北师大版八年级数学下册应用题方案优化专项训练《一元一次不等式》解析版.docx
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北师大版八年级数学下册应用题方案优化专项训练《一元一次不等式》解析版
应用题方案优化专项训练:
《一元一次不等式》
解题步骤:
1.列方程组
2.列不等
式求未知量范围
3.列方案所需费用/利润的一次函数表达式
4.讨论最优的方案
1.某商店计划一次购进两种型号的手机共110部,销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍,且商店最多购进B型手机50台.
(1)求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元?
(2)设购进B型手机n部,销售手机的总利润为y元,怎么进货才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30<m<70)元.若商店保持两种手机的售价不变,请设计出手机销售总利润最大的进货方案.
解:
(1)设每部A型手机的销售利润为x元,每部B型手机的销售利润为y元,
根据题意,得:
,
解得:
,
答:
每部A型手机的销售利润为150元,每部B型手机的销售利润为100元;
(2)设购进B型手机n部,则购进A型手机(110﹣n)部,
则y=150(110﹣n)+100n=﹣50n+16500,
其中,110﹣n≤2n,即n≥36
,
∴y关于n的函数关系式为y=﹣50n+16500(36
≤n≤50);
∵﹣50<0,
∴y随n的增大而减小,
∵n≥36
,且n为整数,
∴当n=37时,y取得最大值,最大值为﹣50×37+16500=14650(元),
答:
购进A型手机73部、B型手机37部时,才能使销售总利润最大;
(3)设购进B型手机n部,则购进A型手机(110﹣n)部,
根据题意,得:
y=150(110﹣n)+(100+m)n=(m﹣50)n+16500,
其中,36
≤n≤50(n为整数),
①当30<m<50时,y随n的增大而减小,
∴当n=37时,y取得最大值,
即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大;
②当m=50时,m﹣50=0,y=16500,
即商店购进B型电脑数量满足36
≤n≤50的整数时,均获得最大利润;
③当50<m<70时,y随n的增大而增大,
∴当n=50时,y取得最大值,
即购进A型手机60部、B型手机50部时销售总利润最大.
2.某班决定购买一些笔记本和文具盒做奖品.已知需要的笔记本数量是文具盒数量的3倍,购买的总费用不低于220元,但不高于250元.
(1)商店内笔记本的售价4元/本,文具盒的售价为10元/个,设购买笔记本的数量为x,按照班级所定的费用,有几种购买方案?
每种方案中笔记本和文具盒数量各为多少?
(2)在
(1)的方案中,哪一种方案的总费用最少?
最少费用是多少元?
(3)经过
还价,老板同意4元/本的笔记本可打八折,10元/个的文具盒可打七折,用
(2)中的最少费用最多还可以多买多少笔记本和文具盒?
解:
(1)依题意,得:
,
解得:
30≤x≤34
.
∵x为正整数,
∴x可取30,31,32,33,34.
又∵
x也必须是整数,
∴
x可取10,11.
∴有两种购买方案,方案一:
笔记本30本,文具盒10个;方案二:
笔记本33本,文具盒11个.
(2)在
(1)中,方案一购买的总数量最少,
∴总费用最少,最少费用为:
4×30+10×10=220(元).
答:
方案一的总费用最少,最少费用为220元.
(3)设用
(2)中的最少费用最多还可以多买的文具盒数量为y,则笔记本数量为3y,
依题意,得:
4×80%(30+3y)+10×70%(10+y)≤220,
解得:
y≤3
,
∵y为正整数,
∴y的最大值为3,
∴3y=9.
答:
用
(2)中的最少费用最多还可以多买9本笔记本和3个文具盒.
3.某文具店购进A、B两种文具进行销售.若每个A种文具的进价比每个B种文具的进价少2元,且用900元正好可以购进50个A种文具和50个B种文具,
(1)求每个A种文具和B种文具的进价分别为多少
元?
(2)若该文具店购进A种文具的数量比购进B种文具的数量的3倍还少5个,购进两种文具的总数量不超过95个,每个A种文具的销售价格为12元,每个B种文具的销售价格为15元,则将购进的A、B两种文具全部售出后,可使总利润超过371元,通过计算求出该文具店购进A、B两种文具有哪几种方案?
解:
(1)设每个A种文具的进价为x元,每个B种文具的进价为y元,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
每个A种文具的进价为8元,每个B种文具的进价为10元.
(2)设购进B种文具m个,则购进A种文具(3m﹣5)个,
依题意,得:
,
解得:
23<m≤25.
∵m为整数,
∴m=24或25,3m﹣5=67或70,
∴该文具店有两种进货方案:
①购进A种文具67个,B种文具24个;②购进A种文具70个,B种文具25个.
4.我校为响应“全民阅读”的号召,计划购入A、B两种规格的书柜用于放置所购图书.经市场调查发现,若购买A种书柜3个、B种书柜2个,共需资金1020元;若购买A种书柜5个、B种书柜3个,共需资金1620元.
(1)A、B两种规格的书柜,每个的价格分别是多少?
(2)若该校计划购买这两种规格的书柜共20个,其中B种书柜的个数不少于A种书柜的个数,学校至多有4320元的资金,请设计几种购买方案供学校选择.
解:
(1)设A种书柜的单价为x元,B种书柜的单价为y元,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
A种书柜的单价为180元,B种书柜的单价为240元.
(2)设学校购买m个A种书柜,则购买(20﹣m)个B种书柜,
依题意,得:
,
解得:
8≤m≤10.
∵m为整数,
∴m=8,9,10.
∴该学校有3种购买方案,方案1:
购买8个A种书柜,12个B种书柜;方案2:
购买9个A种书柜,11个B种书柜;方案3:
购买10个A种书柜,10个B种书柜.
5.为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某县政府部门决定,招标一工程队负责完成一座水库的土方施工任务.该工程队有A,B两种型号的挖掘机,已知1台A型和2台B型挖掘机同时施工1小时共挖土80立方米,2台A型和3台B型挖掘机同时施工1小时共挖土140立方米.每台A型挖掘机一个小时的施工费用是350元,每台B型挖掘机一个小时的施工费用是200元.
(1)分别求每台A型,B型挖掘机一小时各挖土多少立方米?
(2)若A型和B型挖掘机共10台同时施工4小时,至少完成1360立方米的挖土量,且总费用不超过14000元.问施工时有哪几种调配方案?
且指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用多少元?
解:
(1)设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米,每台B型挖掘机一小时挖土y立方米,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
每台A型挖掘机一小时挖土40立方米,每台B型挖掘机一小时挖土20立方米.
(2)设有m台A型挖掘机参与施工,施工总费用为w元,则有(10﹣m)台B型挖掘机参与施工,
∵4小时至少完成1360立方米
的挖土量,且总费用不超过14000元,
∴
,
解得:
7≤m≤10.
∵10﹣m>0,
∴m<10.
又∵m为正整数,
∴m=7,8,9.
∴共有三种调配方案,①调配7台A型、3台B型挖掘机施工;②调配8台A型、2台B型挖掘机施工;③调配9台A型、1台B型挖掘机施工.
依题意,得:
w=350×4m+200×4(10﹣m)=600m+8000,
∵600>0,
∴w的值随m的增大而增大,
∴当m=7时,即选择方案①时,w取得最小值,最小值为12200元.
6.某商店四月份购进70个篮球,由于供不应求,五月份又购进同种篮球60个,两次购进篮球的单价不同,已知四月份和五月份购进篮球的单价和为65元,并且四月份与五月份购入篮球总费用相同.
(1)求该商店四、五月份购进篮球的单价分别是多少元;
(2)由于运输不当,五月份购进的篮球中有10%损坏,不能卖售,该商店将两批篮球按同一价格全部销售后,获利不低于2000元,求每个篮球的售价至少是多少元.
解:
(1)设该商店四月份购进篮球的单价是x元,则五月份购进篮球的单价是(65﹣x)元,
依题意,得:
70x=60(65﹣x),
解得:
x=30,
∴65﹣x=35.
答:
该商店四月份购进篮球的单价是30元,五月份购进篮球的单价是35元.
(2)设每个篮球的售价是y元,
依题意,得:
[70+60×(1﹣10%)]y﹣30×70﹣35×60≥2000,
解得:
y≥50.
答:
每个篮球的售价至少是50元.
7.第一届中非经贸博览会于2019年6月27日至29日在长沙举办,为了抓住商机,某服装店决定购进甲、乙两种文化衫进行销售,若购进甲种文化衫6件,乙种文化衫5件,需要1400元;若购进甲种文化衫3件,乙种文化衫6件,需要1050元.
(1)求购进甲、乙两种文化衫每件各需多少元?
(2)若该服装店决定用不超过6100元的资金购进这两种服装共50件,且用于购买甲种文化衫的资金不低于购买乙种文化衫的资金,那么该商店共有哪几种进货方案?
解:
(1)设购进甲种文化衫每件需x元,购进乙种文化衫每件需y元,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
购进甲种文化衫每件需150元,购进乙种文化衫每件需100元.
(2)设购进甲种文化衫m件,则购进乙种文化衫(50﹣m)件,
依题意,得:
,
解得:
20≤m≤22.
∵m为正整数,
∴m=20,21,22,
∴该商店共有3种进货方案,方案1:
购进甲种文化衫20件,乙种文化衫30件;方案2:
购进甲种文化衫21件,乙种文化衫29件;方案3:
购进甲种文化衫22件,乙种文化衫28件.
8.2019年是中国建国70周年,作为新时期的青少年,我们应该肩负起实现粗国伟大复兴的责任,为了培养学生的爱国主义情怀,我校学生和老师在5月下旬集体乘车去抗日战争纪念馆研学,已知学生的人数是老师人数的12倍多20人,学生和老师总人数有540人.
(1)请求出去抗日战争纪念馆研学的学生和老师的人数各是多少?
(2)如果学校准备租赁A型车和B型车共14辆(其中B型车最多7辆),已知A型车每车最多可以载35人,日租金为2000元,B型车每车最多可以载45人,日租金为3000元,请求出最经济的租车方案.
解:
(1)设去去抗日战争纪念馆研学的学生有x人,老师有y人,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
去抗日战争纪念馆研学的学生有500人,老师有40人.
(2)设租赁B型大巴车m辆,则租赁A型大巴车(14﹣m)辆,
依题意,得:
,
解得:
5≤m≤7.
∵m为正整数,
∴m=5,6或7.
设租赁总租金为w元,依题意,得:
w=3000m+2000(14﹣m)=1000m+28000,
∵1000>0,
∴w的值随m值的增大而增大,
∴当m=5时,w取得最小值,
∴最经济的租赁车辆方案为:
租赁A型大巴车9辆和租赁B型大巴车5辆.
9.我市某中学组织部分学生去某地开展研学旅行活动,在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生,现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示.
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
30
42
租金/(元/辆)
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师.
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人?
(2)①既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,需租用几辆客车;②求租车费用的最小值.
解:
(1)设参加此次研学旅行活动的老师有x名,学生有y名,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
参加此次研学旅行活动的老师有16名,学生有284名;
(2)①∵每辆客车上至少要有2
名老师,
∴汽车总数不能大于8辆;
∵要保证300名师生有车坐,汽车总数不能小于
(取整为8)辆,
∴需租8辆客车.
②设租用m辆乙种客车,则租用甲种客车(8﹣m)辆,
依题意,得:
,
解得:
5≤m≤7(m为整数).
∵乙种车辆租金高,
∴租用乙种车辆越少,租车费用越低,
∴租用甲种客车3辆,乙种客车5辆时,租车费用最低,最低费用为400×5+300×3=2900元.
10.我市在创建全国文明城市过程中,决定购买A、B两种树苗对某路段道路进行绿化改造,已知购买A种树苗5棵,B种树苗3棵,需要840元;购买A种树苗3棵,B种树苗5棵,需要760元.
(1)求购买A、B两种树苗每棵各需多少元?
(2)考虑到绿化效果和资金周转,购进A种树苗不能少于30棵,且用于购买这两种树苗的资金不能超过10000元,现需购进这两种树苗共100棵,怎样购买所需资金最少?
解:
(1)设购买A种树苗每棵需要x元,B种树苗每棵需要y元,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
购买A种树苗每棵需要120元,B种树苗每棵需要80元.
(2)设购进A种树苗m棵,则购进B种树苗(100﹣m)棵,
依题意,得:
,
解得:
30≤m≤50.
设购买树苗的总费用为w元,则w=120m+80(100﹣m)=40m+8000.
∵40>0,
∴w的值随m值的增大而增大,
∴当m=30时,w取得最小值,最小值为9200.
答:
当购买A种树苗30棵、B种树苗70棵时,所需资金最少,最少资金为9200元.
11.现有A,B两种商品,买6件A商品和3件
B商品用了108元,买5件A商品和1件B商品用了84元.
(1)求A,B两种商品每件多少元?
(2)如果小静准备购买A、B两种商品共10件,总费用不超过120元,且不低于100元,问有几种购买方案?
哪种方案费用最低?
解:
(1)设A商品每件x元,B商品每件y元,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
A商品每件16元,B商品每件4元.
(2)设小静购买A商品a件,则购买B商品(10﹣a)件,
依题意,得:
,
解得:
5≤a≤6
.
∵a取正整数,
∴a=5或a=6,
∴有两种购买方案,方案一:
购买A商品5件,B商品5件,购买费用为16×5+4×5=100(元);
方案二:
购买A商品6件,B商品4件,购买费用为16×6+4×4=112(元).
∵100<112,
∴方案一费用低.
答:
有两种购买方案,方案一费用最低.
12.某学校为了改善办学条件,计划采购A,B两种型号的空调,已知采购3台A型空调和2台B型空调共需3.9万元;采购4台A型空调比采购5台B空调的费用多0.6万元.
(1)求A型空调和B型空调每台各需多少万元;
(2)若学校计划采购A,B两种型号空调共30台,且采购总费用不少于20万元不足21万元,请求出共有那些采购方案.
解:
(1)设A型空调每台x万元,B型空调每台y万元,
依
题意,得:
,
解得:
.
答:
A型空调每台0.9万元,B型空调每台0.6万元.
(2)设采购A型空调m台,则采购B型空调(30﹣m)台,
依题意,得:
,
解得:
≤m<10.
∵m为整数,
∴m=7,8,9,
∴有3种采购方案:
①采购A型空调7台,B型空调23台;②采购A型空调8台,B型空调22台;③采购A型空调9台,B型空调21台.
13.某工艺品店购进A,B两种工艺品,已知这两种工艺品的单价之和为200元,购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元.
(1)求A,B两种工艺品的单价;
(2)该店主欲用9600元用于进货,且最多购进A种工艺品36个,B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍,则共有几种进货方案?
(3)已知售出一个A种工艺品可获利10元,售出一个B种工艺品可获利18元,该店主决定每售出一个B种工艺品,为希望工程捐款m元,在
(2)的条件下,若A,B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同,则m的值是多少?
此时店主可获利多少元?
解:
(1)设A种工艺品的单价为x元/个,B种工艺品的单价为y元/个,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
A种工艺品的单价为80元/个,B种工艺品的单价为120元/个.
(2)设购进A种工艺品a个,则购进B种工艺品
个,
依题意,得:
,
解得:
30≤a≤36.
∵a为正整数,
∴共有7种进货方案.
(3)设总利润为w元,
依题意,得:
w=10a+(18﹣m)×
=(
m﹣2)a+1440﹣80m,
∵w的值与a值无关,
∴
m﹣2=0,
∴m=3,此时w=1440﹣80m=1200.
答:
m的值是3,此时店主可获利1200元.
14.某店计划购进甲、乙两种商品,若购进甲种商品1件,乙种商品2件,需要160元;购进甲种商品2件,乙种商品3件,需要280元.
(1)购进甲乙两种商品每件各需要多少元?
(2)该商场决定购进甲乙商品100件,并且考虑市场需求和资金周转,用于购买这些商品的资金不少于6300元,同时又不能超过6430元,则该商场共有几种进货方案?
(3)若销售每件甲种商品可获利30元,每件乙种商品可获利12元,在第
(2)问中的各种进货方案中,哪种方案获利最大?
最大利润是多少元?
解:
(1)设购进每件甲商品需要x元,每件乙商品需要y元,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
购进每件甲商品需要80元,每件乙商品需要40元.
(2)设购进甲商品a件,则购进乙商品(100﹣a)件,
依题意,得:
,
解得:
57
≤a≤60
.
∵a为整数,
∴a=58或59或60,
∴该商场共有3种进货方案,方案1:
购进甲商品58件,乙商品42件;方案2:
购进甲商品59件,乙商品41件;方案3:
购进甲商品60件,乙商品40件.
(3)∵30>12,
∴购进甲商品越多,利润越大,
∴方案3购进甲商品60件,乙商品40件获利最大,最大利润为30×60+12×40=2280元.
15.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套,经招标,购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元,且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元.
(1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元?
(2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元,并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的
,求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种购买方案?
怎样的方案使总费用最低?
并求出最低费用.
解:
(1)设购买
一套A型课桌凳需要x元,购买一套B型课桌凳需要y元,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
购买一套A型课桌凳需要180元,购买一套B型课桌凳需要220元.
(2)设购买a套A型课桌凳,则购买(200﹣a)套B型课桌凳,
依题意,得:
,
解得:
78≤a≤80.
∵a为整数,
∴a=78,79,80,
∴共有3种购买方案,方案1:
购买78套A型课桌凳,122套B型课桌凳;方案2:
购买79套A型课桌凳,121套B型课桌凳;方案3:
购买80套A型课桌凳,120套B型课桌凳.
方案1所需费用78×180+122×220=40880(元);
方案2所需费用79×180+121×220=40840(元);
方案3所需费用80×180+120×220=40800(元).
∵40800<40840<40880,
∴方案3购买80套A型课桌凳,120套B型课桌凳所需总费用最低,最低费用为40800元.
16.为了丰富学生的课外活动,学校决定购进5副羽毛球拍和m只羽毛球,已知一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的15倍,用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球;
(1)一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少元?
(2)甲乙两商店举行促销活动,甲商店给出的优惠是:
所有商品打八折;乙商店的优惠是:
买一副羽毛球拍送n只羽毛球,通过调查发现,如果只到一个商店购买5副羽毛球拍和26只羽毛球时,到甲商店更划算;若只购买一副羽毛球拍和n只羽毛球,则乙商店更划算.求n的值.
(3)在
(2)的条件下,当m=30时,学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要 166 元(直接写出结果).
解:
(1)设一副羽毛球拍的价格是x元,一只羽毛球的价格是y元,
则
.
解得
.
答:
一副羽毛球拍的价格是30元,一只羽毛球的价格是2元;
(2)依题意得:
.
解不等式组,得3.75<n<4.04.
因为n是正整数,
所以n=4;
(3)当m=30时,
甲商店消费额:
0.8×(5×30+2×30)=166(元)
乙商店消费额:
5×30+2×(30﹣5)=200(元)
因为166<200
所以当m=30时,学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要166元.
故答案是:
166.
17.某商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件进价15元,售价20元;乙种商品每件进价35元,售价45元.
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元,求能购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润(利润=售价一进价)不少于750元,且甲商品的件数不能低于48件,请你帮忙求出该商场有几种进货方案?
(3)在
(2)的基础上,商场预备用2500元资金来进货.若商场选择能使总利润最大的进货方案,试判断商场预备的资金是否够?
解:
(1)设购进甲、乙两种商品分别为x件、y件,
,
解得,
,
答:
能购进甲、乙两种商品分别为40件,60件;
(2)设购进甲种商品a件,则购进乙种商品(100﹣a)件,
(20﹣15)a+(45﹣35)(100﹣a)≥750,
解得,a≤50,
又∵a≥48,a为整数,
∴a=48,49,50,
∴该商场共有三种进货方案;
(3)设设购进甲种商品a件,则购进乙种商品(100﹣a)件,利润为w元,
w=(20﹣15)a+(45﹣35)(100﹣a)=﹣5a+1000,
由
(2)知a=48,49,50,
∴当a=48时,w取得最大值,此时100﹣a=52,
∴当取得最大利润时,需要花费:
48×15+52×35=2540(元),
∵2540>2500,
∴商场预备的资金不够用.
18.武汉军运会前
夕,市园林局进行道路绿化,准备购买A、B两种树苗.已知购买1棵A树苗和2棵B树苗共需200元;购买3棵A树苗和1棵B树苗共需300元
(1)求每棵A树苗和每棵B树苗售价各为多少元;
(2)若园林局需要购买A、B两种树苗共10000棵,且购买的B树苗不少于A树苗的3倍,总的购买经费不超过64万元,则A树苗最多购买多少棵?
解:
(1)设每棵A树苗的售价为x元,每棵B树苗的售价为y元,
根据题意,得:
,
解得:
,
答:
每棵A树苗的售价为80元,每棵B树苗的售价为60元;
(2)设购买A树苗m棵,则需购买B树苗(10000﹣m)棵,
由题意知
,
解得:
m≤2000,
答:
A树苗最多购买2000棵.
19.学校准备租用一批客车运送艺术特长生往返于本部与分校,现有甲、乙两种客车,甲种客车每辆载客量48人,乙种客车每辆载客量32人.已知1辆甲种客车和2辆乙种客车每次需租金1000元,3辆甲种客车和4辆乙种客车每次需租金2400元.
(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的每次租金分别是多少元?
(2)学校计划租用甲、乙两种客车共6辆,运送240名师生,最节省的租车方案是什么?
每次费用最少是多少?
解:
(1)设1辆甲种客车每次租金为x元,1辆乙种客车的每次租金为y元,
,
解得,
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