二次函数和幂函数高考数学基础训练.docx
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二次函数和幂函数高考数学基础训练
阶段检测四
一、选择题
1.(2017烟台)某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为( )
A.48°B.40°
C.30°D.24°
2.下列关于位似图形的表述:
①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;
②位似图形一定有位似中心;
③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
其中正确命题的序号是( )
A.①②B.①④C.②③D.③④
3.根据下列条件,能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D
B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF
C.∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EF
D.AB=DE,BC=EF,∠B=∠D
4.已知3是关于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长,则△ABC的周长为( )
A.7B.10C.11D.10或11
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:
①△BCD≌△CBE;②△BAD≌△BCD;③△BDA≌△CEA;④△BOE≌△COD;⑤△ACE≌△BCE,上述结论一定正确的是( )
A.①②③B.②③④
C.①③⑤D.①③④
6.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,下列说法中不正确的是( )
A.DE=BCB.=
C.△ADE∽△ABCD.S△ADE∶S△ABC=1∶2
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于点D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为( )
A.1B.2C.3D.4
8.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D',边BC与D'C'交于点O,则四边形ABOD'的周长是( )
A.6B.6
C.3D.3+3
9.如图,已知AD为△ABC的高,AD=BC,以AB为底边作等腰Rt△ABE,EF∥AD,交AC于点F,连接ED,EC,有以下结论:
①△ADE≌△BCE;
②CE⊥AB;
③BD=2EF;
④S△BDE=S△ACE.
其中正确的是( )
A.①②③B.②④
C.①③D.①③④
10.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=20°.动点P,Q分别在直线BC上运动,且始终保持∠PAQ=100°.设BP=x,CQ=y,则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为( )
11.若点O是等腰三角形ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则△ABC的面积为( )
A.2+B.
C.2+或2-D.4+2或2-
二、填空题
12.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则= .
13.(2017湖北黄冈)已知:
如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3cm,BO=4cm,将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D= cm.
14.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6),B(-9,-3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A'的坐标是 .
15.如图所示,△ABC中,点D,E,F分别在三边上,E是AC的中点,AD,BE,CF交于一点G,BD=2DC,S△GEC=3,S△GDC=4,则△ABC的面积是 .
16.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0 17.如图,已知点A(1,2)是反比例函数y=的图象上的一点,连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点.若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是 . 三、解答题 18.如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,△ABE≌△ACD,∠C=42°,AB=9,AD=6,G为AB延长线上一点. (1)求∠EBG的度数; (2)求线段CE的长. 19.如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于点F,D为AB的中点,连接DF并延长交AC于点E.若AB=10,BC=16,求线段EF的长. 20.如图,已知: 在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC且交AC于点D. (1)若∠BAC=30°,求证: AD=BD; (2)若AP平分∠BAC且交BD于点P,求∠BPA的度数. 21.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”形道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20km;BC段与AB,CD段都垂直,长为10km,CD段长为30km.求两高速公路间的距离(结果保留根号). 22.(2017泰安模拟)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点. (1)当点P与点Q重合时,如图1,写出QE与QF的数量关系,不证明; (2)当点P在线段AB上且不与点Q重合时,如图2, (1)中的结论是否成立? 并证明; (3)当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,如图3,此时 (1)中的结论是否成立? 请画出图形并给予证明. 阶段检测四 一、选择题 1.D ∵AB∥CD, ∴∠1=∠BAE=48°. ∵CF=EF, ∴∠C=∠E, ∵∠1=∠C+∠E, ∴∠C=∠1=×48°=24°. 故选D. 2.C ①相似图形不一定是位似图形,位似图形一定是相似图形,故①错误; ②位似图形一定有位似中心,故②正确; ③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形,故③正确; ④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比,故④错误. 故选C. 3.B 根据三角形的判定定理ASA可得选项B可以判定两个三角形全等,故选B. 4.D 把x=3代入方程得9-3(m+1)+2m=0, 解得m=6,则原方程为x2-7x+12=0, 解得x1=3,x2=4. 由题意得这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两边长, ①当△ABC的腰长为4,底边长为3时,△ABC的周长为4+4+3=11; ②当△ABC的腰长为3,底边长为4时,△ABC的周长为3+3+4=10. 综上所述,△ABC的周长为10或11. 5.D ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE. ∴①△BCD≌△CBE(ASA); ③△BDA≌△CEA(ASA); ④△BOE≌△COD(AAS或ASA). 故选D. 6.D ∵D,E分别是AB,AC的中点, ∴DE∥BC,DE=BC, ∴===,△ADE∽△ABC, ∴S△ADE∶S△ABC==. ∴选项A,B,C正确,选项D错误. 7.A ∵DE垂直平分AB,∴DA=DB, ∴∠B=∠DAB.∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠DAB. ∵∠C=90°,∴3∠CAD=90°, ∴∠CAD=30°. ∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC, ∴CD=DE=BD. ∵BC=3,∴CD=DE=1. 8.A 连接BC'. ∵旋转角∠BAB'=45°, ∴∠BAD'=45°,∴B在对角线AC'上. ∵B'C'=AB'=3, ∴在Rt△AB'C'中,AC'==3, ∴BC'=3-3. 在等腰Rt△OBC'中, OB=BC'=3-3, OC'=×(3-3)=6-3, ∴OD'=3-OC'=3-3, ∴四边形ABOD'的周长为2AD'+OB+OD'=6+3-3+3-3=6.故选A. 9.D 如图,延长CE交AD于点K,交AB于点H.设AD交BE于点O. ∵∠ODB=∠OEA,∠AOE=∠DOB, ∴∠OAE=∠OBD. ∵AE=BE,AD=BC, ∴△ADE≌△BCE,故①正确. ∴∠AED=∠BEC,DE=EC, ∴∠AEB=∠DEC=90°, ∴∠ECD=∠ABE=45°. ∵∠AHC=∠ABC+∠HCB=90°+∠EBC>90°, ∴EC不垂直于AB,故②错误. ∵∠AEB=∠HED, ∴∠AEK=∠BED. 又∵AE=BE,∠KAE=∠EBD, ∴△KAE≌△DBE, ∴BD=AK. ∵△DCK是等腰直角三角形, DE平分∠CDK, ∴EC=EK. ∵EF∥AK, ∴AF=FC, ∴AK=2EF, ∴BD=2EF,故③正确. ∵EK=EC, ∴S△AKE=S△AEC. ∵△KAE≌△DBE, ∴S△KAE=S△BDE, ∴S△BDE=S△AEC,故④正确. 故选D. 10.A ∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=20°, ∴∠ACB=80°, 又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°, ∴∠PAB+∠CAQ=80°. 在△ABC中,∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°, ∴∠AQC=∠PAB. 同理,∠P=∠CAQ. ∴△APB∽△QAC, ∴=,即=. 则函数解析式是y=. 故选A. 11.C 由题意可得,如图所示. 存在两种情况: ①当△ABC为△A1BC时,连接OB,OC. ∵点O是等腰三角形ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,OB=OC, ∴△OBC为等边三角形,OB=OC=BC=2,OA1⊥BC于点D, ∴CD=1,OD==, ∴===2-. ②当△ABC为△A2BC时,连接OB,OC. ∵点O是等腰三角形ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,OB=OC, ∴△OBC为等边三角形,OB=OC=BC=2,OA2⊥BC于点D, ∴CD=1,OD==, ∴===2+. 由上可得,△ABC的面积为2-或2+, 二、填空题 12.答案 解析 ∵AH=2,HB=1, ∴AB=AH+BH=3. ∵l1∥l2∥l3, ∴==. 13.答案 1.5 解析 ∵在△AOB中,∠AOB=90°, AO=3cm,BO=4cm, ∴AB==5cm. ∵点D为AB的中点, ∴OD=AB=2.5cm. ∵将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处, ∴OB1=OB=4cm, ∴B1D=OB1-OD=1.5cm. 14.答案 (-1,2)或(1,-2) 解析 ∵点A(-3,6),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小, ∴点A的对应点A'的坐标是(-1,2)或(1,-2). 15.答案 30 解析 BD=2DC, ∴S△ABD=2S△ACD, ∴S△ABC=3S△ACD. ∵E是AC的中点, ∴S△AGE=S△GEC, 又∵S△GEC=3,S△GDC=4, ∴S△ACD=S△AGE+S△GEC+S△GDC=3+3+4=10, ∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30. 16.答案 1或 解析 设运动时间为t秒(0 ∵∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm, ∴AB==10(cm). 当△BPQ∽△BAC时,=,即=,解得t=1; 当△BPQ∽△BCA时,=,即=,解得t=, 即当t=1或时,△BPQ与△ABC相似. 故答案为1或. 17.答案 (-3,0)或(5,0)或(3,0)或(-5,0) 解析 ∵反比例函数y=的图象关于原点对称, ∴A,B两点关于原点对称, ∴B点的坐标为(-1,-2). ∴当△PAB为等腰三角形时,有PA=AB或PB=AB. 设P点坐标为(x,0). ∵A(1,2),B(-1,-2), ∴AB==2, PA=, PB=. 当PA=AB时,则有=2, 解得x=-3或5,此时P点坐标为(-3,0)或(5,0); 当PB=AB时,则有=2, 解得x=3或-5,此时P点坐标为(3,0)或(-5,0). 综上可知P点的坐标为(-3,0)或(5,0)或(3,0)或(-5,0). 三、解答题 18.解析 (1)∵△ABE≌△ACD, ∴∠EBA=∠C=42°, ∴∠EBG=180°-42°=138°. (2)∵△ABE≌△ACD, ∴AC=AB=9,AE=AD=6, ∴CE=AC-AE=9-6=3. 19.解析 ∵AF⊥BF, ∴∠AFB=90°. ∵AB=10,D为AB中点, ∴DF=AB=AD=BD=5, ∴∠ABF=∠BFD. 又∵BF平分∠ABC, ∴∠ABF=∠CBF, ∴∠CBF=∠DFB, ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴=,即=, 解得DE=8, ∴EF=DE-DF=3. 20.解析 (1)证明: ∵∠BAC=30°, ∠C=90°, ∴∠ABC=60°. 又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=30°, ∴∠BAC=∠ABD,∴BD=AD. (2)解法一: ∵∠C=90°, ∴∠BAC+∠ABC=90°, ∴(∠BAC+∠ABC)=45°. ∵BD平分∠ABC,AP平分∠BAC, ∴∠BAP=∠BAC,∠ABP=∠ABC, 即∠BAP+∠ABP=45°, ∴∠APB=180°-45°=135°. 解法二: ∵∠C=90°, ∴∠BAC+∠ABC=90°, ∴(∠BAC+∠ABC)=45°. ∵BD平分∠ABC,AP平分∠BAC, ∴∠DBC=∠ABC,∠PAC=∠BAC, ∴∠DBC+∠PAD=45°. ∴∠BPA=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD =∠DBC+∠PAD+∠C =45°+90° =135°. 21.解析 过B点作BE⊥l1,交l1于点E,交CD于F点,交l2于点G. 在Rt△ABE中,BE=AB·sin30°=20×=10(km), 在Rt△BCF中,BF=BC÷cos30°=10÷=(km), CF=BF·sin30°=×=(km), DF=CD-CF=km. 在Rt△DFG中,FG=DF·sin30°=×=km, ∴EG=BE+BF+FG=(25+5)km. 故两高速公路间的距离为(25+5)km. 22.解析 (1)QE=QF. 理由: ∵Q为AB的中点, ∴AQ=BQ.∵BF⊥CP,AE⊥CP, ∴∠BFQ=∠AEQ=90°. 在△BFQ和△AEQ中, ∴△BFQ≌△AEQ(AAS),∴QE=QF. (2) (1)中的结论仍然成立. 证明: 如图①,延长FQ交AE于点D. ∵Q为AB的中点,∴AQ=BQ. ∵BF⊥CP,AE⊥CP,∴BF∥AE, ∴∠QAD=∠FBQ. 在△FBQ和△DAQ中, ∴△FBQ≌△DAQ(ASA), ∴QF=QD.∵AE⊥CP, ∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线, ∴QE=QF=QD,即QE=QF. (3) (1)中的结论仍然成立. 证明: 如图②,点P在线段BA的延长线上,延长EQ,FB交于点D. ∵Q为AB的中点,∴AQ=BQ. ∵BF⊥CP,AE⊥CP, ∴BF∥AE,∴∠1=∠D. 在△AQE和△BQD中, ∴△AQE≌△BQD(AAS), ∴QE=QD.∵BF⊥CP, ∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线, ∴QE=QF. 同样,点P在线段AB的延长线上时, (1)中的结论也成立.
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