主题8描述量变到质变的数学.docx

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主题8描述量变到质变的数学

主题8描述量变到质变的数学—微积分

同学们，我们学习过圆的面积公式，大家想过没有这个公式如何给出严格证明？

椭圆的面积如何计算？

球的体积如何计算？

在物理学中我们知道位移函数，利用上一节的导数可以求速度函数，我们是否想到过相反的问题——如果知道速度函数如何求位移函数？

学习了微积分这些问题都可以得到解决，不过由于中学阶段对于这个内容要求比较低，我们只能解决个别问题，我们在本书中再列举几个问题.

【数学史话】微积分的发展历史简要回顾

欧洲古希腊时期有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题，较为重要的当数安提芬（Antiphon,B.C420年左右）的“穷竭法”，他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积，但他的方法并没有被数学家们所接受.后来安提芬的穷竭法在欧多克斯（Eudoxus,B.C409-B.C356）那里得到补充和完善.之后，阿基米德（Archimedes,B.C287-B.C212）借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题.他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法.他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较.但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的.平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形.

微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后，1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒.一方面，社会生产力迅速提高、科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长也为科学研究提出了大量的问题.这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段.

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题，有四种主要类型的科学问题：

第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究.在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具.这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作.

17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生.前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性.虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视.因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务.

在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积．面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐的能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础．正如牛顿本人在《流数简论》中所说：

一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解．这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体．这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分．

刘徽的数学贡献

微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代.在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子.在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子·天下篇》中记载了惠施的一段话：

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想.但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽.他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元.刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积.用他的话说，就是：

“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14.大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）、祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一.其次明确提出了下面的原理：

“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，即西方所谓的“卡瓦列利原理”.并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题.

①极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽.刘徽已领悟到数列极限的要谛，故能有重要创获.刘徽的杰出贡献首推他在《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化的思想.在一千五百年前能运用这种思想，是难能可贵的.

有了割圆术，也就有了计算圆周率的理论和方法.圆周率是圆周长和直径的比值，简称π值.π值是否正确，直接关系到天文历法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用，所以精确计算π值，是数学上的一个重要任务.

②关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台之类的体积就难以求得.刘徽经过苦心思索，终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现：

“求圆亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他推得：

圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是π∶4.很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积.刘徽这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之为“刘徽定理”.在古代没有微积分的时候，这条定理起着微积分的作用，在现代数学中仍有共价值.刘宋时祖冲之、祖暅父子继承刘徽定理而得出更为进步的祖氏原理.在西方，直到1635年意大利数学家卡瓦列利才有了与祖氏父子类似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比刘徽更迟了一千三百多年.

③十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，在刘徽以前，一般是用分数或命名制来表示，如“一升又五分升之三”，即升.或七分八厘九毫五忽”等，在位数较少时，尚可凑合，当小数位数太多时，便很不方便，因之刘徽建立了十进分数制.他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数，开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象.他说：

“微数无名者以为分子，其一退以十为分母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂（已经开出去的正方形面积）虽有所弃之数（未能开出的部分），不定言之也”.用现代方法写其方根近似值是忽.

④改进了线性方程组的解法《九章算术》中有一章专讲线性方程组问题.用一种“直除法”求解，即解方程组时把多个未知数逐步减少到一个未知数，然后反过来求出所有未知数的值.“直除法”的消元（未知数）要通过对应项系数累减的办法来完成，比较麻烦.刘徽对“直除法”加以改进，在解二元一次方程组时，用了“互乘对减”的方法，一次消去一项，如同后来的加减消元法.刘徽虽然只用过一次“互乘对减法”，但他知此法带有普遍性，可以推广到任何元数的线性方程组.刘徽还使用配分比例法解线性方程组，也是有创造性的成果.在欧洲，直到十六世纪法国数学家布丢解线性方程的方法才与《九章算术》的“直除法”相似，然而已比《九章算术》晚了一千七百多年，而且没有刘徽改进的解法好.

⑤总结和发展了重差术我国古代，将用“表”（标杆）或“矩”（刻划以留标记）进行两次测望的测量方法称做“重差术”.《九章算术注》中第九章《句股》，主要讲测量高、深、广、远问题，说明当时测量数学和测绘地图已有相当水平.刘徽《重差》一卷所以被改称《海岛算经》就是因为其第一题是讲测量海岛的.“重差”之名，古已有之，刘徽对之进行了深入而具体的研究，他解释重差的含义说：

“凡望极高，测绝深，而兼知其远者，必用重差，勾股则必以重差为率，故曰：

重差也”.刘徽的《海岛算经》共答案.其解法都可以变成平面三角公式，起着与三角同等的作用，可说是我国古代特有的三角法.

【数学应用】1．定积分在中学物理学中的应用

用dx表示一段无穷小位移称“元位移”，F（x）表示这段小位移起点所对应的力.因为dx无穷小，所以认为在发生这段位移过程中力保持F（x）不变，则F（x）dx表示一个无穷小功称为“元功”，定积分就是在一段位移内求很多元功的和，即

表示从位置a到位置b变力所做的功.

例1.电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b（a

提示:

由物理学知道在电量为+q的点电荷所产生的电场中距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为

（k是常数）

解:

在r轴上当单位正电荷从r移动到r+dr时电场力对它所作的功近似为

即功元素为

于是所求的功为

例2：

如图所示，小球在BC之间做简谐运动，振幅为A，O为平衡位置.已知弹簧劲度系数为k，求小球从O到C过程中弹力所做的功.（这个问题对于学习物理选修3-4的同学可以参考，没有学习的略去）

解：

建立以O为原点向右为正方向的坐标系，则xo=0，xc=A，小球运动到OC之间某一位置x时，所受弹力为-F（x）=-kx，在x处沿运动方向取一元位移dx，则元功为-F（x）dx=-kxdx，从O到C弹力对小球做功为

例3：

求正弦交流电

的有效值.

解：

设该交变电流通过某一电阻R，在一个周期

内产生的热量如果和某一恒定电流I通过同一电阻、在同一时间内产生的热量相等，则I大小即为

的有效值.即

由积分公式易知

.

4.作变速直线运动的物体所经过的路程

，等于其速度函数

在时间区间

上的定积分，即

例4.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度

（

的单位：

，

的单位：

）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位;

）是（）

A.

B.

C.

D.

【解析与答案】令

，则

.汽车刹车的距离是

，故选C.

【思维导航】1.微积分中的哲学思想

数学和哲学同为两门最古老的学科.从古代常量数学,到近代变量数学及现代数学理论的形成过程中,哲学在推动其发展、揭示其内涵方面起到了重要作用，而数学也以其高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性为哲学的发展提供依据和论证.可以说,在人们不断地对自我和大自然的认识过程中,数学和哲学都得到了很大的发展.

微积分的创立是数学史上的一次重大飞跃.它是继欧几里得几何之后,全部数学中的一个最大的创造.微积分的创立首先是为了处理17世纪几个主要的科学问题的.这些问题包括求曲线的切线,求物体在任意时刻的速度和加速度,以及函数的最大值和最小值等等.这其中用到的解决方法正是微积分日后产生的基础.而“演绎”、“归纳”、“极限”、“质量互变原理”、“否定之否定”等思想,正是解决微积分问题的钥匙.“从近似中求得以精确，在量变中求得以精确”是微积分学的最基本的思想.

微积分从产生到定型成今天的形式,经历了三个不同的阶段:

以神秘的无穷小为基础的牛顿和莱布尼茨阶段;以动态的极限概念为基础的柯西阶段和以静态的量的概念为基础的外尔斯特拉斯阶段.三个阶段之间既有内在联系,又有认识上的区别,是一个不断发展和运动的历史演变过程.这其中体现了一种唯物辩证法的科学方法论.

方法论是关于认识世界和改造世界的根本方法的理论.辩证唯物主义是坚持以联系的、发展的、全面的方法看问题,处理问题,这就是辩证唯物主义的方法论.微积分中的任何一个概念,一种理论,都有其产生、演化和发展的历史.它们的现状是与其历史有着内在的联系的.现在是历史发展的结果,又是预测未来的基础.微积分的诞生和发展正是遵循了这样的方法,体现了方法论的原则.一定量的积累必然导致质的突破,微积分的形成也是如此.可以说,辩证唯物主义的方法论是微积分研究的基础和前提.

【拓展提升】.1.定积分在不等式上的应用

不等式的证明是中学数学的一个重要内容，同时也是一个数学难点.由于微积分部分内容逐步渗透到中学数学中，用定积分方法解决不等式证明已成为可能.定积分在不等式上的应用所依据的原理是：

若于区间

上，连续函数

、

满足

，其中不等号至少对于

中某一点处成立，则有

例1.若

，求证

.

证明先假设

，则在区间

上，有

，

其中，只要

，取严格不等号，所以

，

所以

，即

，

所以

，若

，则于区间

上有

，

如果

，则在左右两端便相等，所以只要

，恒有

.

2.定积分与几何概型的综合应用（暂时没有学习必修3的同学可以跳过）

例2、在区间

上任取两数

，求二次方程

的两根都是实根的概率.

分析：

可用

表示试验结果.求出所有可能结果的面积和方程有实根的结果的面积，再利用几何概型来解答.

解：

用

表示每次试验结果，则所有可能结果为：

，即为图4中正方形

的面积；由方程有实根得：

，则方程有实根的可能结果为

，即为图4中阴影部分区域.阴影部分面积可用定积分来计算.所以

，

，

所以所求概率为：

.

例3.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）

A、

B、

C、

D、

解：

可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：

S（A）=

=

．所以P（A）=

．

例4.设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分

，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分

的近似值为．

分析：

要求∫10f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．

解：

由题意可知

得

，故积分

的近似值为

．

【数学欣赏】1、第二次数学危机

前面我们已经简要介绍第一次数学危机和第三次数学危机，本文介绍第二次数学危机.公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视.然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说.

例如牛顿当时是这样求函数y＝xn的导数的：

（x＋△x）n＝xn＋n·xn-1·△x＋[n（n+1）/2]·xn-2·（△x）2＋……＋（△x）n（笔者注：

在这里利用到了选修2-3的二项式定理，我们在后面学习，在这里只是了解），然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn]/△x＝n·xn-1＋[n（n-1）/2]·xn-2·△x＋……＋n·x·（△x）n-2＋（△x）n-1，最后，扔掉其中含有无穷小量△x的项，即得函数y=xn的导数为y′=nxn-1.

对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：

先用△x为除数除以△y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明△x等于零，这岂不是自相矛盾吗？

因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”.这就是著名的“贝克莱悖论”.

确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为0，有时又异于0的做法，不得不让人怀疑.无穷小量究竟是不是零？

无穷小及其分析是否合理？

贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机.

第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动.在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作.微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质.在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：

一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变.而柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了.后来外尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了.极限的ε－δ定义就是用静态的ε－δ刻画动态极限，用有限量来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步.极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义.后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论.这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路.

数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系，每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展.悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了,新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们便不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论.数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的出现，不单是给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望.

数学中悖论和危机的历史也说明了这一点：

已有的悖论和危机消除了，又产生新的悖论和危机.但是人的认识是发展的，悖论或危机迟早都能获得解决.“产生悖论和危机，然后努力解决它们，而后又产生新的悖论和危机.”这是一个无穷反复的过程，也就不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程.

2.中国古代数学离微积分的创立只差一步

中国古代数学离微积分的创立只差一步，吴文俊研究成果：

”近代数学起源于中国数学，而非希腊数学“ .微积分的产生一般分为三个阶段：

极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系.最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的.前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献.对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的.公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念.刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现.

　　微积分思想虽然可追溯古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的.而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到.北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究.

南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年.特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、 “招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键.中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门.可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了.

70 年代初，吴文俊开始研读中国数学史.中国古代数学曾有过辉煌的历史，直到 14 世纪，在许多数学领域都保持西方望尘莫及的水平.但是，西方一些数学史家不了解也不承认中国古代数学的光辉成就，将其排斥于“数学主流”之外.吴文俊对此作了正本清源的研究. 1975 年，他撰写了《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》，文中详细列举在代数、几何、三角、解析几何和微积分等学科的发现和创立过程中，中国传统数学所起的重大作用，吴文俊认为：

近代数学之所以能够发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希腊的数学，决定数学历史发展进程的主要是中国的数学而非希腊的数学.这一论断在当时真可谓空谷惊雷，振聋发聩.此后，吴文俊对中国数学史的研究一发而不可收.大约在 1976 年，他的论文《我国古代测望之学重差理论评价—兼评数学史研究中某些方法问题》洋洋洒洒 3 万余言，列举参考文献达 48 种，从古代“重差理论”入手，见微知著，批判了数学史研究中“以今代古”所产生的巴比伦神话、印度神话以及丢番图神话；正是在此文中，吴文俊意识到“几何与代数的配合、代数的几何应用与几何的代数化正是宋元天元术的主要含义”，指出“在宋元数学家的手里为了发展天元术而建立了一整套的代数机器”.这为他日后机器证明思想埋下了伏笔.随后的另一篇文章《〈海岛算经〉古证探源》，提出了古证复原的三项原则，在数学史界引起了强烈反响. 1986 年，吴文俊应邀在国际数学家大会做 45 分钟报告，作为国际著名的数学家，吴文俊的报告却是“近年来中国数学史的研究”.