中考数学相似三角形压轴题可编辑修改word版.docx
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中考数学相似三角形压轴题可编辑修改word版
相似三角形中考压轴试题
一、选择题
1.
(2014年江苏宿迁3分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是【】
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
1.(2015贺州)如图,在△ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B、C重合),∠ADE=∠B=∠α,
3
DE交AB于点E,且tan∠α=.有以下的结论:
①△ADE∽△ACD;②当CD=9时,△ACD与△DBE全
4
2124
等;③△BDE为直角三角形时,BD为12或;④0<BE≤,其中正确的结论是(填入正确
45
结论的序号).
三、解答题
1.(2014年福建三明14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(﹣2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)经过B,C的直线l平移后与抛物线交于点M,与x轴交于点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标;
(3)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得△PBD≌△PBC?
若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
1
2.(2014年湖北十堰12分)已知抛物线C:
y=a(x+1)2-2的顶点为A,且经过点B(﹣2,﹣1).
(1)求A点的坐标和抛物线C1的解析式;
(2)如图1,将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C,D两点,求S△OAC:
S△OAD的值;
(3)如图2,若过P(﹣4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在
(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)
运动,直线m过点C和点E.问:
是否存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?
若存在,求出直线m的解析式;若不存在,说明理由.
3.(2014年湖南郴州10分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,BC=16cm,AD是斜边BC上的高,垂足为D,BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动,点N从点E出发,与点M
同时同方向以相同的速度运动,以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D时停止运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,点G刚好落在线段AD上?
(2)设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.
(3)
设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时,△CPD是等腰三角形?
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3m()其中m>0),顶点为D.
(1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示);
(2)如图①,当m=2时,点P为第三象限内的抛物线上的一个动点,设△APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值;
(3)如图②,当m取何值时,以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似?
5.(2014年湖南益阳12分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4,
点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.
(1)求AD的长;
(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?
若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2,若S=S1+S2,求S的最小值.
6.(2014年内蒙古呼伦贝尔13分)以AB为直径作半圆O,AB=10,点C是该半圆上一动点,连接AC、BC,延长BC至点D,使DC=BC,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,在点C运动过程中:
(1)如图1,当点E与点O重合时,连接OC,试判断△COB的形状,并证明你的结论;
(2)如图2,当DE=8时,求线段EF的长;
(3)
当点E在线段OA上时,是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,请求出此时线段OE的长;若不存在,请说明理由.
7.(2014年ft东日照14分)如图1,在菱形OABC中,已知OA=2,∠AOC=60°,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
经过O,C,B三点.
(1)求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式.
(2)如图2,点E是AC的中点,点F是AB的中点,直线AG垂直BC于点G,点P在直线AG上.
①当OP+PC的最小值时,求出点P的坐标;
②在①的条件下,连接PE、PF、EF得△PEF,问在抛物线上是否存在点M,使得以M,B,C为顶点的三角形与△PEF相似?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
8.(2014年ft东威海12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)E为抛物线上一动点,是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似?
若存在,试求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若将直线BC平移,使其经过点A,且与抛物线相交于点D,连接BD,试求出∠BDA的度数.
9.(2014年宁夏区10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,P是BC边上不同于B、C的一动点,过P作PQ⊥AB,
垂足为Q,连接AP.
(1)试说明不论点P在BC边上何处时,都有△PBQ与△ABC相似;
(2)若AC=3,BC=4,当BP为何值时,△AQP面积最大,并求出最大值;
(3)在Rt△ABC中,两条直角边BC、AC满足关系式BC=AC,是否存在一个的值,使Rt△AOP既与Rt△ACP全等,也与Rt△BQP全等.
10.(2014年新疆区、兵团12分)如图,直线y=-4x+8与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A
3
点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t((s)0<t≤3).
(1)写出A,B两点的坐标;
(2)设△AQP的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式;并求出当t为何值时,△AQP的面积最大?
(3)当t为何值时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABO相似,并直接写出此时点Q的坐标.
11.(2014年新疆乌鲁木齐14分)如图.在平面直角坐标系中,边长为的正方形ABCD的顶点A、B
在x轴上,连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上,BF与AD交于点E.
(1)求证:
△OAD≌△EAB;
(2)求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式;
(3)在
(2)中的抛物线上是否存在点P,其关于直线BF的对称点在x轴上?
若有,求出点P的坐标;
(4)连接OE,若点M是直线BF上的一动点,且△BMD与△OED相似,求点M的坐标.
12.(2014年云南省9分)已知如图平面直角坐标系中,点O是坐标原点,矩形ABCD是顶点坐标分别为A(3,
0)、B(3,4)、C(0,4).点D在y轴上,且点D的坐标为(0,﹣5),点P是直线AC上的一动点.
(1)当点P运动到线段AC的中点时,求直线DP的解析式(关系式);
(2)当点P沿直线AC移动时,过点D、P的直线与x轴交于点M.问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM
与△ABC相似的点M?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、R(R>0)为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.若设动
圆P的半径长为AC,过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F.请探求在动圆P中是否存
2
在面积最小的四边形DEPF?
若存在,请求出最小面积S的值;若不存在,请说明理由.
13.(2014年浙江湖州12分)已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t>0)
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:
PE=PF;
(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;
(3)
作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?
若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
14.(2013年ft东日照14分)已知,如图(a),抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N。
∠ONE=30°,
x1-x2
=8。
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)连结AD、BD,在
(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP与△ADB相似?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图(b),点Q为EBF上的动点(Q不与E、F重合),连结AQ交y轴于点H,问:
AH·AQ是否为定值?
若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。
15.(2013年贵州黔西南16分)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE是平行四边形,求点D
的坐标.
(3)P是抛物线上第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P,M,A
为顶点的三角形与△BOC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
16.(2013年福建南平14分)如图,已知点A(0,4),B(2,0).
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)已知点M是线段AB上一动点(不与点A、B重合),以M为顶点的抛物线y=(x﹣m)2+n与线段OA
交于点C.
①求线段AC的长;(用含m的式子表示)
②是否存在某一时刻,使得△ACM与△AMO相似?
若存在,求出此时m的值.
17.(2013年云南曲靖12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,
过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积.
(3)
连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?
若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由.
18.(2013年云南红河9分)如图,抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.
(1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式;
(2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标;
(3)
是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
19.(2013年新疆乌鲁木齐14分)如图.在平面直角坐标系中,边长为的正方形ABCD的顶点A、B
在x轴上,连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上,BF与AD交于点E.
(1)求证:
△OAD≌△EAB;
(2)求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式;
(3)在
(2)中的抛物线上是否存在点P,其关于直线BF的对称点在x轴上?
若有,求出点P的坐标;
(4)连接OE,若点M是直线BF上的一动点,且△BMD与△OED相似,求点M的坐标.
20.(2013年广西百色10分)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点动点E(不与点A、B重合),连结EB、ED。
(1)如果∠CBD=∠E,求证:
BC是⊙O的切线;
(2)当点E运动到什么位置时,△EDB≌△ABD,并给予证明;
(3)若tanE=
,BC=
3
,求阴影部分的面积。
(计算结果精确到0.1)
3
(参考数值:
π≈3.14,
≈1.41,
≈1.73)
21.(2013年广西贵港11分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?
若存在,请求出直线PE的解析式;若不存在,请说明理由.
22.(2015福建漳州)如图,在OABC中,点A在x轴上,∠AOC=60o,OC=4cm.OA=8cm.动点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发,以acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.
设运动时间为t秒.
(1)填空:
点C的坐标是(,),对角线OB的长度是cm;
(2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大?
(3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的
三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.
23.如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点.
(1)求AD的长及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
24.如图,已知二次函数y=
1(x+2)(ax+b)的图像过点A(-4,3),B(4,4).
48
(1)求二次函数的解析式:
(2)求证:
△ACB是直角三角形;
(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
25.(2015钦州)如图,在平面直角坐标系中,以点B(0,8)为端点的射线BG∥x轴,点A是射线BG
上的一个动点(点A与点B不重合).在射线AG上取AD=OB,作线段AD的垂直平分线,垂足为E,且与x
轴交于点F,过点A作AC⊥OA,交射线EF于点C.连接OC、CD,设点A的横坐标为t.
(1)用含t的式子表示点E的坐标为;
(2)当t为何值时,∠OCD=180°?
(3)
当点C与点F不重合时,设△OCF的面积为S,求S与t之间的函数解析式.
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