中考数学规律探索型问题试题汇总含答案.docx
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中考数学规律探索型问题试题汇总含答案
中考数学规律探索型问题试题汇总(含答案)
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中考数学规律探索型问题试题汇总(含答案)
12.(2019山东省滨州,12,3分)求1+2+22+23++22019的值,可令S=1+2+22+23++22019,则2S=2+22+23+24++22019,因此2S﹣S=22019﹣1.仿照以上推理,计算出1+5+52+53++52019的值为()
A.52019﹣1B.52019﹣1C.D.
【解析】设S=1+5+52+53++52019,则5S=5+52+53+54++52019,
因此,5S﹣S=52019﹣1,
S=.
【答案】选C.
【点评】本题考查同底数幂的乘法,以及类比推理的能力.两式同时乘以底数,再相减可得s的值.
(2019广东肇庆,15,3)观察下列一组数:
,,,,,,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k个数是▲.
【解析】通过观察不难发现,各分数的分子与分母均相差1,分子为连续偶数,分母为连续奇数.
【答案】
【点评】本题是一道规律探索题目,考查了用代数式表示一般规律,难度较小.
18.(2019年四川省巴中市,18,3)观察下列面一列数:
1,-2,3,-4,5,-6,根据你发现的规律,第2019个数是___________
【解析】观察知:
下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2019个数的绝对值是2019,值偶数项是负数,故填-2019.
【答案】-2019
【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.
20.(2019贵州省毕节市,20,5分)在下图中,每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成,照此规律,第10个图案中共有个小正方形。
解析:
观察图案不难发现,图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布,写出第n个图案的正方形的个数,然后利用求和公式写出表达式,再把n=10代入进行计算即可得解.
答案:
解:
第1个图案中共有1个小正方形,第2个图案中共有1+3=4个小正方形,第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形,,第n个图案中共有1+3+5++(2n-1)==n2个小正方形,所以,第10个图案中共有102=100个小正方形.故答案为:
100.
18.(2019贵州六盘水,18,4分)图7是我国古代数学家杨辉最早发现的,称为杨辉三角形.它的发现比西方要早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!
杨辉三角形中有许多规律,如它的每一行的数字正好对应了(为非负整数)的展开式中按次数从大到小排列的项的系数.例如展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字;再入,展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图,写出的展开式.▲.
分析:
该题属规律型,通过观察可发现第五行的系数是:
1、4、6、4、1,再根据例子中字母的排列规律即得到答案.
17.(2019山东莱芜,17,4分)将正方形ABCD的各边按如图所示延长,从射线AB开始,分别在各射线上标记点.,按此规律,则点A2019在射线上.
【解析】
射线名称点点点点点点点点点
A1A3A10A12A17A19A26A28
CDA2A4A9A11A18A20A25A27
BCA5A7A14A16A21A23A30A32
DAA6A8A13A15A22A24A29A31
根据表格中点的排列规律,可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环,
2019=16125+12,所以点A2019所在的射线和点所在的直线一样。
因为点所在的射线是射线AB,所以点点A2019在射线AB上.
【答案】AB
【点评】本题是一个规律探索题,可以列出点的排列规律从中得到规律,在变化的点中找到其排列直线的不变的规律,此类问题的排列通常是具有周期性,按照周期循环,本题难度适中.
16、(2019,黔东南州,16)如图,第
(1)个图有2个相同的小正方形,第
(1)个图有2个相同的小正方形,第
(2)个图有6个相同的小正方形,第(3)个图有12个相同的小正方形,第(4)个图有20个相同的小正方形,,按此规律,那么第()个图有个相同的小正方形。
(1)
(2)(3)(4)
解析:
因为
15.(2019,湖北孝感,15,3分)2019年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会,今年的奥运会将在英国伦敦举行,奥运会的年份与届数如下表所示:
年份1896190019042019
届数123n
表中n等于__________.
【解析】有表格可知,每四年举办一次奥运会,由此可得(2019-1896)4+1=30
【答案】30
【点评】考查了规律型:
数字的变化,此题属于规律性题目,解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律,按照此规律再进行计算即可.
16.(2019湖北省恩施市,题号16分值4)观察下表:
根据表中数的排列规律,B+D=_________.
【解析】B所在行的规律是每个数字等于前两个数字的和,所以A=3,B=8;D所在行的规律是关于数字20左右对称,即D=15,所以B+D=23.
【答案】23
【点评】本题主要考查了学生观察和归纳能力,会从所给的数据和表格中寻求规律进行解题.找规律的问题,首先要从最基本的几个数字或图形中先求出数值,并进一步观察具体的变化情况,从中找出一般规律.
此类问题横看成岭侧成峰,随着观察角度的不同可有不同的规律寻求途径,但最总结果应殊途同归。
(2019河北省17,3分)17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏,规则是:
从前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序的倒数加1,第1位同学报,第2位同学报,这样得到的20个数的积为_________________.
【解析】化简各位同学的报数,可得第1一位同学报2,第2位同学报,第3位同学报,第20个同学报,根据观察得到的规律,便可求出它们的乘机。
【答案】21
【点评】本题是一道找规律的题型,在教学中,要让学生了解解题的过程,知道来龙去脉,才能增加自己的能力。
难度中等。
20.(2019珠海,20,9分)观察下列等式:
12231=13221,
13341=14331,
23352=25332,
34473=37443,
62286=68226,
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为数字对称等式.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为数字对称等式:
①52=
②396=693.
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为,个位数字为,且29,写出表示数字对称等式一般规律的式子(含、),并证明.
【解析】观察上面的等式,发现数字对称等式基本特征,猜想并证明表示数字对称等式一般规律的式子.
【答案】
(1)①275,572;②63,36;
(2)(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a)
证明:
∵左边=(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=11(10a+b)(10b+a)
右边=[100a+10(a+b)+b](10b+a)=11(10a+b)(10b+a)
左边=右边,原等式成立.
【点评】本是规律探索题.考查学生阅读理解,观察发现,推理证明的学习能力.
14(2019云南省,14,3分)观察下列图形的排列规律(其中分别表示三角形、正方形、五角星).若第一个图形是三角形,则第18个图形是(填图形名称)
【解析】主要的是要看清只有三个基本的图形来组成一个规律,三个一组,而且五角星都在最后,前边两个相邻组之间它两的位置互换,三个一组,恰好18个是6组,第18个刚好是第6组最后一个,五角星。
【答案】五角星
【点评】主要考查考生的观察能力和细心程度,要素简单,但要很快找出规律,也要细心揣摩。
此题不难。
16.(2019山西,16,3分)如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n个图案中阴影小三角形的个数是.
【解析】解:
由图可知:
第一个图案有阴影小三角形2个.第二图案有阴影小三角形2+4=6个.第三个图案有阴影小三角形2+8=12个,那么第n个就有阴影小三角形2+4(n﹣1)=4n﹣2个,
故答案为:
4n﹣2(或2+4(n﹣1))
【答案】4n﹣2(或2+4(n﹣1))
【点评】本题主要考查了图形有规律的变化,再由图形的规律变化挖掘出规律,解决此种类型的关键是分别数清每一个图形中的三角形个数,再由此猜想发现规律,从而写出最终结果.难度中等.
17.(2019山东东营,17,4分)在平面直角坐标系中,点,,
,和,,,分别在直线
和轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,
都是等腰直角三角形,如果A1(1,1),
A2(),那么点的纵坐标是______.
【解析】把A1(1,1),A2()分别代入,可求得k=,b=,,所以,与x轴交点代坐标为(-4,0),设A3的纵坐标为m,则,解得m=,同理可得A4的纵坐标为,,的纵坐标是。
【答案】
【点评】抓住坐标间的变化规律是解题的关键,解此类规律探索题一般可采用从特殊一般的归纳法。
21.(2019广东汕头,21,7分)观察下列等式:
第1个等式:
a1==(1﹣);
第2个等式:
a2==(﹣);
第3个等式:
a3==(﹣);
第4个等式:
a4==(﹣);
请解答下列问题:
(1)按以上规律列出第5个等式:
a5==;
(2)用含有n的代数式表示第n个等式:
an==(n为正整数);
(3)求a1+a2+a3+a4++a100的值.
分析:
(1)
(2)观察知,找第一个等号后面的式子规律是关键:
分子不变,为1;分母是两个连续奇数的乘积,它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1.
(3)运用变化规律计算.
解答:
解:
根据观察知答案分别为:
(1);;
(2);;
(3)a1+a2+a3+a4++a100的
=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+(﹣)++
=(1﹣+﹣+﹣+﹣++﹣)
专项二规律探索型问题
(2019山东省潍坊市,题号17,分值3)17、右图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:
考点:
数学归纳法,规律探索题
解答:
当时:
16.(湖南株洲市3,16)一组数据为:
观察其规律,推断第n个数据应为.
【解析】从一组数据第一个数据的系数是正数,第二个数据的系数是负数,字母的次数从1,2,3依次排列,所以
【答案】
【点评】根据题目的条件列出算式,找出算式中的规律得出乘积。
10.(2019浙江丽水3分,10题)小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,成为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
A.2019B.2019C.2019D.2019
【解析】:
图1中棋子颗数都是3的倍数,图2中棋子颗数都是4的倍数,要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数,也即棋子颗数是12的倍数,通过计算可知,只有2019=1684能被4整除.
【答案】:
D
【点评】:
本题主要考查规律探索,做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.
9(2019重庆,9,4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,,则第⑥个图形中五角星的个数为()
解析:
仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一排的个数都是偶数,分别是2,4,6,6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为:
2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.
14.(2019山东省荷泽市,14,3)一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和,例如:
23,33,和43分别可以按如图所示的方式分裂成2个、3个和4个连续奇数的和,即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;若63也按照此规律来进行分裂,则63分裂出的奇数中,最大的那个奇数是_____.
【解析】根据题意,得53=21+23+25+27+29,63=31+33+35+37+39+41,所填41.
【答案】41
【点评】根据题目所提供的规律,继续出探索出符合题意的一些特征,最终得出符合条件的数据.
16.(2019广州市,16,3分)如图5,在标有刻度的直线L上,从点A开始,以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆;,按此规律,继续画半圆,则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍,第n个半圆的面积为。
(结果保留)
【解析】根据规律找出每个半圆的半径,第n个半圆的直径为2n-1。
【答案】第4个半圆的面积:
第3个半圆面积=(8)2:
(8)2=4.
第n个半圆的面积为(2n-1)2=22n-5。
【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。
专项二规律探索型问题
8.(2019江苏盐城,8,3分)已知整数a1,,a2,a3,a4,满足下列条件:
a1=0,a2=-,a3=-,a4=-,依次类推,则a2019的值为
A.-1005B.-1006C.-1007D.-2019
【解析】本题考查了有理数的计算规律.掌握探索规律的方法是关键.先由已知条件分别计算出a1,,a2,a3,a4的值,再寻找规律
【答案】由于a1=0,a2=-=-1,a3=-=-1,a4=-=-2,a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6,,所以a2019=-=-1006,故选B.
【点评】题考查探索、归纳和猜想的能力.探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行归纳与猜想.
10.(2019浙江省绍兴,10,3分)如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P1;设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn-1重合,折痕与AD交于点Pn(n2),则AP6的长为()
第10题图
A.B.C.D.
【解析】解析:
在Rt△ABC中,AC=4,AB=3,所以BC=5,又D是BC的中点,所以AD=,因为点A、D是一组对称点,所以AP1=,因为是D1是DP1的中点,所以AD1=,即AP2=,同理AP3=()2,APn=()n-1,所以AP6=()5=,故应选A.
【答案】A
【点评】找规律的问题,首先要从最基本的几个图形中先求出数值,并进一步观察具体的变化情况,从中找出一般规律.
10.(2019浙江丽水3分,10题)小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,成为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
A.2019B.2019C.2019D.2019
【解析】:
图1中棋子颗数都是3的倍数,图2中棋子颗数都是4的倍数,要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数,也即棋子颗数是12的倍数,通过计算可知,只有2019=1684能被4整除.
【答案】:
D
【点评】:
本题主要考查规律探索,做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.
14.(2019江苏泰州市,14,3分)根据排列规律,在横线上填上合适的代数式:
x,3x2,5x3,,9x5,.
【解析】看系数是1,3,5,7,,第四项应是7,看指数第第四项是x4第四项是7x4
【答案】7x4
【点评】本题主要考查规律探索,做此类问题关键在细心观察、认真分析,如果次数较少可按规律一次写下去
10.(2019贵州铜仁,10,4分如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,则第⑩个图形中平行四边形的个数是()
A.54B.110C.19D.109
【解析】仔细观察图形可得,图形①中1=11+0,图形②中5=22+1,图形③中11=33+2,,依次类推,第⑩个图形中平行四边形的个数是1010+9=109
【解答】D.
【点评】本题考查了图形的变化规律,较难.探索规律的问题是近几年数学中考的一个热门题型.解决这类问题的基本思路是:
通过观察、分析若干特殊情形,归纳总结出一般性结论,然后验证其结论的正确性.
15.(2019湖北随州,15,4分)平面内不同的两点确定一条直线,不同的三点最多确定三条直线。
若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线,则n的值为______________。
6
解析:
设有n个点时,,解得n=6或n=-5(舍去).
16.(2019山东德州中考,16,4,)如图,在一单位为1的方格纸上,△,△,△,,都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6,的等腰直角三角形.若△的顶点坐标分别为(2,0),(1,-1),
(0,0),则依图中所示规律,的坐标为.
16.【解析】画出图像可找到规律,下标为4n(n为非负整数)的A点横坐标为2,纵坐标为2n,则的坐标为(2,1006).
【答案】(2,1006)
【点评】这类问题要善于总结,正确分析出题中所隐含的规律.
24.(2019四川内江,24,6分)设ai0(i=1,2,2019),且满足+++=1968,则直线y=aix+i(i=1,2,2019)的图象经过第一、二、四象限的概率为.
【解析】因为可能等于1,也可能等于-1,类似的,,都具有这种现象,而+++=1968,从到又有2019个比值,2019-1968=44,所以,,,中一定有22个1和22个-1之间相加产生22个0,那么,,,这些比值中会有22个-1,所以ai(i=1,2,2019)中会有22个负数,则直线y=aix+i(i=1,2,2019)的图象经过第一、二、四象限的概率为=.
【答案】
【点评】直线y=aix+i(i=1,2,2019)经过第一、二、四象限要求ai0,i0,只要判断出ai(i=1,2,2019)中有多少个负数,然后利用简易概率求法公式:
P(A)=,求解即可.另外,解答此题需要良好的逻辑推理能力,对学生的思维能力要求较高,启示平时学习中要注意将数学思考变成习惯.
9(2019重庆,9,4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,,则第⑥个图形中五角星的个数为()
解析:
仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一排的个数都是偶数,分别是2,4,6,6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为:
2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.
23.(2019四川内江,23,6分)如图12,已知A1,A2,A3,An,是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3==An-1An=1,分别过点A1,A2,A3,An,作x轴的垂线交反比例函数y=(x0)的图象于点B1,B2,B3,Bn,,过点B2作B2P1A1B1于点P1,过点B3作B3P2A2B2于点P2,记△B1P1B2的面积为S1,△B2P2B3的面积为S2,△BnPnBn+1的面积为Sn,则S1+S2+S3++Sn=.
【解析】由OA1=A1A2=A2A3==An-1An=1,可得P1B2=P2B3=P3B4==PnBn+1=1,以及B1(1,1),B2(2,),B3(3,),,Bn(n,),Bn+1(n+1,),所以S1+S2+S3++Sn=B1P1P1B2+B2P2P2B3+BnPnPnBn+1=(B1P1+B2P2+BnPn)=(1-+-++-)=(1-)=.
【答案】
【点评】各地中考经常将反比例函数与三角形、矩形的面积结合在一起考查,本题属于这类问题中的较难问题.解答时需注意:
1.耐心、认真阅读题意,抓住各三角形的水平直角边都等于1这一特征,从而将面积和转化为竖直直角边和的一半;2.能用解析思想表达出B1,B2,B3,,Bn的坐标,进而表达出所有直角三角形竖直直角边的长;3.具有一定的数式规律探究能力.
14.(2019山东省荷泽市,14,3)一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和,例如:
23,33,和43分别可以按如图所示的方式分裂成2个、3个和4个连续奇数的和,即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;若63也按照此规律来进行分裂,则63分裂出的奇数中,最大的那个奇数是_____.
【解析】根据题意,得53=21+23+25+27+29,63=31+33+35+37+39+41,所填41.
【答案】41
【点评】根据题目所提供的规律,继续出探索出符合题意的一些特征,最终得出符合条件的数据.
16.(2019广州市,16,3分)如图5,在标有刻度的直线L上,从点A开始,以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆;,按此规律,继续画半圆,则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍,第n个半圆的面积为。
(结果保留)
【解析】根据规律找出每个半圆的半径,第n个半圆的直径为2n-1。
【答案】第4个半圆的面积:
第3个半圆面积=(8)2:
(8)2=4.
第n个半圆的面积为(2n-1)2=22n-5。
【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。
20.(2019年浙江省宁波市,20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:
(1)第5个图形有多少颗黑色棋子?
(2)第几个图形有2019颗棋子?
说明理由。
【解析】
(1)根据图中所给的黑色棋子的颗数,找出其中的规律,即可得出答案;
(2)根据
(1)所找出的规律,列出式子,即可求出答案.:
(1)第一个图需棋子6,
第二个图需棋子9,
第三个图需棋子12,
第四个图需棋子15,
第五个图需棋子18,
第n个图需棋子3(n+1)枚.
答:
第5个图形有18颗黑色棋子.
(2)设第n个图形有2019颗黑色棋子,
根据
(1)得3(n+1)=2019
解得n=670,
所以第670个图形有2019颗黑色棋子.
【答案】
(1)18;
(2)第670个图形
【点评】此题考查了图形的变化类,是一道关于数字猜想的问题,关键是通过归纳与总结,得到其中的规律.
19.(2019湖南益阳,19,10分)观察图形,解
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