高中数学必修抛物线教学讲义.docx
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高中数学必修抛物线教学讲义
03-抛物线
【知识点】
一、抛物线的标准方程、类型及其几何性质(
):
标准方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
轴
顶点
(0,0)
离心率
二、抛物线的焦半径、焦点弦
1.焦点弦:
过抛物线
焦点
的弦
,若
,则
(1)
x0+
,
(2)
,
-p2
(3)弦长
,即当x1=x2时,通径最短为2p
(4)若AB的倾斜角为θ,则
=
(5)
+
=
2.通径:
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。
过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为2p.
3.
的参数方程为
(
为参数),
的参数方程为
(
为参数).
4、弦长公式:
三、抛物线问题的基本方法
1.直线与抛物线的位置关系
2.直线
,抛物线
,
3.
,消y得:
4.
(1)当k=0时,直线
与抛物线的对称轴平行,有一个交点;
5.
(2)当k≠0时,
Δ>0,直线
与抛物线相交,两个不同交点;
Δ=0,直线
与抛物线相切,一个切点;
Δ<0,直线
与抛物线相离,无公共点。
(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗(不一定)
6.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线
:
抛物线
,
1 联立方程法:
设交点坐标为
,则有
以及
,还可进一步求出
,
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如
a.相交弦AB的弦长
或
b.中点
,
2 点差法:
设交点坐标为
,
,代入抛物线方程,得
将两式相减,可得
a.在涉及斜率问题时,
b.在涉及中点轨迹问题时,设线段
的中点为
,
,
即
,
同理,对于抛物线
,若直线
与抛物线相交于
两点,点
是弦
的中点,则有
(注意能用这个公式的条件:
1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)
【典型例题】
考点1抛物线的定义
题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换
[例1]已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为
[解析]过点P作准线的垂线
交准线于点R,由抛物线的定义知,
,当P点为抛物线与垂线
的交点时,
取得最小值,最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3
1.已知抛物线
的焦点为
,点
,
在抛物线上,且
、
、
成等差数列,则有()
A.
B.
C.
D.
[解析]C由抛物线定义,
即:
.
2.已知点
F是抛物线
的焦点,M是抛物线上的动点,当
最小时,
M点坐标是()
A.
B.
C.
D.
[解析]设M到准线的距离为
则
,当
最小时,M点坐标是
,选C
考点2抛物线的标准方程
题型:
求抛物线的标准方程
[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2)
(2)焦点在直线
上
[解析]
(1)设所求的抛物线的方程为
或
∵过点(-3,2)∴
∴
∴抛物线方程为
或
前者的准线方程是
后者的准线方程为
(2)令
得
,令
得
,
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时
∴
,此时抛物线方程
;焦点为(0,-2)时
∴
,此时抛物线方程
.
∴所求抛物线方程为
或
对应的准线方程分别是
.
3.若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则
的值
[解析]
4.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)
[解析]用排除法,由抛物线方程y2=10x可排除①③④,从而②⑤满足条件.
5.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴的交点,A为抛物线上一点,且
,求此抛物线的方程
[解析]设点
是点
在准线上的射影,则
,由勾股定理知
,点A的横坐标为
,代入方程
得
或4,抛物线的方程
或
考点3抛物线的几何性质
题型:
有关焦半径和焦点弦的计算与论证
[例3]设A、B为抛物线
上的点,且
(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.
[解析]设直线OA方程为
由
解出A点坐标为
解出B点坐标为
,直线AB方程为
令
得
,直线AB必过的定点
补充:
抛物线的几个常见结论及其应用
结论一:
若AB是抛物线
的焦点弦(过焦点的弦),且
,
,
则:
,
。
证明:
因为焦点坐标为F(
0),当AB不垂直于x轴时,可设直线AB的方程为:
,
由
得:
∴
,
。
当AB⊥x轴时,直线AB方程为
,则
,
,∴
,同上也有:
。
例:
已知直线AB是过抛物线
焦点F,求证:
为定值。
证明:
设
,
,由抛物线的定义知:
,
,又
+
=
,所以
+
=
-p,且由结论一知:
。
则:
=
结论二:
(1)若AB是抛物线
的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则
(α≠0)。
(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。
证明:
(1)设
,
,设直线AB:
由
得:
∴
,
,
∴
。
易验证,结论对斜率不存在时也成立。
(2)由
(1):
AB为通径时,
,
的值最大,
最小。
例:
已知过抛物线
的焦点的弦AB长为12,则直线AB倾斜角为。
解:
由结论二,12=
(其中α为直线AB的倾斜角),
则
,所以直线AB倾斜角为
或
。
结论三:
两个相切:
(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
已知AB是抛物线
的过焦点F的弦,求证:
(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A、B做准线的垂线,垂足为M、N,求证:
以MN为直径的圆与直线AB相切。
证明:
(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线,
垂足分别为M、P、N,连结AP、BP。
由抛物线定义:
,
,
∴
,
∴以AB为直径为圆与准线l相切
(2)作图如
(1),取MN中点P,连结PF、MF、NF,
∵
,AM∥OF,∴∠AMF=∠AFM,∠AMF=∠MFO,
∴∠AFM=∠MFO。
同理,∠BFN=∠NFO,
∴∠MFN=
(∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO)=90°,
∴
,
∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°,∴FP⊥AB
∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。
结论四:
若抛物线方程为
,过(
,0)的直线与之交于A、B两点,则OA⊥OB。
反之也成立。
证明:
设直线AB方程为:
,由
得,△>0,
,
∵AO⊥BO,∴
⊥
∴
将
,
代入得,
。
∴直线AB恒过定点(0,1)。
∴当且仅当k=0时,
取最小值1。
结论五:
对于抛物线
,其参数方程为
设抛物线
上动点
坐标为
,
为抛物线的顶点,显然
,即
的几何意义为过抛物线顶点
的动弦
的斜率.
例直线
与抛物线
相交于原点和
点,
为抛物线上一点,
和
垂直,且线段
长为
,求
的值.
解析:
设点
分别为
,则
,
.
的坐标分别为
.
.
.
【课堂练习】
A抛物线
1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是()
A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)
2.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为()
A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x
3.已知直线l1:
4x-3y+6=0和直线l2:
x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()
A.2B.3C.115D.3716
4.点A,B在抛物线x2=2py(p>0)上,若A,B的中点是(x0,y0),当直线AB的斜率存在时,其斜率为()
A.2py0B.py0C.px0D.x0p
5.[2010·福建卷]以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()
A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0
6.[2010·山东卷]已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()
A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2
7.[2010·陕西卷]已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为()
A.12B.1C.2D.4
8.[2010·辽宁卷]设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=()
A.4B.8C.8D.16
9.[2011·东北三校模拟]已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1,则a的值为________.
10.[2010·浙江卷]设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.
11.给定抛物线C:
y2=4x,过点A(-1,0),斜率为k的直线与C相交于M,N两点,若线段MN的中点在直线x=3上,则k=________.
12.(13分)[2011·西城一模]已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(1)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;
(2)设A,B为抛物线上两点,且直线AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰好过点M,求证:
线段AB中点的横坐标为定值.
13.(12分)[2011·西城一模]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交y轴正半轴于点P,交抛物线于A,B两点,其中点A在第一象限.
(1)求证:
以线段FA为直径的圆与y轴相切;
(2)若FA→=λ1AP→,BF→=λ2FA→,λ1λ2∈12,求λ2的取值范围.
B抛物线
1.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y)的轨迹方程为()
A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y
2.抛物线x2=(2a-1)y的准线方程是y=1,则实数a=()
A.52B.32C.-12D.-32
3.已知抛物线y2=4x,若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点,则△OAB的面积是()
A.1B.2C.4D.6
4.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是()
A.(-∞,0)B.(-∞,2]C.[0,2]D.(0,2)
5.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,O是原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点,则直线AB的方程是()
A.x=pB.x=3pC.x=32pD.x=52p
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)均在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有()
A.|FP1|+|FP2|=|FP3|B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|
7.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()
A.172B.3C.D.92
8.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为()
A.4B.8C.16D.32
9.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________.
10.[2010·全国卷Ⅱ]已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若AM→=MB→,则p=________.
11.[2010·重庆卷]已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足AF→=3FB→,则弦AB的中点P到准线的距离为________.
12.(13分)[2012·珠海模拟]在平面直角坐标系xOy中,设点F1,0,直线l:
x=-12,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程C;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长|TS|是否为定值?
请说明理由.
图K50-1
13.(12分)[2010·湖北卷]已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FA→·FB→<0?
若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
A
1.B[解析]由y2=-8x,易知焦点坐标是(-2,0).
2.B[解析]抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F坐标为a,0,则直线l的方程为y=2a4,它与y轴的交点为Aa2,所以△OAF的面积为12a4·a2=4,解得a=±8.所以抛物线方程为y2=±8x.
3.A[解析]设动点p到直线l2的距离之和为d,直线l2:
x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:
4x-3y+6=0的距离,即dmin=|4-0+6|5=2.
4.D[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),则x21=2py1,x22=2py2,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=2p(y1-y2),即kAB=y1-y2x1-x2=x1+x22p=x0p.
5.D[解析]因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心.又知该圆过原点,所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0.
6.B[解析]抛物线的焦点Fp,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,即x=y+p2,
将其代入y2=2px,得y2-2py-p2=0,
所以y1+y22=p=2,所以抛物线方程为y2=4x,
准线方程为x=-1.
7.C[解析]方法1:
∵抛物线的准线方程为x=-p2,圆的标准方程为(x-3)2+y2=16.
∴3-p2=4,∴p=2.
方法2:
作图可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切于点(-1,0),所以-p2=-1,解得p=2.
8.B[解析]设准线l与x轴交于点B,连接AF、PF,则|BF|=p=4,∵直线AF的斜率为-,∴∠AFB=60°.在Rt△ABF中,|AF|=4cos60°=8.又根据抛物线的定义,得|PA|=|PF|,PA∥BF,∴∠PAF=60°,∴△PAF为等边三角形,故|PF|=|AF|=8.
9.-14[解析]抛物线方程为x2=1ay,故其准线方程是y=-14a=1,解得a=-14.
10.24[解析]设抛物线的焦点Fp,0,由B为线段FA的中点,所以Bp,1,代入抛物线方程得p=,则B到该抛物线准线的距离为p4+p2=3p4=24.
11.±22[解析]过点A(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1),与抛物线方程联立后消掉y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),有x1+x1=4-2k2k2,x1x2=1.
因为线段MN的中点在直线x=3上,所以x1+x2=6,即4-2k2k2=6,解得k=±22.
而此时k2x2+(2k2-4)x+k2=0的判别式大于零,所以k=±22.
12.[解答]
(1)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4).由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),因为点F到直线l的距离为,所以|3k|1+k2=,
解得k=±22,所以直线l的斜率为±22.
(2)证明:
设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线MN的斜率为y0x0-4,因为AB不垂直于x轴,所以直线AB的斜率为4-x0y0,
直线AB的方程为y-y0=4-x0y0(x-x0),
联立方程(x-x0y2=4x,
消去x,得x04y2-y0y+y20+x0(x0-4)=0,
所以y1+y2=4y04-x0,
因为N为AB中点,所以y1+y22=y0,即2y04-x0=y0,
所以x0=2,即线段AB中点的横坐标为定值2.
13.[解答]
(1)证明:
由已知Fp,0,设A(x1,y1),
则y21=2px1,
圆心坐标为y12,圆心到y轴的距离为2x1+p4,
圆的半径为|FA|2=12×p2=2x1+p4,
所以,以线段FA为直径的圆与y轴相切.
(2)解法一:
设P(0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由FA→=λ1AP→,BF→=λ2FA→,得
p,y1=λ1(-x1,y0-y1),
p-x2,-y2=λ2p,y1,
所以x1-p2=-λ1x1,y1=λ1(y0-y1),
p2-x2=λ2p2,y2=-λ2y1,
由y2=-λ2y1,得y22=λ22y21.
又y21=2px1,y22=2px2,
所以x2=λ22x1.
代入p2-x2=λ2p2,得p2-λ22x1=λ2p2,p2(1+λ2)=x1λ2(1+λ2),
整理得x1=p2λ2,
代入x1-p2=-λ1x1,得p2λ2-p2=-λ1p2λ2,
所以1λ2=1-λ1λ2,
因为λ1λ2∈12,所以λ2的取值范围是4,2.
解法二:
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB:
x=my+p2,
将x=my+p2代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0,
所以y1y2=-p2(*).
由FA→=λ1AP→,BF→=λ2FA→,得
p,y1=λ1(-x1,y0-y1),
p-x2,-y2=λ2p,y1,
所以x1-p2=-λ1x1,y1=λ1(y0-y1),
p2-x2=λ2p2,y2=-λ2y1,
将y2=-λ2y1代入(*)式,得y21=p2λ2,
所以2px1=p2λ2,x1=p2λ2.
代入x1-p2=-λ1x1,得1λ2=1-λ1λ2,
因为λ1λ2∈12,所以λ2的取值范围是4,2.
B
1.C[解析]点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,说明点P(x,y)到点F(0,2)的距离与到直线y+2=0即y=-2的距离相等,轨迹为抛物线,其中p=4,故所求的抛物线方程为x2=8y.
2.D[解析]根据分析把抛物线方程化为x2=-21-ay,则焦参数p=12-a,故抛物线的准线方程是y=p2=-a2,则-a2=1,解得a=-32.
3.B[解析]焦点坐标是(1,0),A(1,2),B(1,-2),|AB|=4,故△OAB的面积S=12|AB||OF|=12×4×1=2.
4.B[解析]设点Q的坐标为0,由|PQ|≥|a|,得y20+02≥a2,整理,得y20(y20+16-8a)≥0,∵y20≥0,∴y20+16-8a≥0,即a≤2+0恒成立.而2+0的最小值为2,所以a≤2.
5.D[解析]A(x0,y0),则B(x0,-y0),由于焦点Fp2,0是抛物线的垂心,所以OA⊥BF.由此得y0x0×p2=-1,把y20=2px0代入得x0=5p2,故直线AB的方程是x=52p.
6.C[解析]由抛物线定义,2p2=p2+p2,即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.
7.A[解析]依题设P在抛物线准线的投影为P′,抛物线的焦点为F,则F1,0.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=12+22=172.
8.B[解析]∵抛物线C:
y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,∴K(-2,0),
设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(-2,y0),∵|AK|=|AF|,又AF=AB=x0-(-2)=x0+2,
∴由BK2=AK2-AB2得y20=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,∴A(2,±4),∴△AFK的面积为12|KF|·|y0|=12×4×4=8.
9.y2=4x[解析]设抛物线方程为y2=kx,与y=x联立方程组,消去y,得:
x2-kx=0,x1+x2=k=2×2=4,故y2=4x.
10.2[解析]过B作BE垂直于准线l于E,∵AM→=MB→,∴M为AB中点,∴|BM|=12|AB|.又斜率为,∠BAE=30°,∴|BE|=12|AB|,∴|BM|=|BE|,
∴M为抛物线的焦点,∴p=2.
11.83[解析]设A(xA,yA),B(xB,yB),则|AF|=xA+1,|BF|=xB+1,∴xA+1=3(xB+1).①
由几何关系,xA-1=3(1-xB).②
联立①②,得xA=3,xB=13,∴所求距离d=xA+xB2+1=83.
12.[解答]
(1)依题意知,
点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,
∴RQ是线段FP的垂直平分线.
∵|PQ|是点Q到直线l的距离.
点Q在线段FP的垂直平分线上,∴|PQ|=|QF|.
故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,
其方程为:
y2=2x(x>0).
(2)弦长|TS|为定值.理由如下:
取曲线C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d=|x0|=x0,
圆的半径r=|MA|=20,
则|TS|=2=22-2x0+1,
因为点M在曲线C上,所以x0=0,
所以|TS|=22+1=2,是定值.
13.[解答]
(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足-x=1(x>0).
化简得y2=4x(x>0).
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
设l的方程为x=ty+m,由x=ty+m,y2=4x,得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,
于是y1+y2=4t,y1y2=-4m.①
又FA→=(x1-1,y1),FB→=(x2-1,y2),
FA→·FB→<0?
(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②
又x=y24,于是不等式②等价于1·2+y1y2-2+1<0,
?
(y1y216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.
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- 高中数学 必修 抛物线 教学 讲义