四棱锥的侧面积:
S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S
△PBC
=+++
=
=6+2.
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14.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:
直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD面积为2,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
【解答】
(1)证明:
四棱锥P﹣ABCD中,∵∠BAD=∠ABC=9°0.∴BC∥AD,∵
AD?
平面PAD,BC?
平面PAD,
∴直线BC∥平面PAD;
(2)解:
四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.设AD=2x,
则AB=BC=,xCD=,O是AD的中点,
连接PO,OC,CD的中点为:
E,连接OE,
则OE=,PO=,PE==,
△PCD面积为2,可得:
=2,
即:
,解得x=2,PE=2.
则VP
﹣ABCD=×(BC+AD)×AB×PO==4.
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15.如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:
AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且
AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
【解答】证明:
(1)取AC中点O,连结DO、BO,
∵△ABC是正三角形,AD=CD,
∴DO⊥AC,BO⊥AC,
∵DO∩BO=O,∴AC⊥平面BDO,
∵BD?
平面BDO,∴AC⊥BD.
解:
(2)法一:
连结OE,由
(1)知AC⊥平面OBD,
∵OE?
平面OBD,∴OE⊥AC,
设AD=CD=,则OC=OA=1,
∴E是线段AC垂直平分线上的点,∴EC=EA=CD=,
由余弦定理得:
cos∠CBD==,
即,解得BE=1或BE=2,
∵BE<<BD=2,∴BE=1,∴BE=ED,
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h,
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∵BE=ED,∴S△DCE=S△BCE,
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1.
法二:
设AD=CD=,则AC=AB=BC=BD=,2AO=CO=DO=,1
∴BO==,∴BO2+DO2=BD2,∴BO⊥DO,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系,
则C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0,,0),A(1,0,0),
设E(a,b,c),,(0≤λ≤1),则(a,b,c﹣1)=λ(0,,﹣1),
解得E(0,,1﹣λ),
∴=(1,),=(﹣1,),
∵AE⊥EC,∴=﹣1+3λ2+(1﹣λ)2=0,
由λ∈[0,1],解得,∴DE=BE,
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h,
∵DE=BE,∴S△DCE=S△BCE,
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1.
16.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长
分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
(1)求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积;
(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.
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【解答】解:
(1)∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,
两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积:
V=S△ABC×AA1
=
==20.
(2)连结AM,
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,
两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5,M是BC中点,
∴AA1⊥底面ABC,AM==,
∴∠A1MA是直线A
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