二次函数专题培优含答案.docx
- 文档编号:7570430
- 上传时间:2023-01-25
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:348.83KB
二次函数专题培优含答案.docx
《二次函数专题培优含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二次函数专题培优含答案.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
二次函数专题培优含答案
二次函数专题复习
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数。
里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2
2.二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
yax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
0,0
y轴
x0时,y随x的增大而增大;x0时,y随x的增大而减小;x0时,y有最小值0.
a0
向下
0,0
y轴
x0时,y随x的增大而减小;x0时,y随x的增大而增大;x0时,y有最大值0.
2
2.yax2c的性质:
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
0,c
y轴
x0时,y随x的增大而增大;x0时,y随x的增大而减小;x0时,y有最小值c.
a0
向下
0,c
y轴
x0时,y随x的增大而减小;x0时,y随x的增大而增大;x0时,y有最大值c.
2
3.yaxh的性质:
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,0
X=h
xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的增大而减小;xh时,y有最小值0.
a0
向下
h,0
X=h
xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随x的增大而增大;xh时,y有最大值0.
2
4.yaxhk的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,k
X=h
xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的增大而减小;xh时,y有最小值k.
a0
向下
h,k
X=h
xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随x的增大而增大;xh时,y有最大值k.
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
2
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k,确定其顶点坐标h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴yax2bxc沿y轴平移:
向上(下)平移m个单位,yax2bxc变成
yax2bxcm(或yax2bxcm)
22
⑵yax2bxc沿轴平移:
向左(右)平移m个单位,yax2bxc变成
22
ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
五、二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
七、二次函数解析式的表示方法
1.
一般式:
2yax
bxc(a,b,c为常数,a0);
2.
顶点式:
y
a(x
h)2k(a,h,k为常数,a0);
3.
两根式:
y
a(x
x1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0.
⑴当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;⑵当a0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.
2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a0的前提下,
当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
2a
当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y轴;2a
当b0时,b0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即
当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;
2a
当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
当b0时,b0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.
已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
1.
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称
2
yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是
2ax
bx
c;
2
yaxhk关于x轴对称后,得到的解析式是
2.
关于y轴对称
2
yax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是
2ax
bxc;
3.
2
yaxhk关于y轴对称后,得到的解析式是
关于原点对称
2
yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是
ax
k;
2ax
bx
c;
xh
2
k;
y
2ax
bx
c关于顶点对称后,得到的解析式是y
ax2bxc
2
b2;;
2a
y
ax
2h
k关于顶点对称后,得到的解析式是y
2axh
k.
5.关于点
m,
n对称
y
ax
2
h2
k关于点m,n对称后,得到的解析式是
yax
2
h2m2nk
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数:
①当b24ac0时,图象与x轴交于两点Ax1,0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次
方程ax2
bxc0a0的两根.这两点间的距离ABx2
x1
b2
4aca
②当
0时,图象与x轴只有一个交点;
③当
0时,图象与x轴没有交点.
1'当
a0时,图象落在x轴的上方,无论
x为任何实数,
都有
y
0;
2'当
a0时,图象落在x轴的下方,无论
x为任何实数,
都有
y
0.
2
2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数;
下面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
0
抛物线与x轴有
两个交点
二次三项式的值可正、
可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
0
抛物线与x轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
0
抛物线与x轴无
交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x为自变量的二次函数y(m2)x2m2m2的图像经过原点,则m的值是
反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查试题类型为选择题,如:
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
5
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x,求这条抛物线的解析式。
3
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线yax2bxc(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
2c
例1
(1)二次函数yax2bxc的图像如图1,则点M(b,)在()
a
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,?
则下列结论:
①a、b同号;②当x=1
和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1 ①aO;③4a+c A1个B.2个C.3个D.4个会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知: 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=2,则抛物线的顶点坐标为() ,3)D.(3,2) 22 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长. 【点评】本题 (1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第 (2)问主要考查二次函数与一元二次方程的 关系. A(2,-3)B.(2,1)C(2 (2)当x=2,3.5时,y分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间? 求抛物线顶点坐标、 对称轴. 15例5、已知抛物线y=x2+x-. 12 例6、“已知函数yx2bxc的图象经过点A(c,-2), 2 求证: 这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式? 若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。 2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。 [解答] (1)根据y1x2 2 bxc的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3, (35,0). 5 令x=3代入解析式,得y5, 2 125 所以抛物线yx23x2的顶点坐标为(3,), 22 所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,5)等等。 2函数主要关注: 通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点 P,使矩形PNDM有最大面积. 【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力.同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间. 例2某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)? 与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 y(件) 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数. (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? ? 此时每日销售利润是多少元? 15kb25, 【解析】 (1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则解得k=-1,b=40,? 即一次函数表达 2kb20 式为y=-x+40. (2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元 w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225. 产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元. 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: (1)设未知数在“当 某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,? “某某”要设为自变量,“什么”要设为函数; (2)? 问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程. 二次函数对应练习试题 、选择题 A.(2,-11) B. -2,7) C. 2,11)D. 2,-3) 2.把抛物线y 2 2x2向上平移 1个单位, 得到的抛物线是( 22 7.方程2xx2的正根的个数为() x 与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. y 2 x2x2 B. C. y x2x2或y x2x2 D 2 yxx2 yx2x2或yx2x2 二、填空题 9.二次函数yx2bx3的对称轴是x2,则b。 10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是 11.一个函数具有下列性质: ①图象过点(-1,2),②当x<0时,函数值y随自变量x的增大而增大; 满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可)。 12.抛物线y2(x2)26的顶点为C,已知直线ykx3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。 13.二次函数y2x24x1的图象是由y2x2bxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=,c=。 14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地 方,桥的高度是(π取3.14). 三、解答题: 5 15.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,). 2 (1)求这个二次函数的解析式; (2)当x为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大? 12 16.某种爆竹点燃后,其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式hv0tgt2(0 力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升, (1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米? (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由. 17.如图,抛物线yx2bxc经过直线点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为 (1)求此抛物线的解析式; (2)点P为抛物线上的一个动点,求使S的坐标。 18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现: 当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5 吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元), 该经销店的月利润为y(元). (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说: “当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗? 请说明理由. 练习试题答案 ,选择题、 1.A2.C3.A4.B5 .D 二、填空题、 9.b410.x<-311 .如 2x2 4,y2x4等 答案不唯一) 12.113.-8714 .15 三、解答题 15. (1)设抛物线的解析式为 2ax bxc, 由题意可得 b3 2a abc6 解得 12,b 3,c 所以y 1x23x5 22 (2) x1或-5 (2) 16. 1)由已知得, 1520t 10 t2,解得t1 3,t2 1当t 3时不合题意,舍去。 所以当爆竹点燃 后1秒离地15米. (2)由题意得, 2 5t220t=5(t 2)2 20,可知顶点的横坐标t 2,又抛物 线开口向下,所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至108秒这段时间内,爆竹在上升. 17. (1)直线yx3与坐标轴的交点 A(3,0),B(0,-3).则93bc0解得b c3c 所以此抛物线解析式为yx2 2x 3. (2)抛物线的顶点D(1,-4),与x轴的另一个交点C(- 1,0).设P(a,a22a3),则(1 a22a3): (12 44)5: 4.化简得a22a35 22 a22a3>0时,a22a 5得a4,a2 ∴P(4,5)或P(-2,5) 当a22a3<0时,a22a 5即a22a2 0,此方程无解.综上所述,满足条件的点的 坐标为(4,5)或(-2,5). 18. (1)452602407.5=60(吨). (2)y(x100)(45260x7.5),化简得: 1010 323232 yx2315x24000.(3)yx2315x24000(x210)29075. 444 红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元. (4)我认为,小静说的不对.理由: 方法一: 当月利润最大时,x为210元,而对于月销售额 260x32 Wx(457.5)3(x160)219200来说, 104 当x为160元时,月销售额W最大.∴当x为210元时,月销售额W不是最大.∴小静说的不对.方法二: 当月利润最大时,x为210元,此时,月销售额为17325元;而当x为200元时,月销售额为18000元.∵17325<18000,∴当月利润最大时,月销售额W不是最大.∴小静说的不对. 2 yaxhk关于原点对称后,得到的解析式是
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二次 函数 专题 培优含 答案