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确定性推理部分参考答案
第3章确定性推理部分参考答案
判断下列公式是否为可合一,若可合一,则求出其最一般合一。
x)z\—/u(2(3(4ou
P(a,b),P(x,y)
P(f(x),b),P(y,z)
P(f(x),y),P(y,f(b))
P(Ry),y,X)、P(X,f(a),f(b))
P(x,y),P(y,x)可合一,其最一般和一为:
o={a/x,b/y}。
⑵可合一,其最一般和一为:
o={y/f(x),b/z}。
⑶可合一,其最一般和一为:
o={f(b)/y,b/x}。
(4)不可合一。
(5)可合一,其最一般和一为:
o={y/x}。
把下列谓词公式化成子句集:
(1)(Vx)(Vy)(P(x,y)AQ(x,y))
(2)(Vx)(Vy)(P(x,y)-Q(x,y))
(3)(Vx)(3y)(P(x,y)V(Q(x,y)-R(x,y)))
⑷(X/x)(0y)(日z)(P(x,y)—Q(x,y)VR(x,z))
解:
(1)由于(X/x)(X/y)(P(x,y)/\Q(x,y))己经是Skoleni标准型,且P(x,y)AQ(x,y)已经是合取范式,所以可直接消去全称量词、合取词,得
{P(x,y),Q(x,y)}
再进行变元换名得子句集:
S={P(x,y),Q(u,v)}
⑵对谓词公式(X/x)(X/y)(P(x,yLQ(x,y)),先消去连接词“一”得:
(Vx)(Vy)rP(x,y)VQ(x,y))
此公式已为Skolcm标准型。
再消去全称量词得子句集:
S=「P(x,y)VQ(x,y)}
⑶对谓词公式(X/x)(my)(P(x,y)X/(Q(x,y)-R(x,y))),先消去连接词“一”得:
(Vx)(3y)(P(x,y)V(7(x,y)VR(x,v)))
此公式已为前束范式。
再消去存在量词,即用Skolem函数f(x)替换y得:
(Vx)(P(x,f(x))V-Q(x,f(x))VR(x,f(x)))
此公式已为Skolem标准型。
最后消去全称量词得子句集:
S={P(x,f(x))V-Q(x,f(x))VR(x,f(x))}
⑷对谓词(\/x)(Vy)(mz)(P(x,y)fQ(x,y)VR(x,z)),先消去连接词”得:
(Vx)(Vy)(3z)(「P(x,y)VQ(x,y)VR(x,z))再消去存在量词,即用Skolem函数f(x)替换y得:
(Vx)(Vy)(「P(x,y)VQ(x,y)VR(x,f(x,y)))此公式己为Skolem标准型。
最后消去全称量词得子句集:
S={「P(x,y)VQ(x,y)VR(x,f(x,y))}
3-13判断下列子句集中哪些是不可满足的:
(1){-PVQ,-Q,P厂P}
(2){PVQ,^PVQ,PVQ-PV-Q}
(3){P(y)VQ(y),-P(f(x))VR(a)}
⑷(-P(x)VQ(x),-P(y)VR(y),P(a),S(a),-S⑵V「R(z)}
(5){-P(x)VQ(f(x),a),-P(h(y))VQ(f(h(y)),a)V-P(z)}
(6)(P(x)VQ(x)VR(x),-P(y)VR(y),~Q(a),-R(b)}解:
(1)不可满足,其归结过程为:
-PVQp
NIL
(2)不可满足,其归结过程为:
(3)不是不可满足的,原因是不能由它导出空子句。
(4)不可满足,其归结过程略
(5)不是不可满足的,原因是不能由它导出空子句。
(6)不可满足,其归结过程略
对下列各题分别证明G是否为FbF2,...,Fn的逻辑结论:
(1)F:
(3x)(3y)(P(x,y)
G:
(Vy)(3x)(P(x,y)
(2)F:
(Vx)(P(x)A(Q(a)VQ(b)))
G:
(3x)(P(x)AQ(x))
(3)F:
(3x)(3yXP(f(x))A(Q(f(y)))G:
P(f(a))AP(y)AQ(y)
⑷Fi:
(Vx)(P(x)—(X/y)(Q(y)--.L(x.y)))F2:
(3x)(P(x)A(Vy)(R(y)~L(x.y)))G:
(X/x)(R(x)「Q(x))
(5)Fi:
(Vx)(P(x)—(Q(x)AR(x)))F2:
(3x)(P(x)AS(x))G:
(3x)(S(x)AR(x))解:
(1)先将F和P化成子句集:
S={P(a,b),「P(x,b)}再对S进行归结:
所以,G是F的逻辑结论
⑵先将F和P化成子句集
由F得:
Si={P(x),(Q(a)VQ(b))}由于P为:
「(mx)(P(x)/\Q(x)),即(Vx)(-P(x)V-Q(x)),可得:
S2={「P(x)V「Q(x)}
因此,扩充的子句集为:
S={P(x),(Q(a)VQ(b)),-P(x)V-Q(x)}再对S进行归结:
所以,G是F的逻辑结论同理可求得(3)、⑷和(5),其求解过程略。
设已知:
(1)如果x是y的父亲,y是z的父亲,则x是z的祖父;
(2)每个人都有一个父亲。
使用归结演绎推理证明:
对于某人I】,一定存在一个人v,v是I】的祖父。
解:
先定义谓词
F(x,y):
x是y的父亲
GF(x,z):
x是z的祖父
P(x):
x是一个人
再用谓词把问题描述出来:
已知Fl:
(Vx)(Vy)(Vz)(F(x,y)AF(y,z))-GF(x,z))
F2:
(Vy)(P(x)_F(x,y))
求证结论G:
(Bu)(3v)(P(u)-*GF(vji))
然后再将Fl,F2和「G化成子句集:
1-F(x,y)V-F(y,z)VGF(x,z)
2-P(i)VF(s,r)
3P(u)
④-^GF(vji))
对上述扩充的子句集,其归结推理过程如下:
假设张被盗,公安局派出5个人去调查。
案情分析时,贞察员A说:
“赵与钱中至少有一个人作案”,贞察员B说:
“钱与孙中至少有一个人作案”,贞察员C说:
“孙与李中至少有一个人作案”,贞察员D说:
“赵与孙中至少有一个人与此案无关”,贞察员E说:
“钱与李中至少有一个人与此案无关”。
如果这5个侦察员的话都是可信的,使用归结演绎推理求出谁是盗窃犯。
解:
(1)先定义谓词和常量
设C(x)表示x作案,Z表示赵,Q表示钱,S表示孙,L表示李
(2)将己知事实用谓词公式表示出来
赵与钱中至少有一个人作案:
C(Z)VC(Q)
钱与孙中至少有一个人作案:
C(Q)VC(S)
孙与李中至少有一个人作案:
C(S)VC(L)
赵与孙中至少有一个人与此案无关:
「(C(Z)AC(S)),即-C(Z)V^C(S)钱与李中至少有一个人与此案无关:
「(C(Q)/\C(功,即-C(Q)V^C(L)
(3)将所要求的问题用谓词公式表示出来,并与其否定取析取。
设作案者为I】,则要求的结论是C(u)o将其与其否)取析取,得:
「C(u)VC(u)
(4)对上述扩充的子句集,按归结原理进行归结,其修改的证明树如下:
因此,钱是盗窃犯。
实际上,本案的盗窃犯不止一人。
根据归结原理还可以得出:
因此,孙也是盗窃犯。
设有子句集:
{P(x)VQ(a,b),P(a)ViQ(a,b),Q(a,f(a)),「P(x)VQ(x,b)}
分别用各种归结策略求出其归结式。
解:
支持集策略不可用,原因是没有指明哪个子句是由目标公式的否定化简来的。
删除策略不可用,原因是子句集中没有没有重言式和具有包孕关系的子句。
单文字子句策略的归结过程如下:
用线性输入策略(同时满足祖先过滤策略)的归结过程如下:
设已知:
(1)能阅读的人是识字的;
(2)海豚不识字;
(3)有些海豚是很聪明的。
请用归结演绎推理证明:
有些很聪明的人并不识字。
解:
第一步,先定义谓词,
设R(x)表示x是能阅读的;
K(y)表示y是识字的;
W(z)表示z是很聪明的;
第二步,将已知事实和目标用谓词公式表示出来
能阅读的人是识字的:
(X/x)(R(x))-K(x))
海豚不识字:
(0y)(「K(y))
有些海豚是很聪明的:
(mz)W(z)
有些很聪明的人并不识字:
(Bx)(W(z)A^K(x))第三步,将上述已知事实和目标的否定化成子句集:
「R(x))VK(x)
卞(y)
w(z)
「W⑵VK(x))
第四步,用归结演绎推理进行证明
对子句集:
{PVQ,QVR,RVW,yP,-.WV-.Q,->QV->R}
用线性输入策略是否可证明该子句集的不可满足性?
解:
用线性输入策略不能证明子句集
{PVQ,QVR,RVW,-nRV->P,-.WV-.Q,-.QV-.R}
的不可满足性。
原因是按线性输入策略,不存在从该子句集到空子句地归结过程。
对线性输入策略和单文字子句策略分别给出一个反例,以说明它们是不完备的。
分别说明正向、逆向、双向与/或形演绎推理的基本思想。
设已知事实为
((PVQ)AR)V(SA(TVU))
F规则为
S-*(XAY)VZ
试用正向演绎推理推出所有可能的子目标。
解:
先给出已知事实的与/或树,再利用F规则进行推理,其规则演绎系统如下图所示。
由该图可以直接写出所有可能的目标子句如下:
PVQVTVU
PVQVXVZ
PVQVYVZ
RVTVU
RVXVZ
RVYVZ
设有如下一段知识:
“张、王和李都属于高山协会。
该协会的每个成员不是滑雪运动员,就是登山运动员,其中不喜欢雨的运动员是登山运动员,不喜欢雪的运动员不是滑雪运动员。
王不喜欢张所喜欢的一切东西,而喜欢张所不喜欢的一切东西。
张喜欢雨和雪。
”
试用谓词公式集合表示这段知识,这些谓词公式要适合一个逆向的基于规则的演绎系统。
试说明这样一个系统怎样才能回答问题:
“高山俱乐部中有没有一个成员,他是一个登山运动员,但不是一个滑雪运动员?
”
解:
(1)先定义谓词
A(x)表示x是高山协会会员
S(x)表示x是滑雪运动员
C(x)表示x是登山运动员
L(x,y)表示x喜欢y
⑵将问题用谓词表示出来
“张、王和李都属于高山协会
A(Zhang)AA(Wang)AA(Li)
高山协会的每个成员不是滑雪运动员,就是登山运动员
(Vx)(A(x)A^S(x)-*C(x))
高山协会中不喜欢雨的运动员是登山运动员
(Vx)(「L(x,Ram)-*C(x))
高山协会中不喜欢雪的运动员不是滑雪运动员
(Vx)(「L(x,Snow)-*-1S(x))
王不喜欢张所喜欢的一切东西
(Vy)(L(Zliang,y)-*-1L(Wang,y))
王喜欢张所不喜欢的一切东西
(Vy)CL(Zhang,y)-*L(Wang,y))
张喜欢雨和雪
L(Zhang,Rain)AL(Zhang,Snow)
(3)将问题要求的答案用谓词表示出来
高山俱乐部中有没有一个成员,他是一个登山运动员,但不是一个滑雪运动员?
(3x)(A(x)-C(x)A-S(x))
(4)为了进行推理,把问题划分为已知事实和规则两大部分。
假设,划分如下:
已知事实:
A(Zhang)AA(Wang)AA(Li)
L(Zhang,Ram)AL(Zhang,Snow)
规则:
(Vx)(A(x)A^S(x)-*C(x))
(Vx)(「L(x,Ram)-*C(x))
(Vx)(「L(x,Snow)-*-1S(x))
(Vy)(L(Zliang,y)-*-1L(Wang,y))
(Vy)CL(Zhang,y)-*L(Wang,y))
(5)把已知事实、规则和目标化成推理所需要的形式
事实已经是文字的合取形式:
fi:
A(Zhang)AA(Wang)AA(Li)
込:
L(Zhang,Rain)AL(Zliang,Snow)
将规则转化为后件为单文字的形式:
n:
A(x)心(X)-C(x))
12:
「L(x,Ram)-*C(x)
13:
「L(x,Snow)-*-1S(x)
14:
L(Zhang,y)_「L(Wang,y)
15:
「L(Zhang,y)-*L(Wang,y)
将目标公式转换为与/或形式
^A(x)V(C(x)A^S(x))
(6)进行逆向推理
逆向推理的关键是要能够推出L(Zhang,Ram)AL(Zhang,Snow),其逆向演绎过程如下图所示。
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