94 乘法公式.docx

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94乘法公式

§9.4乘法公式

【知识平台】

完全平方公式

语言叙述：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2售．

公式表示：

（a+b）2=a2+2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2．

平方差公式

语言叙述：

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．

公式表示：

（a+b）（a－b）=a2－b2．

【思维点击】

1．完全平方公式的特征:

（1）左边是两个相同的二项式相乘；

（2）右边是一个三项式，其中有两项是左边两项的平方和，另一项是两数之积的2倍，两数积的2倍的符号与左边二项式中间的符号相同．

2．平方差公式的特征:

（1）左边是两个特殊的二项式的积，其特殊处在于这两个二项中有一项完全相同，另一项则为相反数；

（2）右边是完全相同项的平方减去互为相反数项的平方．

3．完全平方公式与平方差公式的区别与联系

完全平方公式

平方差公式

区

别

二项式中的两项

两项完全相同

一项相同，另一项互为相反数

积的项数

三项

两项

平方和与两数积

的2倍之和（差）

平方差

联系

两个二项式相乘

【考点浏览】

例1计算：

（1）（3a－2b）2；

（2）1022．

【解析】

（1）（3a－2b）2=（3a）2－2·（3a）·（2b）+（2b）2

=9a2－12ab+4b2；

（2）1022=（100+2）2=1002+2×100×2+22

=10000+400+4

=10404．

例2计算：

（1）（a+2b－c）2；

（2）（a+3b－2c）（a－3b－2c）；

（3）（4x－3y）2+（4x+3y）（4x－3y）+（4x+3y）2．

【解析】

（1）原式＝[（a+2b）－c]2

=（a+2b）2－2（a+2b）·c+c2=a2+4ab+4b2－2ac－4bc+c2；

（2）原式＝[（a－2c）+3b][（a－2c）－3b]

=（a－2c）2－（3b）2

=a2－4ac+4c2－9b2；

（3）原式＝16x2－24xy+9y2+16x2－9y2+16x2+24xy+9y2=48x2+9y2．

说明:

（1）三项式的平方，可以写成两项和与第三项的和的完全平方；

（2）在综合运用公式时，要分清不同公式的结构特征和不同的计算结果．

例3计算：

（1）（x+2y）（x－2y）；

（2）（3a－2b）（3a+2b）；

（3）（－m+1）（m+1）；（4）（x+y）（x－y）（x2+y2）．

【解析】

（1）（x+2y）（x－2y）=x2－（2y）2=x2－4y2；

（2）（3a－2b）（3a+2b）=（3a）2－（2b）2=9a2－4b2；

（3）（－

m+1）（

m+1）=12－（

m）2=1－

m2；

（4）（x+y）（x－y）（x2+y2）=[（x+y）（x－y）]（x2+y2）

=（x2－y2）（x2+y2）=（x2）2－（y2）2=x4－y4．

例4计算：

（1）（2x+3y）（2x－3y）－（3x+y）（3x－y）；

（2）998×1002．

【解析】

（1）原式＝4x2－9y2－9x2+y2=－5x2－8y2；

（2）998×1002=（1000－2）（1000+2）=10002－4=999996．

【在线检测一】

下列1～6题计算是否正确:

1．（x+y）2=x2+y2．（）

2．（x－y）2=x2－y2．（）

3．（x+3y）2=x2+3xy+9y2．（）

4．（2x－5y）2=2x2－10xy+5y2．（）

5．（4x－3y）2=16x2－24xy+9y2．（）

6．（2a+3b）（－2a－3b）=4a2－9b2．（）

7．（－2x+3y）2=（）

A．4x2+6xy+9y2B．4x2+12xy+9y2C．2x2－12xy+3y2D．4x2－12xy+9y2

8．（5a+b）（－5a－b）=（）

A．5a2－b2B．25a2－b2C．25a2+10ab+b2D．－25a2－10ab－b2

9．（a+3b）2=______________________．10．（2x－y）2=____________________．

11．（

x+2）2=____________________．12．（

x－2y）2=________________．

13．（x2－4y2）2=___________________．14．（3x_______）2=9x2－12xy+4y2．

15．（________－2n）2=

m2+

mn+4n2．

16．（11x_________）2=121x2________+196y2．

17．若4a2+kab+9b2是一个完全平方式，则k=________．

计算:

18．（x+5y）2．19．（3x－4y）2．

20．（

a+

b）2．21．（－

m+1）2．

22．（2a2b－3c）2．23．（

xy2+4z）2．

24．2012．25．1982．

26．9.82．27．[a+（2b－c）]2．

28．[a－（2b－c）]2．29．[2x+（3y+z）]2．

30．[（a+b）－（3c－2）]2．

【在线检测二】

下列1～5题计算是否正确:

1．（x+3y）（x－3y）=x2－3y2．（）

2．（2a+1）（2a+1）=4a2+1．（）

3．（－3k+2）（3k－2）=9k2－4．（）

4．（3a－4b）（3a+4b）=9a2－16b2．（）

5．（－

m－1）（

m－1）=

m2－1．（）

6．（x+y）（x－y）=___________________．7．（1－t）（1+t）=_______．

8．（a+2）（a－2）=_____________．9．（x+3y）（x－3y）=________．

10．（3a－2）（3a+2）=___________．11．（－x+1）（－x－1）=__________．

12．计算（3a+4b）（3a－4b）所得的正确结果是（）

A．3a2－4b2B．9a2－4b2C．9a2－16b2D．9a－16b

13．下列计算正确的是（）

A．（2a+b）（3a－b）=6a2－b2B．（－2a+b）（2a－b）=4a2－b2

C．（－2a+b）（2a+b）=4a2－b2D．（－2a－b）（－2a+b）=4a2－b2

计算:

14．（4x+5）（4x－5）．15．（－a－2b）（－a+2b）．

16．（－3m－2）（3m－n）．17．（

xy+

）（

xy－

）．

18．（4x2+1）（4x2－1）．19．（x3+y3）（y3－x3）．

20．（3x2－2y）（2y+3x2）．21．（9a2b+4cd2）（－4cd2+9a2b）．

22．（a－2b）（a+2b）（a2+4b2）．23．（x－

）（x2+

）（x+

）．

24．（3a2+2b）（3a2－2b）（9a4+4b2）．

25．（

x+y）（

x－y）（

x2+y2）（

x4+y4）．

26．计算：

（1）（a+b+c）（a+b－c）；

解（a+b+c）（a+b－c）=[（____）+c][（_____）－c]

=（______）2－c2=_______－c2；

（2）（a－b+c）（a+b－c）．

解（a－b+c）（a+b－c）=[a－（_____）][a+（_____）]

=a2－（______）2=_________.

27．计算：

（a－b+c）（a+b+c）=________________.

28．（5a+3）·（_____）=25a2－9．

29．（

x－2y）·（_____）=

x2－4y2．

30．（

x+______）·（

x－_______）=

x2－

y2．

31．（－2x2+_______）·（2x2+_______）=9y4－4x4．

32．（

ab+_______）·（______－

ab）=

a2b2．

计算：

33．97×103．34．299×301．

35．39.8×40.2．36．0.97×1.03．

37．99

×100

．38．－100

×99

．

39．（a+2b）（a－2b）－（2a+b）（2a－b）．

40．（－5x+2y）（－5x－2y）－（4x+3y）（－4x+3y）．

41．（2x+5y）（2x－5y）+（－3x+y）（3x+y）．

42．（a+2b－c）（a－2b－c）－（2a+b）（2a－b）+3（b+c）（b－c）．

43．x4－（2x2+1）（2x2－1）+（x+1）（x－1）（x2+1）．

44．（

a－

b）（

a+

b）－（

a+

b）（－

b+

a）．

45．若a2－b2=24，a+b=6，求ab的值．

【在线检测三】

1．（2x－y）2+（2x+y）2=________．

2．（2x－y）2－（2x+y）2=________．

3．（a+b）2+_______=（a－b）2．

4．16x2+8xy+_______=（4x+_____）2．

5．若x+y=a，xy=b，则（x+y）2=______________．

x2+y2=___________，（x－y）2=____________，x2－xy+y2=___________．

6．若（a+b）2=m，（a－b）2=n，则a2+b2=_____，ab=_______．

7．（－xn+

yn）2．8．（x+y）（x－y）（x2－y2）．

9．（xn－2）（xn+2）（x2n+4）．10．（4x+3y）（3y－4x）－（4x+3y）2．

11．（2x－3y）（2x+3y）（9y2+4x2）－（4x2－9y2）2．

12．（a+3b）2（a－3b）2－（3a+b）2（3a－b）2．

13．[（a+

b）2+（a－

b）2]－（2a2－

b2）．

14．（x+y）2（x－y）2（x2+y2）2．

15．（a+3b－2c）（a－3b+2c）．

16．（x－3y+1）（x+3y－1）－（x+3y）（x－3y）．

17．（x+y+z）（x－y－z）－（x+y－z）（x－y+z）．

18．（a+2b－c）（a－2b+c）－（a－2b－c）2．

19．解方程：

2（2y+1）2－（3y+1）（3y－1）=35－y2．

20．解方程：

4（x－3）2－（2x+1）2=（3x+1）（1－3x）+9x2．

21．已知a（a－1）=（a2－b）－2，求

－ab的值．

参考答案

在线检测一

1．×2．×3．×4．×5．∨6．×7．D8．D9．a2+6ab+9b210．4x2－4xy+y211．

x2+

x+412．

x2－2xy+4y213．x4－8x2y2+16y414．－2y15．－

m16．±14y；±308xy17．±1218．x2+10xy+25y219．9x2－24xy+16y220．

a2+2ab+

b221．

m2－

m+122．4a4b2－12a2bc+9c223．

xy2z+16z224．4040125．3920426．96.04

27．a2+4b2+c2+4ab－4bc－2ac

28．a2+4b2+c2－4ab－4bc+2ac29．4x2+9y2+z2+12xy+4xz+6yz

30．a2+b2+9c2+2ab－6ac－6bc+4a+4b－12c+4

在线检测二

1．×2．×3．×4．∨5．×6．x2－y27．1－t28．a2－49．x2－9y2

10．9a2－411．x2－112．C13．D14．16x2－2515．a2－4b216．4－9m2

17．

x2y2－

18．16x4－119．y6－x620．9x4－4y221．81a4b2－16c2d4

22．a4－14b423．x4－

24．81a8－16b425．

x8－y8

26．（1）a+b；a+b；a+b；a2+2ab+b2

（2）b－c；b－c；b－c；a2－b2+2bc－c2

27．a2+2ac+c2－b228．5a－329．

x+2y30．

y；

y31．3y2；3y2

32．

；

33．999134．8999935．1599.9636．0.9991

37．9999

39．－3a2－3b240．41x2－13y2

41．－5x2－24y242．－3a2－2ac－2c243．－2x444．－

b245．5

在线检测三

1．8x2+2y22．－8xy3．－4ab4．y2；y5．a2；a2－2b；a2－4b；a2－3b

6．

7．x2n－

xnyn+

y2n8．x4－2x2y2+y49．x4n－16

10．－32x2－24xy11．72x2y2－162y412．80b4－80a413．b214．x8－2x4y4+y8

15．a2－9b2+12bc－4c216．6y－117．－4yz18．－8b2－2c2+4ab+2bc

19．y=420．x=

21．2