高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文.docx
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高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文
【2019最新】精选高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文
教材复习课“导数”相关基础知识一课过
导数的基本运算
[过双基]
1.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=
f(x)=xn(n∈Q*)
f′(x)=nxn-1
f(x)=sinx
f′(x)=cos_x
f(x)=cosx
f′(x)=-sin_x
f(x)=ax
f′(x)=axln_a
f(x)=ex
f′(x)=
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f′(x)=
f(x)=lnx
f′(x)=
2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
1.下列求导运算正确的是( )
A.′=1+ B.(log2x)′=
C.(3x)′=3xlog3eD.(x2cosx)′=-2sinx
解析:
选B ′=1-;(log2x)′=;(3x)′=3xln3;(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx,故选B.
2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( )
A.2(x2-a2)B.2(x2+a2)
C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)
解析:
选C ∵f(x)=(x+2a)(x-a)2=x3-3a2x+2a3,
∴f′(x)=3(x2-a2).
3.函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是( )
A.B.
C.D.
解析:
选D 因为f′(x)=3ax2+6x,
所以f′(-1)=3a-6=4,
所以a=.
4.(2016·天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.
解析:
因为f(x)=(2x+1)ex,
所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3e0=3.
答案:
3
[清易错]
1.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)′=nxn-1中n≠0且n∈Q*,(cosx)′=-sinx.
2.注意公式不要用混,如(ax)′=axlna,而不是(ax)′=xax-1.
1.已知函数f(x)=sinx-cosx,若f′(x)=f(x),则tanx的值为( )
A.1B.-3
C.-1D.2
解析:
选B ∵f′(x)=(sinx-cosx)′=cosx+sinx,
又f′(x)=f(x),
∴cosx+sinx=sinx-cosx,
∴tanx=-3.
2.若函数f(x)=2x+lnx且f′(a)=0,则2aln2a=( )
A.-1B.1
C.-ln2D.ln2
解析:
选A f′(x)=2xln2+,由f′(a)=2aln2+=0,得2aln2=-,则a·2a·ln2=-1,即2aln2a=-1.
导数的几何意义
[过双基]
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).
1.(2018·郑州质检)已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=( )
A.-1B.0
C.2D.4
解析:
选B 由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,∴f′(3)=-,∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(3)=f(3)+3f′(3),又由题图可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×=0.
2.设函数f(x)=xlnx,则点(1,0)处的切线方程是________.
解析:
因为f′(x)=lnx+1,所以f′
(1)=1,所以切线方程为x-y-1=0.
答案:
x-y-1=0
3.已知曲线y=2x2的一条切线的斜率为2,则切点的坐标为________.
解析:
因为y′=4x,设切点为(m,n),则4m=2,所以m=,则n=2×2=,则切点的坐标为.
答案:
4.函数y=f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是y=3x-2,则f
(1)+f′
(1)=________.
解析:
因为函数y=f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是y=3x-2,所以f′
(1)=3,且f
(1)=3×1-2=1,所以f
(1)+f′
(1)=1+3=4.
答案:
4
[清易错]
1.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.
2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.
1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )
A.-1或-B.-1或
C.-或-D.-或7
解析:
选A 因为y=x3,所以y′=3x2,
设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x),
则在该点处的切线斜率为k=3x,
所以切线方程为y-x=3x(x-x0),即y=3xx-2x,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切,可得a=-,
当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切,可得a=-1,所以选A.
2.(2017·兰州一模)已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则实数b的值为________.
解析:
因为函数y=x3+ax+b的导函数为y′=3x2+a,所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3+a,
所以解得
答案:
3
利用导数研究函数的单调性
[过双基]
1.函数f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间上是增加的.
(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间上是减少的.
(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数.
2.利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x).
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间.
1.函数f(x)=2x3-9x2+12x+1的单调减区间是( )
A.(1,2)B.(2,+∞)
C.(-∞,1)D.(-∞,1)和(2,+∞)
解析:
选A 解f′(x)=6x2-18x+12<0可得1 2.已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是( ) 解析: 选D 当x<0时,由导函数f′(x)=ax2+bx+c<0,知相应的函数f(x)在该区间内单调递减;当x>0时,由导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象可知,导函数在区间(0,x1)内的值是大于0的,则在此区间内函数f(x)单调递增.只有D选项符合题意. 3.已知f(x)=x2+ax+3lnx在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围为( ) A.(-∞,-2]B. C.[-2,+∞)D.[-5,+∞) 解析: 选C 由题意得f′(x)=2x+a+=≥0在(1,+∞)上恒成立⇔g(x)=2x2+ax+3≥0在(1,+∞)上恒成立⇔Δ=a2-24≤0或⇔-2≤a≤2或a>2⇔a≥-2,故选C. [清易错] 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,且在(a,b)的任意子区间,等号不恒成立;若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f′(x)≤0,且在(a,b)的任意子区间,等号不恒成立. 若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数,则m的取值范围是________. 解析: ∵f(x)=x3+x2+mx+1, ∴f′(x)=3x2+2x+m. 又∵f(x)在R上是单调增函数,∴f′(x)≥0恒成立, ∴Δ=4-12m≤0,即m≥. 答案: 利用导数研究函数的极值与最值 [过双基] 1.函数的极大值 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值. 2.函数的极小值 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 选A 由图象及极值点的定义知,f(x)只有一个极小值点. 2.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a的值为( ) A.2B.3 C.4D.5 解析: 选D f′(x)=3x2+2ax+3,由题意知f′(-3)=0,即3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5. 3.(2017·济宁一模)函数f(x)=x2-lnx的最小值为( ) A.B.1 C.0D.不存在 解析: 选A f′(x)=x-=,且x>0.令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得0 (1)=-ln1=. 4.若函数f(x)=x2-ax+lnx有极值,则a的取值范围为________. 解析: f′(x)=x-a+=(x>0), 因为函数f(x)=x2-ax+lnx有极值, 令g(x)=x2-ax+1,且g(0)=1>0, 所以解得a>2. 答案: (2,+∞) 5.设x1,x2是函数f(x)=x3-2ax2+a2x的两个极值点,若x1<2 解析: 由题意,f′(x)=3x2-4ax+a2=0,得x=或a. 又∵x1<2 答案: (2,6) [清易错] 1.f′(x0)=0是x0为f(x)的极值点的既不充分也不必要条件.例如,f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点;又如f(x)=|x|,x=0是它的极小值点,但f′(0)不存在. 2.求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论. 1.(2017·岳阳一模)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A.y=x3B.y=ln(-x) C.y=xe-xD.y=x+ 解析: 选D 因为A、B为单调函数,所以不存在极值,C不是奇函数,故选D. 2.设函数f(x)=x3-3x+1,x∈[-2,2]的最大值为M,最小值为m,则M+m=________. 解析: f′(x)=3x2-3, 由f′(x)>0可得x>1或x<-1, 由f′(x)<0可得-1 所以函数f(x)的增区间是[-2,-1],[1,2],减区间是[-1,1]. 又因为f(-2)=-1,f(-1)=3,f (1)=-1,f (2)=3, 所以M=3,m=-1, 所以M+m=2. 答案: 2 一、选择题 1.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),若f′ (1)=-1,则a=( ) A.e B. C.D. 解析: 选B 因为f′(x)=,所以f′ (1)==-1,所以lna=-1,所以a=. 2.直线y=kx+1与曲线y=x2+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为( ) A.-1B.1 C.2D.-2 解析: 选C 由曲线y=x2+ax+b,得y′=2x+a, 由题意可得解得 所以2a+b=2. 3.函数y=2x3-3x2的极值情况为( ) A.在x=0处取得极大值0,但无极小值 B.在x=1处取得极小值-1,但无极大值 C.在x=0处取得极大值0,在x=1处取得极小值-1 D.以上都不对 解析: 选C y′=6x2-6x, 由y′=6x2-6x>0,可得x>1或x<0, 即单调增区间是(-∞,0),(1,+∞). 由y′=6x2-6x<0,可得0 即单调减区间是(0,1),所以函数在x=0处取得极大值0,在x=1处取得极小值-1. 4.若f(x)=-x2+mlnx在(1,+∞)是减函数,则m的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(1,+∞) C.(-∞,1]D.(-∞,1) 解析: 选C 由题意,f′(x)=-x+≤0在(1,+∞)上恒成立,即m≤x2在(1,+∞)上恒成立,又因为x2>1,所以m≤1. 5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-∞,2)B.(0,3) C.(1,4)D.(2,+∞) 解析: 选D 依题意得f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,+∞).故选D. 6.已知函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则实数m=( ) A.0B.1 C.2D.3 解析: 选B f(x)=x(x2-2mx+m2)=x3-2mx2+m2x,所以f′(x)=3x2-4mx+m2=(x-m)(3x-m).由f′ (1)=0可得m=1或m=3.当m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),当1 7.已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( ) A.3B.2 C.1D. 解析: 选A 已知曲线y=-3lnx(x>0)的一条切线的斜率为,由y′=x-=,得x=3,故选A. 8.若函数f(x)=的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是( ) A.[2,3]B.(2,3] C.(-∞,2]D.(-∞,2) 解析: 选A 当x≤0时,0≤f(x)=1-2x<1; 当x>0时,f(x)=x3-3x+a,f′(x)=3x2-3, 当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以当x=1时,函数f(x)取得最小值f (1)=1-3+a=a-2.由题意得0≤a-2≤1,解得2≤a≤3,选A. 二、填空题 9.若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是________. 解析: 由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+,要使函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则需方程1+=0在(0,+∞)上有解,即x=-a,∴a<0. 答案: (-∞,0) 10.已知函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′ (1)=________. 解析: ∵f′(x)=-2f′(-1)x+3, ∴f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, ∴f′(-1)=-2,∴f′ (1)=1+4+3=8. 答案: 8 11.已知函数f(x)的图象在点M(1,f (1))处的切线方程是y=x+3,则f (1)+f′ (1)=________. 解析: 由题意知f′ (1)=,f (1)=×1+3=, ∴f (1)+f′ (1)=+=4. 答案: 4 12.已知函数g(x)满足g(x)=g′ (1)ex-1-g(0)x+x2,且存在实数x0,使得不等式2m-1≥g(x0)成立,则实数m的取值范围为________. 解析: g′(x)=g′ (1)ex-1-g(0)+x, 令x=1时,得g′ (1)=g′ (1)-g(0)+1, ∴g(0)=1,g(0)=g′ (1)e0-1=1, ∴g′ (1)=e, ∴g(x)=ex-x+x2,g′(x)=ex-1+x, 当x<0时,g′(x)<0,当x>0时,g′(x)>0, ∴当x=0时,函数g(x)取得最小值g(0)=1. 根据题意得2m-1≥g(x)min=1,∴m≥1. 答案: [1,+∞) 三、解答题 13.已知函数f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R. (1)若曲线y=f(x)在点P(2,f (2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)若对于任意的a∈,不等式f(x)≤10在上恒成立,求实数b的取值范围. 解: (1)f′(x)=1-(x≠0), 由已知及导数的几何意义得f′ (2)=3,则a=-8. 由切点P(2,f (2))在直线y=3x+1上可得-2+b=7,解得b=9,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-+9. (2)由 (1)知f′(x)=1-(x≠0). 当a≤0时,显然f′(x)>0,这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数. 当a>0时,令f′(x)=0,解得x=±, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,- ) - (- ,0) (0, ) ( ,+∞) f′(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以当a>0时,f(x)在(-∞,-),(,+∞)上是增函数,在(-,0),(0,)上是减函数. (3)由 (2)知,对于任意的a∈,不等式f(x)≤10在上恒成立等价于即对于任意的a∈成立,从而得b≤, 所以实数b的取值范围是. 14.已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 解: (1)对f(x)求导,得f′(x)=--(x>0),由f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=x, 知f′ (1)=--a=-2,解得a=. (2)由 (1)知f(x)=+-lnx-, 则f′(x)=, 令f′(x)=0,解得x=-1或x=5. 因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当x∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数; 当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5,无极大值. 高考研究课 (一) 导数运算是基点、几何意义是重点 [全国卷5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 导数的几何意义 5年8考 求切线、已知切线求参数、求切点坐标 导数的运算 [典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f(x)=cosx,则f(π)+f′=( ) A.- B.- C.-D.- (2)已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则f2018(x)等于( ) A.-sinx-cosxB.sinx-cosx C.sinx+cosxD.cosx-sinx (3)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′ (1)+lnx,则f′ (1)=( ) A.-eB.-1 C.1D.e [解析] (1)∵f′(x)=-cosx+(-sinx), ∴f(π)+f′=-+·(-1)=-. (2)∵f1(x)=sinx+cosx, ∴f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx, ∴f3(x)=f2′(x)=-sinx-cosx, ∴f4(x)=f3′(x)=-cosx+sinx, ∴f5(x)=f4′(x)=sinx+cosx, ∴fn(x)是以4为周期的函数, ∴f2018(x)=f2(x)=cosx-sinx,故选D. (3)由f(x)=2xf′ (1)+lnx,得f′(x)=2f′ (1)+. ∴f′ (1)=2f′ (1)+1,则f′ (1)=-1. [答案] (1)C (2)D (3)B [方法技巧] 1.可导函数的求导步骤 (1)分析函数y=f(x)的结构特点,进行化简; (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导; (3)化简整理答案. 2.求导运算应遵循的原则 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. [即时演练] 1.(2018·江西九校联考)已知y=(x+1)(x+2)(x+3),则y′=( ) A.3x2-12x+6B.x2+12x-11 C.x2+12x+6D.3x2+12x+11 解析: 选D 法一: y′=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11. 法二: ∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 2.已知函数f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=________. 解析: f′(x)=lnx+1,由f′(x0)=2, 即lnx0+1=2,解得x0=e. 答案: e 导数的几何意义 导数的几何意义为高考热点内容,考查题型多为选择、填空题,也常出现在解答题的第1问中,难度较低,属中、低档题. 常见的命题角度有: 求切线方程; 确定切点坐标; 已知切线求参数值或范围; 切线的综合应用 角度一: 求切线方程 1.已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2,则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程是________. 解析: ∵f′(x)=-1+2x,∴f′ (1)=,f (1)=ln2,∴曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为y-ln2=(x-1),即3x-2y+2ln2-3=0. 答案: 3x-2y+2ln2-3=0 角度二: 确定切点坐标 2.(2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,点M在曲线C: y=x3-x-1上,且在第三象限内,已知曲线C在点M处的切线的斜率为2,则点M的坐标为________. 解析: ∵y′=3x2-1,曲线C在点M处的切线的斜率为2,∴3x2-1=2,x=±1, 又∵点M在第三象限, ∴x=-1,∴y=(-1)3-(-1)-1=-1, ∴点M的坐标为(-1,-1). 答案: (-1,-1) 角度三: 已知切线求参数值或范围 3.(2017·武汉一模)已知a为常数,若曲线y=ax2+3x
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- 高考 数学 一轮 复习 第四 单元 导数 及其 应用 学案文