6SPS与6PSS并联机构的运动与受力分析.docx
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6SPS与6PSS并联机构的运动与受力分析
6-SPS与6-PSS并联机构的运动与受力分析
与传统的串联机构相比,并联机构的运动与受力分析具有反解容易而正解复杂的特点。
为了解并联机构的这些特点,本文针对6-SPS和6-PSS两种6自由度并联机构的运动和受力特性进行了简单推导,得出一些关于求解矩阵的有趣结论。
1、6-SPS推导过程
6-SPS并联机构又称Stewart平台,由上平台、下平台以及连接上下平台的6个支撑杆组成,支撑杆与平台通过球铰连接,支撑杆本身又能够通过液压驱动改变长度,进而驱动上平台的运动,如图1所示。
图16-SPS并联机构平台
1.1运动分析
首先对该并联机构进行自由度计算,下平台固定,活动构件数目,球铰个数,移动副个数,在每个支撑杆移动副上有一个绕轴转动的局部自由度,则局部自由度的总数为。
根据空间机构自由度的计算公式可得:
在驱动上平台运动时,6个支撑杆的输入速度分别为,上平台的运动形式为螺旋运动,既有平动,又有绕轴旋转,表示为平动速度和转动角速度,输入速度和平台速度之间有什么运算关系呢?
图26-SPS并联机构速度分析
如图2所示,取上平台的转动中心为,支撑杆1与上平台的铰接处取为,中心到铰接点的向径为,则上平台位于点处的速度可表示为:
设支撑杆1的方向向量为,向支撑杆1投影可得:
支撑杆1的输入速度沿杆长方向,则向支撑杆1的投影即为,从而可得:
同理可求得其余支撑杆的速度表达式分别为:
......
将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式,可得:
即:
记,则上式可简写为:
(1)
式
(1)即为6-SPS并联机构支撑杆输入速度与上平台输出速度的计算关系式。
1.2受力分析
设支撑杆1的驱动力为,对上平台产生的的驱动力矩为:
图36-SPS并联机构速度分析
如图3所示,相应地,支撑杆2~6的驱动力和驱动力矩分别为,设上平台的负载力和负载力矩为,根据力螺旋理论可写出以下平衡式:
即:
提出各驱动力的数值大小,可得:
写成矩阵的形式,可得负载力螺旋的计算式:
进一步简写为:
(2)
式
(2)为6-SPS并联机构支撑杆输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。
比较式
(1)和式
(2),可以发现两者具有相同的计算形式,即系数矩阵分别为矩阵的逆矩阵和转置矩阵,这说明了6-SPS并联机构平台的速度解算和力与力矩解算具有一定的联系,这一结论可以为其他形式的6自由度并联机构解算起到参考作用。
2、6-PSS推导过程
6-PSS并联机构是对Stewart平台的一种变形,将支撑杆中的移动副放到下端与下平台的连接处,移动副与杆通过球铰连接,即形成杆长不变的PSS支撑结构,通过改变移动副的位置来驱动上平台实现不同的姿态,如下图所示。
图46-PSS并联机构平台
2.1运动分析
首先进行自由度计算,作为下平台的6个滑块可沿导轨移动,形成移动副。
活动构件数目,球铰个数,移动副个数。
每个支撑杆与滑块的铰接处,支撑杆相对滑块有一个绕杆轴线转动的局部自由度,故局部自由度总数为。
根据空间机构自由度的计算公式可得:
该机构有6个自由度,因此每个滑块都要进行驱动,才能保证机构有确定的运动。
6个滑块的输入速度分别为,上平台的运动形式为螺旋运动,既有平动,又有绕轴旋转,表示为平动速度和转动角速度,输入速度和平台速度之间的运算关系推导如下。
图56-PSS并联机构速度分析
如图5所示,上平台与支撑杆1铰接处点的速度可表示为:
(3)
设支撑杆1的方向向量为,滑块1运动的方向向量为。
根据支撑杆1长度不变的特点可知,球铰处速度和滑块1的速度在杆1上的投影相等,即:
将式(3)代入上式,可得:
整理可得:
同理可求得其余滑块输入速度的表达式如下:
......
将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式,可得:
即:
记,则上式可简写为:
(4)
式(4)即为6-PSS并联机构驱动滑块输入速度与上平台输出速度的计算关系式。
2.2受力分析
图66-PSS并联机构受力分析
设滑块1的驱动力为,支撑杆1为二力杆,对上平台球铰A处的作用力为。
为推导出与的关系,隔离球铰B进行分析。
图7球铰B受力分析
如图7所示,球铰B平衡时,可得到下列关系:
可解出的数值大小为:
(5)
支撑力对上平台产生转矩,同理可得其余各杆支撑力与力矩。
由力螺旋理论可写出以下平衡式:
即:
提出各支撑杆力的数值大小,可得:
代入式(5)表示的各支撑杆力,可得由滑块驱动力表示的平衡式:
写成矩阵的形式,可得负载力螺旋的计算式:
上式可进一步简写为:
(6)
式(6)为6-PSS并联机构各滑块输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。
对比式(4)与式(6)可以发现与式
(1)和式
(2)相同的计算规律,即上平台输出速度与滑块输入速度以矩阵的逆矩阵为计算系数,上平台负载力和力矩与滑输入力则以矩阵的转置为计算系数。
3小结
将以上计算得出的4个解算公式分别罗列出来如下
6-SPS并联机构:
(1)
(2)
6-PSS并联机构:
(4)
(6)
可以看出,6-SPS和6-PSS并联机构在速度解算和受力解算上具有相同的运算规律,可以设想,其他6自由度并联机构在进行相应解算时一定也会有相同的规律可循。
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- SPS PSS 并联 机构 运动 分析