小升初专题数的认识.docx
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小升初专题数的认识
数的认识
学点一:
整数
1、整数的意义
自然数和0都是整数。
2、自然数
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3⋯⋯叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示。
0也是自然数。
3、计数单位
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿⋯⋯都是计数单位。
其中“一”
是计数的基本单位。
10个1是10,10个10是100⋯⋯每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这
样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5、整数的读法:
从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级
的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来,
其它数位连续有几个0都只读一个零。
6、整数的写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,
就在那个数位上写0。
7、一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单
位的数。
有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
⑴准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万
或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把1254300000改写成以
万做单位的数是125430万;改写成以亿做单位的数12.543亿。
⑵近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾
数,用一个近似数来表示。
例如:
1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
⑶四舍五入法:
求近似数,看尾数最高位上的数是几,比5小就舍去,是5或
大于5舍去尾数向前一位进1。
这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。
8、整数大小的比较:
位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高
位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。
以此类推。
例题分析
例1、一个数是由9个亿、5个千万、5个十万和4个十组成的,这个数写作
(),省略“亿”后面的尾数约()亿。
例2、六亿零六十万零六十写作(),改写成用“万”作单位是
(),省略万后面的尾数是(),精确到亿位是
()。
例3、一种饼干包装袋上标着:
净重(150克±5克),表示这种饼干标准的质量是150
克,实际每袋最少不少于()克。
练习
1、一个数的十万位是最小的合数,万位是最小的质数,千位是最大的一位数,
十位是1,其余各个数位上的数是0,这个数是(),把这个数改写为
以“万”为单位的数是(),四舍五入到万位的数是()。
2、我国普通小学在校生有108645000人,读作(),其中8在
()位上,表示(),改写成用“亿”作单位,并保留两位小数
约是()亿人。
3、八亿零三百五十六万四千二百写作:
(),省略亿位后面的尾
数约是()亿。
4、光华公司一天的收入是36000元,应记作()元,支出17000元,应记
作()元,光华公司一天的结余应记作()元。
学点二:
小数
1、小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份⋯⋯得到的十分之几、百分之几、千
分之几⋯⋯可以用小数表示。
如1/10记作0.1,7/100记作0.07。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几⋯⋯
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点叫做小数点,小
数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫
做小数部分。
小数点右边第一位叫十分位,计数单位是十分之一(0.1);第二位叫百分位,计
数单位是百分之一(0.01)⋯⋯小数部分最大的计数单位是十分之一,没有最小
的计数单位。
小数部分有几个数位,就叫做几位小数。
如0.36是两位小数,3.066
是三位小数
在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位
“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的读法:
读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,
小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
3、小数的写法:
写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个
位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
4、比较小数的大小:
先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部
分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的
数大的那个数就大⋯⋯
5、小数的分类
⑴纯小数:
整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如:
0.25、0.368都是纯
小数。
⑵带小数:
整数部分不是零的小数,叫做带小数。
例如:
3.25、5.26都是
带小数。
⑶有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
例如:
41.7、
25.3、0.23都是有限小数。
⑷无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
例如:
4.33⋯⋯
3.1415926⋯⋯
⑸无限不循环小数:
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的
小数叫做无限不循环小数。
例如:
∏
⑹循环小数:
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,
这个数叫做循环小数。
例如:
3.555⋯⋯0.0333⋯⋯12.109109⋯⋯
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如:
3.99⋯⋯的循环节是“9”,0.5454⋯⋯的循环节是“54”。
⑺纯循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。
例如:
3.111⋯⋯0.5656⋯⋯
⑻混循环小数:
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
3.1222⋯⋯0.03333⋯⋯
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个
循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字,就只在它
的上面点一个点。
例题分析
例4、一个数由39个一和6个百分之一组成,这个数写作(),读作
()。
例5、交换4.6的个位上数字和十分位上的数字,得到的数比原来增加了()
个十分之一。
例6、甲、乙两数的和是1.32,如果把乙数的小数点向右移动一位,那么甲、乙
两数相等,则甲数是()。
练习
1、在2017、2.017、20.17、201.7这四个数中,“7”在()中表示的值最
小,它表示7个()。
2、一个三位小数用“四舍五入”法保留两位小数是4.80,这个三位数最大是
(),最小是()。
3、9÷11的商用循环小数的简便写法表示是(),精确的百分位约是
(),它的小数点后第2018位上的数字是()。
4、0.7里面有()个千分之一。
5、判断
(1)15.32读作一五点三二。
()
(2)小数都比整数小。
()
(3)在小数中的小数部分,最大的计数单位是十分位。
()
(4)整数与小数每相邻两个计数单位之间的进率都是十。
()
(5)0.6和0.600的大小相等,计数单位也相同。
()
(6)大于0.5且小于0.7的小数只有0.6。
()
学点三:
分数
1、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”
平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
2、分数的读法:
读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按
照整数的读法来读。
3、分数的写法:
先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。
4、比较分数的大小:
⑴分母相同的分数,分子大的那个分数就大。
⑵分子相同的分数,分母小的那个分数就大。
⑶分母和分子都不同的分数,通常是先通分,转化成通分母的分数,再比较大
小。
⑷如果被比较的分数是带分数,先要比较它们的整数部分,整数部分大的那个
带分数就大;如果整数部分相同,再比较它们的分数部分,分数部分大的那个带
分数就大。
5、分数的分类
按照分子、分母和整数部分的不同情况,可以分成:
真分数、假分数、带分数
⑴真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
⑵假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大
于或等于1。
⑶带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
6、分数和除法的关系及分数的基本性质
⑴除法是一种运算,有运算符号;分数是一种数。
因此,一般应叙述为被除数
相当于分子,而不能说成被除数就是分子。
⑵由于分数和除法有密切的关系,根据除法中“商不变”的性质可得出分数的
基本性质。
⑶分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变,这
叫做分数的基本性质,它是约分和通分的依据。
7、约分和通分
⑴分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数。
⑵把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
⑶约分的方法:
用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除
到得出最简分数为止。
⑷把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
⑸通分的方法:
先求出原来几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个
最小公倍数作分母的分数。
8、倒数
⑴乘积是1的两个数互为倒数。
⑵求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。
⑶1的倒数是1,0没有倒数
例题分析
例7、174的分数单位是(),再增加()个这样的分数单位就等于最
小的质数。
例8、把4m长的绳子平均减成12段,每段长()m,每段是全长的()。
例9、把3的分子增加6,要使分数的大小不便,分母应该增加()。
8
例10、分数单位是1的最大真分数是(),最小假分数是(),最小带
12
分数是()。
练习
1、7的分数单位是(),3里面有()个这样的分数单位。
15
2、把5米长的铁丝平均分成6份,每份是这根铁丝的(),每份长()
m。
3、如果x是真分数,x是假分数,那么整数x是()。
22
4、一根绳子长10米,先减去它的2,还剩()米,再增加2米后,这根绳
55
子现在长()米。
52
5、在0.3,51,8,0,,-,中,()是自然数,()
63
是小数,()是分数,()是正数,()
是负数。
11
6、大于1而小于1的分数有()个,写出其中两个:
()。
54
考点四:
百分数
1、百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百
分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
2、百分数的读法:
读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按
照整数的读法来读。
3、百分数的写法:
百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分
号“%”来表示。
4、百分数与折数、成数的互化:
例如:
三折就是30%,七五折就是75%,成数就是十分之几,如一成就是牐闯
砂俜质褪?
0%,则六成五就是65%。
5、纳税和利息:
税率:
应纳税额与各种收入的比率。
利率:
利息与本金的百分率。
由银行规定按年或按月计算。
利息的计算公式:
利息=本金×利率×时间
6、百分数与分数的区别主要有以下三点:
⑴意义不同。
百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。
”它只能表示
两数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量。
如:
可以说1米是5米的20%,
不可以说“一段绳子长为20%米。
”因此,百分数后面不能带单位名称。
分数是
“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或几份的数”。
分数不仅可以表
3
示两数之间的倍数关系,如:
甲数是3,乙数是4,甲数是乙数的3;还可以表
4
示一定的数量,如:
3米等。
4
⑵应用范围不同。
百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与
比较。
而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用。
⑶书写形式不同。
百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”来表示。
如:
百分之四十五,写作:
45%;百分数的分母固定为100,因此,不论百分数
的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分;百分数的分子可以是自然数,也
可以是小数。
而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有:
真分数、假分数、
带分数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的
要化成带分数。
7、数的互化
⑴小数化成分数:
原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的
小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
⑵分数化成小数:
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,
不能化成有限小数的,一般保留三位小数。
⑶一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分
数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能
化成有限小数。
⑷小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
⑸百分数化成小数:
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向
左移动两位。
⑹分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),
再把小数化成百分数。
⑺百分数化成小数:
先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
例题分析
例11、一种商品以盈利四成来定价,出售时按定价的八折出售,仍能盈利()%。
例12、某林区中了一批数,死去的棵树与成活的棵树比是1:
4,那么该批树的
成活率是多少()%。
例13、一项工作完成的时间由原来的10小时缩短到8小时,工作时间缩短了
()%,工作效率提高了()%。
例14、%=3÷5==:
10=折
练习
1、把一根5米的铁丝平均截成8段,每段的长度是这根铁丝的(),每段
长()米,相当于1米的()%。
2、一瓶饮料250毫升,其中橙汁与水的比是1:
4,小花喝去一半后,剩下的饮
料中橙汁的含量是()%
3、0.60=()%=6=12÷()=()∶()。
(填最简整数比)
()
4、一种商品先降价10%,再涨价10%。
现价是原价的()%
5、张奶奶把儿子寄来的1500元钱存入银行,存期为2年,年利率为2.7%,那
么,到期时张奶奶可以获得多少利息?
可以拿到多少钱呢?
考点五:
数的整除
1、整除的意义
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整
除,或者说b能整除a。
除尽的意义甲数除以乙数,所得的商是整数或有限小数而余数也为0时,我们
就说甲数能被乙数除尽,(或者说乙数能除尽甲数)这里的甲数、乙数可以是自
然数,也可以是小数(乙数不能为0)。
2、约数和倍数
⑴如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数(或
a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
⑵一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。
⑶一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
3、奇数和偶数
⑴自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
1能被2整除的数叫做偶数。
0也是偶数。
2不能被2整除的数叫做奇数。
⑵奇数和偶数的运算性质:
3相邻两个自然数之和是奇数,之积是偶数。
4奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数;奇数-奇数=偶数,
奇数-偶数=奇数,偶数-奇数=奇数,偶数-偶数=偶数;奇数×奇数=奇数,奇数
×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数。
4、整除的特征
⑴个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除。
⑵个位上是0或5的数,都能被5整除。
⑶一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除。
⑷一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。
⑸能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
⑹一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
⑺一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。
5、质数和合数
⑴一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100
以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
⑵一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如4、6、
8、9、12都是合数。
⑶1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。
如果把自然
数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。
6、分解质因数
⑴质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,
叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。
⑵分解质因数
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法来分
解质因数。
先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数
和商写成连乘的形式。
⑶公因(约)数
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫这几个数的最大公
因数。
公因数只有1的两个数,叫做互质数。
成互质关系的两个数,有下列几种情况:
①和任何自然数互质;
②相邻的两个自然数互质;
③当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;
④两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,
就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。
⑷公倍数
1几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最大的一个叫这几个数的
最大公倍数。
求几个数的最大公约数的方法是:
先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所
得的商只有公约数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的
的最大公约数。
2几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几
个数的最小公倍数。
求几个数的最小公倍数的方法是:
先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去
除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个
积就是这几个数的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
例题分析
例15、能同时被2、3、5整除的最小三位数是(),把这个数分解质因数是
()。
例16、9的最小倍数是(),13的最大约数是();9和13的最大公约
数是(),最小公倍数是()。
例17、在自然数中(0除外),()的倒数最大;在质数中,()的倒数最
大。
例18、一个木匠要把两根长分别为21分米和18分米的木材截成长短相等的短木
料并且没有剩余,那么截成的木料最长()分米,共能截成()段。
例19、实验室的地板是用一种长60厘米,宽45厘米的长方形砖铺成的。
用这样
的长方形砖铺地,至少要()块才能铺成一个正方形。
练习
(一)、填空
1、在1、2、3、5、9、28、37和51中,奇数是(),偶数是();
质数是(),合数是();()是奇数但不是质数,()
是偶数但不是合数。
2、能同时被2、3、5整除的最小三位数是(),把这个数分解质因数是
()。
3、9的最小倍数是(),13的最大约数是();9和13的最大公约数是
(),最小公倍数是()。
4、在自然数中(0除外),()的倒数最大;在质数中,()的倒数最大。
5、a和b是互质数,它们的最小公倍数是124,a和b是(和)或(和)。
6、一个数被5除余3,被7除余5,被9除余7,这个数最小是()。
7、把被减数、减数、差相加得96,被减数是()。
(二)、判断
1.18是倍数,6是因数。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()
2.所有的合数都是偶数。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()
3.所有的素数都是奇数。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()
4.分数的分子和分母同时乘或除以相同的数,分数的大小不变。
()
5.一个自然数,不是素数就是合数。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()
6.30分=0.5时。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()
(三)、选择
1.下面式子中属于整除的是()。
A、20÷2.5=8B、8÷5=1.6C、42÷6=7D、1.2÷0.4=3
2.4是12和36的()。
A、质因数B、倍数C、最大公约数D、公约数
3.M是一个奇数,N是一个偶数,下面()的值一定是奇数。
A、4M+3NB、3M+2NC、2M+7ND、2(M+N)
4.在1,3,5,25这四个数中,互质数有()。
A、2对B、3对C、4对D、5对
5.有两个自然数,它们的最大公约数是4,最小公倍数是120,这样的自然数
组有()。
A、1组B、2组C、3组D、4组
(三)应用题
1、用长是4厘米、宽是3厘米、高是2厘米的长方体堆成一个正方体,至少需
要多少个这样的长方体?
2、把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学,结果水果糖剩1
块,巧克力剩3块。
你知道这个组最多有几位同学吗?
3、6年级
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- 小升初 专题 认识