高三第二次模拟考试 文科数学 含答案I.docx
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高三第二次模拟考试文科数学含答案I
2019-2020年高三第二次模拟考试文科数学含答案(I)
高三数学(文科)2013.5
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.复数
(A)
(B)
(C)
(D)
2.已知向量,.若与共线,则实数
(A)
(B)
(C)
(D)
3.给定函数:
①;②;③;④,其中奇函数是
(A)①
(B)②
(C)③
(D)④
4.若双曲线的离心率是,则实数
(A)
(B)
(C)
(D)
5.如图所示的程序框图表示求算式“”之值,
则判断框内可以填入
(A)
(B)
(C)
(D)
6.对于直线,和平面,,使成立的一个充分条件是
(A),∥
(B)∥,
(C),,
(D),,
7.已知函数.若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
8.已知集合的非空子集具有性质:
当时,必有.则具有性质的集合的个数是
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知直线,.若∥,则实数______.
10.右图是甲,乙两组各名同学身高(单位:
)数据
的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为和,
则______.(填入:
“”,“”,或“”)
11.在△中,,,,则______;△的面积是______.
12.设,随机取自集合,则直线与圆有公共点的概率是
______.
13.已知命题函数在上单调递增;命题不等式的解集是.若且为真命题,则实数的取值范围是______.
14.在直角坐标系中,已知两定点,.动点满足则点构成的区域的面积是______;点构成的区域的面积是______.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知等比数列的各项均为正数,,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设.证明:
为等差数列,并求的前项和.
16.(本小题满分13分)
如图,在直角坐标系中,角的顶点是原点,始边与轴正半轴重合,终边交单位圆于点,且.将角的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点.记.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)分别过作轴的垂线,垂足依次为.记△
的面积为,△的面积为.若,求角的值.
17.(本小题满分14分)
如图1,在四棱锥中,底面,面为正方形,为侧棱上一点,为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)求四面体的体积;
(Ⅱ)证明:
∥平面;
(Ⅲ)证明:
平面平面.
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
19.(本小题满分14分)
如图,椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称.
(Ⅰ)若点的坐标为,求的值;
(Ⅱ)若椭圆上存在点,使得,求的取值范围.
20.(本小题满分13分)
已知集合是正整数的一个排列,函数
对于,定义:
,,称为的满意指数.排列为排列的生成列.
(Ⅰ)当时,写出排列的生成列;
(Ⅱ)证明:
若和为中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(Ⅲ)对于中的排列,进行如下操作:
将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:
新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加.
北京市西城区2013年高三二模试卷
高三数学(文科)参考答案及评分标准
2013.5
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.A;2.A;3.D;4.B;5.C;6.C;7.B;8.B.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.;10.;11.,;
12.;13.;14.,.
注:
11、14题第一空2分,第二空3分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
设等比数列的公比为,依题意.………………1分
因为,,
两式相除得,………………3分
解得,舍去.………………4分
所以.………………6分
所以数列的通项公式为.………………7分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)得.………………9分
因为,
所以数列是首项为,公差为的等差数列.………………11分
所以.………………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
由三角函数定义,得,.………………2分
因为,,
所以.………………3分
所以.………………5分
(Ⅱ)解:
依题意得,.
所以,………………7分
.……………9分
依题意得,
整理得.………………11分
因为,所以,
所以,即.………………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
由左视图可得为的中点,
所以△的面积为.………………1分
因为平面,………………2分
所以四面体的体积为
………………3分
.………………4分
(Ⅱ)证明:
取中点,连结,.………………5分
由正(主)视图可得为的中点,所以∥,.………6分
又因为∥,,所以∥,.
所以四边形为平行四边形,所以∥.………………8分
因为平面,平面,
所以直线∥平面.………………9分
(Ⅲ)证明:
因为平面,所以.
因为面为正方形,所以.
所以平面.………………11分
因为平面,所以.
因为,为中点,所以.
所以平面.………………12分
因为∥,所以平面.………………13分
因为平面,所以平面平面.………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
的定义域为,且.………………2分
当时,,,
所以曲线在点处的切线方程为,
即.………………4分
(Ⅱ)解:
方程的判别式,………………5分
令,得,或.………………6分
和的情况如下:
↗
↘
↗
故的单调增区间为,;单调减区间为.
………………9分
①当时,,此时在区间上单调递增,
所以在区间上的最小值是.………………10分
②当时,,此时在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以在区间上的最小值是.………………12分
③当时,,此时在区间上单调递减,
所以在区间上的最小值是.………………13分
综上,当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是.
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
依题意,是线段的中点,
因为,,
所以点的坐标为.………………2分
由点在椭圆上,
所以,………………4分
解得.……………6分
(Ⅱ)解:
设,则,且.①………………7分
因为是线段的中点,
所以.………………8分
因为,
所以.②………………9分
由①,②消去,整理得.………………11分
所以,………………13分
当且仅当时,上式等号成立.
所以的取值范围是.………………14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
当时,排列的生成列为.………………3分
(Ⅱ)证明:
设的生成列是;的生成列是与.
从右往左数,设排列与第一个不同的项为与,即:
,,,,.
显然,,,,下面证明:
.………………5分
由满意指数的定义知,的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数.
由于排列的前项各不相同,设这项中有项比小,则有项比大,从而.
同理,设排列中有项比小,则有项比大,从而.
因为与是个不同数的两个不同排列,且,
所以,从而.
所以排列和的生成列也不同.………………8分
(Ⅲ)证明:
设排列的生成列为,且为中从左至右第一个满意指数为负数的项,所以.………………9分
依题意进行操作,排列变为排列,设该排列的生成列为.………………10分
所以
.
所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加.
………………13分
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